2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)1.1 第1课时 集合的概念

这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)1.1 第1课时 集合的概念，共4页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题， 填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1．下列各组对象不能构成集合的是( B )
A.上课迟到的学生
B.2023年高考数学难题
C.所有有理数
D.小于x的正整数
解析：对于B中难题没有一个确定的标准，对同一题有人觉得难，但有人觉得不难，故2023年高考数学难题不能构成集合，组成它的元素是不确定的．其他选项的对象都可以构成集合．故选B．
2．设不等式3－2x<0的解集为M，下列关系中正确的是( B )
A.0∈M，2∈MB.0∉M，2∈M
C.0∈M，2∉MD.0∉M，2∉M
解析：当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0∉M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2∈M.
3．下列各组中，集合P与Q表示同一个集合的是( A )
A.P是由元素1，eq \r(3)，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－eq \r(3)|构成的集合
B.P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合
C.P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合
D.P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集
解析：由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．
4．已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是( C )
A.1∈MB.0∈M
C.－1∈MD.－2∈M
解析：由2∈M知2为方程x2－x＋m＝0的一个解，
所以22－2＋m＝0，解得m＝－2.
所以方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.
故方程的另一根为－1.所以－1∈M.
5．给出下列关系：①eq \f(1,2)∈R；②|－3|∉N；
③|－eq \r(3)|∈Q；④0∉N.其中正确的个数为( A )
A.1B.2
C.3D.4
解析：①正确；②③④不正确．
二、多项选择题
6．下列选项中能构成集合的是( CD )
A.高一年级跑得快的同学
B.中国的大河
C.3的倍数
D.大于6的有理数
解析：集合的元素要满足“确定性”，所以A，B选项不符合，C，D选项符合．故选CD．
7．下列说法正确的是( BC )
A.我校爱好足球的同学组成一个集合
B.{1，2，3}是不大于3的正整数组成的集合
C.集合{1，2，3，4，5}和{5，4，3，2，1}表示同一集合
D.数1，0，5，eq \f(1,2)，eq \f(3,2)，eq \f(6,4)，eq \r(\f(1,4))组成的集合有7个元素
解析：我校爱好足球的同学不能组成一个集合；{1，2，3}是不大于3的正整数组成的集合；集合{1，2，3，4，5}和{5，4，3，2，1}表示同一集合；由于eq \f(3,2)＝eq \f(6,4)，eq \f(1,2)＝eq \r(\f(1,4))，所以数1，0，5，eq \f(1,2)，eq \f(3,2)，eq \f(6,4)，eq \r(\f(1,4))组成的集合有5个元素．故选BC．
三、 填空题
8．给出下列说法：
①在一个集合中可以找到两个相同的元素；
②好听的歌能组成一个集合；
③高一(3)班所有姓氏能构成集合；
④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个．
其中正确的个数为1.
解析：①错误，集合中的元素是互不相同的；②错误，好听的歌是不确定的，所以好听的歌不能组成一个集合；③正确，高一(3)班的姓氏是确定的，所以能构成集合；④错误，因为集合中的元素满足无序性，故由1，2，3三个元素只能组成一个集合．
9．已知集合A中元素x满足2x＋a>0，a∈R，若2∈A，则实数a的取值范围为a＞－4.
解析：因为2∈A，所以2×2＋a>0，即a＞－4.
10．已知集合A中的元素满足x＝3k－1，k∈Z，则－1∈A，－34∈A.(填“∈”或“∉”)
解析：当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A；
令34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A.
四、解答题
11．设A是实数集，满足若a∈A，则eq \f(1,1－a)∈A，a≠1，且1∉A.
(1)若2∈A，则集合A中至少还有几个元素？求出这几个元素；
(2)集合A中能否只含有一个元素？请说明理由．
解：(1)∵2∈A，∴eq \f(1,1－a)＝eq \f(1,1－2)＝－1∈A，eq \f(1,1－a)＝eq \f(1,1－(－1))＝eq \f(1,2)∈A，eq \f(1,1－a)＝eq \f(1,1－\f(1,2))＝2∈A，
因此A中至少还有两个元素－1和eq \f(1,2).
(2)不能．理由如下：
如果集合A中只含有一个元素，则a＝eq \f(1,1－a)，整理得a2－a＋1＝0，该方程无实数解，故在实数范围内，集合A中不可能只含有一个元素．
12．集合A中共有3个元素－4，2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5，1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则写出a的值；若不能，则说明理由．
解：∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9.
若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4，9，25；B中的元素为9，0，－4，显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去．
若a2＝9，则a＝±3.
当a＝3时，A中的元素为－4，5，9；B中的元素为9，－2，－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去；
当a＝－3时，A中的元素为－4，－7，9；B中的元素为9，－8，4，符合题意．
综上所述，能根据已知条件求出实数a的值，且a＝－3.
13．(多选题)下列各组对象中能形成集合的是( BCD )
A.高一数学课本中较难的题
B.高一(1)班全体学生家长
C.高一年级开设的所有课程
D.高一(3)班个子高于1.7米的学生
解析：高一数学课本中的题，对某些人是难题，对另外一些人不是难题，因此高一数学课本中较难的题标准不明确，对象不确定，高一数学课本中较难的题不能形成集合，A不符合题意；高一(1)班全体学生家长，对象明确可知，是确定的，能形成集合，B符合题意；高一年级开设的所有课程，对象明确可知，是确定的，能形成集合，C符合题意；高一(3)班个子高于1.7米的学生，对象明确可知，是确定的，能形成集合，D符合题意．故选BCD．
14．观察下列每组对象：
①举行过足球“世界杯”的城市；②2023年高考各科试卷中所有的难题；③北京大学2023级的新生；④接近1的数；⑤比较小的正整数；⑥平面上到坐标原点O的距离等于1的点．其中能构成集合的是①③⑥.
解析：②中“难题”不确定；④中“接近1的数”不确定；⑤中“比较小的正整数”不确定．
15．以某些整数为元素的集合P具有以下两个性质：①P中的元素有正整数，也有负整数；②若x，y∈P，则x＋y∈P.
(1)若x∈P，求证：3x∈P；
(2)求证：0∈P；
(3)判断集合P是有限集还是无限集，请说明理由．
解：(1)证明：由②可得若x∈P，则x＋x＝2x∈P，则x＋2x＝3x∈P.
(2)证明：设x，y∈P且x>0，y<0，则x为正整数，－y为正整数，
由②可知，x个y相加的结果属于集合P，即xy∈P，同理，－y个x相加的结果属于集合P，即－yx∈P，所以－yx＋xy＝0∈P.
(3)集合P为无限集，理由如下：
假设集合P为有限集，则集合P中元素必有最大值，且最大值为正整数，不妨设最大值为m，由②可得2m∈P，与集合P中元素的最大值为m矛盾，所以集合P为无限集．