2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)1.1 第2课时集合的表示

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这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)1.1 第2课时集合的表示，共5页。试卷主要包含了下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。

1．下列命题中正确的是( A )
A.集合{x∈R|x2＝1}中有两个元素
B.集合{0}中没有元素
C.eq \r(13)∈{x|x<2eq \r(3)}
D.{1，2}与{2，1}是不同的集合
解析：{x∈R|x2＝1}＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0；因为{x|x<2eq \r(3)}＝{x|xeq \r(12)，所以eq \r(13)∉{x|x<2eq \r(3)}；根据集合中元素的无序性可知{1，2}与{2，1}是同一个集合.
2.若1∈{x＋2，x2}，则实数x的值为( B )
A.－1B.1
C.1或－1D.1或3
解析：由1∈{x＋2，x2}，可得x2＝1或x＋2＝1，当x2＝1时，x＝±1.当x＝1时，x＋2＝3，满足要求；当x＝－1时，－1＋2＝1，不满足元素的互异性，舍去．当x＋2＝1时，x＝－1，舍去．∴x＝1.
3．把集合{x|x2－4x－5＝0}用列举法表示为( D )
A.{x＝－1，x＝5}B.{x|x＝－1，或x＝5}
C.{x2－4x－5＝0}D.{－1，5}
解析：根据题意，解x2－4x－5＝0可得x＝－1或5，用列举法表示为{－1，5}．
4．若{a，0，1}＝{a2，a，0}，则实数a的值为( A )
A.－1B.0
C.1D.－1或1
解析：在{a，0，1}中，a≠0且a≠1，而{a，0，1}＝{a2，a，0}，则有a2＝1，解得a＝－1，所以实数a的值为－1.故选A．
5．已知集合A＝{1，2}，B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中的元素个数为( C )
A.1B.2
C.3D.4
解析：∵集合A＝{1，2}，B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，∴B＝{2，3，4}，∴集合B中的元素个数为3.
二、多项选择题
6．已知x∈{1，2，x2－x}，则实数x的值可能为( AB )
A.0B.1
C.2D.－1
解析：当x＝1时，x2－x＝0，集合的元素满足互异性，满足题意；当x＝2时，x2－x＝2，集合的元素不满足互异性，不满足题意；当x2－x＝x时，解得x＝0或x＝2(舍)，集合的元素满足互异性，满足题意．综上所述，x＝0或1.故选AB．
7．已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，a＋b，\f(a,b)))，B＝{2，2－b，c}，若A＝B，则a＋b＋c的值可能为( ABD )
A.eq \f(3,2)B.2
C.eq \f(23,2)D.12
解析：因为A＝B，所以2－b＝0或c＝0.
①当b＝2时，A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，a＋2，\f(a,2)))，B＝{2，0，c}，所以a＋2＝2或eq \f(a,2)＝2，得a＝0或4.
当a＝0时，A＝{0，2}不合题设，舍去．
当a＝4时，A＝{0，6，2}，c＝6，此时a＋b＋c＝12.
②当c＝0时，A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，a＋b，\f(a,b)))，B＝{2，2－b，0}，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＝2，,\f(a,b)＝2－b))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＝2－b，,\f(a,b)＝2，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝\f(1,2)，))
当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝2))时，A＝{0，2}不合题设，舍去．
当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝1))时，A＝B＝{0，2，1}，此时a＋b＋c＝2.
当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝\f(1,2)))时，A＝B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)，2))，此时a＋b＋c＝eq \f(3,2).故选ABD．
三、填空题
8．已知集合A＝{x|2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是{a|a≤－2}．
解析：∵1∉{x|2x＋a>0}，∴2×1＋a≤0，即a≤－2.
9．已知集合A中有三个元素a2－3a，2a＋1，5，且－2∈A，则实数a的值为1或－eq \f(3,2).
解析：因为－2∈A，所以2a＋1＝－2或a2－3a＝－2，
若2a＋1＝－2，则a＝－eq \f(3,2)，此时集合A中含有三个元素－2，5，eq \f(27,4)，符合题意；
若a2－3a＝－2，则a＝1或a＝2，
当a＝1时，集合A中含有三个元素3，5，－2，符合题意，
当a＝2时，此时集合A中含有重复元素5，不符合题意，舍去，
所以实数a的值是1或－eq \f(3,2).
10．中国古代数学专著《孙子算经》中有一问题“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归，问：三女何日相会？”，则此三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为{60，120，180}，此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为{x|x＝60n，n∈N*}．
解析：因为三女相会经过的天数是5，4，3的公倍数，且它们的最小公倍数为60，所以三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为{60，120，180}．
此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为{x|x＝60n，n∈N*}．
四、解答题
11．(1)用列举法表示下列集合：
①{(x，y)|x＋y＝5，x∈N*，y∈N*}；②{y|y＝x2＋1，－2③平方等于25的实数．
(2)用描述法表示下列集合：
①被5除余3的正整数组成的集合；
②{－2，0，2，4，6，8，10}；
③2的平方根．
解：(1)①因为x∈N*，y∈N*，x＋y＝5，所以x，y都只能取1，2，3，4，故所求的集合为{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}．
②由题可知x可取－1，0，1，2，根据元素的互异性，得所求的集合为{1，2，5}．
③因为(±5)2＝25，所以所求的集合为{－5，5}．
(2)①被5除余3的正整数组成的集合为{x|x＝5n＋3，n∈N}．
②{－2，0，2，4，6，8，10}＝{x|x＝2k，－1≤k≤5，k∈Z}．
③2的平方根，用集合表示为{x|x2＝2}．
12.已知集合A＝{x∈R|ax2－3x－4＝0}．
(1)若1∈A，求集合A；(用列举法表示)
(2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
解：(1)因为1∈A，所以a－3－4＝0，解得a＝7，
解方程7x2－3x－4＝0，可得x＝1或x＝－eq \f(4,7)，
所以集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，－\f(4,7))).
(2)当a＝0时，方程为－3x－4＝0，
此时集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))，
当a≠0时，集合A中至多有一个元素，只需判别式Δ≤0，即9＋16a≤0，即a≤－eq \f(9,16)，
综上所述，a的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a错错错a≤－\f(9,16)，或a＝0)).
13．(多选题)设集合A＝{－3，x＋2，x2－4x}，且5∈A，则x的值可以为( BC )
A.3 B．－1
C．5 D．－3
解析：由5∈A，得x＋2＝5或x2－4x＝5.若x＋2＝5，则x＝3，此时x2－4x＝9－12＝－3，不符合题意，故舍去；若x2－4x＝5，则x＝－1或x＝5，当x＝－1时，A＝{－3，1，5}，符合题意；当x＝5时，A＝{－3，7，5}，符合题意．综上所述，x＝－1或x＝5.故选BC．
14．方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,x－y＝5))的解集用列举法表示为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，－\f(3,2)))))；用描述法表示为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1((x，y)\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(7,2)，,y＝－\f(3,2))))))).
解析：容易得方程组
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,x－y＝5))的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(7,2)，,y＝－\f(3,2)，))
故用列举法表示为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，－\f(3,2)))))，用描述法表示为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1((x，y)\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(7,2)，,y＝－\f(3,2))))))).
15．(1)集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x∈N，且\f(4,2－x)∈Z))))，用列举法表示A.
(2)用描述法表示图中的阴影部分(包括边界)点的坐标组成的集合．
(3)集合M中的元素为自然数，且满足x∈M，8－x∈M，则满足题设条件的集合M共有多少个？
解：(1)注意到eq \f(4,2－x)∈Z，因此2－x＝±2，±4，±1，解得x＝－2，0，1，3，4，6，又∵x∈N，∴x＝0，1，3，4，6，∴A＝{0，1，3，4，6}．
(2)用描述法表示阴影部分(包括边界)点的坐标组成的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1((x，y) |xy≥0，－1≤x≤\f(3,2)，－\f(1,2)≤y≤1)).
(3)满足条件的集合M是由集合{4}，{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}中的元素组成，它包括以下情况：
①由1个集合中的元素组成的有{4}，{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}，共5种；
②由2个集合中的元素组成的有{4，0，8}，{4，1，7}，{4，2，6}，{4，3，5}，{0，8，1，7}，{0，8，2，6}，{0，8，3，5}，{1，7，2，6}，{1，7，3，5}，{2，6，3，5}，共10种；
③由3个集合中的元素组成的有{4，0，8，1，7}，{4，0，8，2，6}，{4，0，8，3，5}，{4，1，7，2，6}，{4，1，7，3，5}，{4，2，6，3，5}，{0，8，1，7，2，6}，{0，8，1，7，3，5}，{1，7，2，6，3，5}，{0，8，2，6，3，5}，共10种；
④由4个集合中的元素组成的有{4，0，8，1，7，2，6}，{4，0，8，1，7，3，5}，{4，0，8，2，6，3，5}，{4，1，7，2，6，3，5}，{0，8，1，7，2，6，3，5}，共5种；
⑤由5个集合中的元素组成的有{4，0，8，1，7，2，6，3，5}，1种．
综上可知，满足题设条件的集合M共有31个．