2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)5.3 第1课时　诱导公式(公式二～公式四)

这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)5.3 第1课时　诱导公式(公式二～公式四)，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题， 填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单项选择题
1．sin 2 024°＝( D )
A．sin 42°B．－sin 42°
C．sin 46°D.－sin 44°
解析：sin 2 024°＝sin(6×360°－136°)＝－sin 136°＝－sin(180°－44°)＝－sin 44°．
2．lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(7π,4)))的值为( B )
A．－1B．－eq \f(1,2)
C．eq \f(1,2)D.eq \f(\r(2),2)
3．已知sin(π＋α)＝eq \f(3,5)，且α是第四象限角，那么cs(α－π)的值是( B )
A．eq \f(4,5)B．－eq \f(4,5)
C．±eq \f(4,5)D．eq \f(3,5)
解析：因为sin(π＋α)＝－sin α＝eq \f(3,5)，所以sin α＝－eq \f(3,5).又α是第四象限角，所以cs α＝eq \f(4,5)，所以cs(α－π)＝cs(π－α)＝－cs α＝－eq \f(4,5).
4．化简sin2(π＋α)－cs(π＋α)•cs(－α)＋1的结果为( D )
A．1B．2sin2α
C．0D.2
解析：原式＝sin2α＋cs2α＋1＝2.
5．已知tan(5π＋x)＝－2，则eq \f(sin x－cs x,2sin x＋3cs x)的值为( B )
A．4 B．3 C．－3 D.－4
解析：由tan(5π＋x)＝－2，可得tan x＝－2，所以eq \f(sin x－cs x,2sin x＋3cs x)＝eq \f(tan x－1,2tan x＋3)＝
eq \f(－2－1,2×(－2)＋3)＝3.
二、多项选择题
6．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于△ABC，有如下命题，其中正确的有( AD )
A．sin(B＋C)＝sin A
B．cs(B＋C)＝cs A
C．tan(B＋C)＝tan A
D.若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形
解析：依题意，在△ABC中，B＋C＝π－A，sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A，A正确；cs(B＋C)＝cs(π－A)＝－cs A，B错误；tan(B＋C)＝tan(π－A)＝－tan A，C错误；因为a2＋b2＝c2，由勾股定理可知，△ABC为直角三角形，D正确．
7．已知sin(π－α)＝eq \f(1,3)，则cs(α－2 023π)的值为( AB )
A．eq \f(2\r(2),3)B．－eq \f(2\r(2),3)
C．eq \f(1,3)D.－eq \f(1,3)
解析：∵sin(π－α)＝eq \f(1,3)，∴sin α＝eq \f(1,3)，cs(α－2 023π)＝－cs α＝±eq \r(1－sin2α)＝±eq \f(2\r(2),3).
三、 填空题
8.eq \f(cs(－585°),sin 495°＋sin(－570°))的值是eq \r(2)－2.
解析：原式＝
eq \f(cs(360°＋225°),sin(360°＋135°)－sin(360°＋210°))＝
eq \f(cs 225°,sin 135°－sin 210°)＝
eq \f(cs(180°＋45°),sin(180°－45°)－sin(180°＋30°))＝
eq \f(－cs 45°,sin 45°＋sin 30°)＝eq \f(－\f(\r(2),2),\f(\r(2),2)＋\f(1,2))＝eq \r(2)－2.
9．已知α是三角形的一个内角，且cs(π＋α)＝eq \f(2,3)，则tan(π－α)的值是eq \f(\r(5),2).
解析：∵cs(π＋α)＝eq \f(2,3)，∴cs α＝－eq \f(2,3).
又α是三角形的一个内角，∴sin α＝eq \f(\r(5),3)，
因此tan(π－α)＝－tan α＝－eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(\r(5),2).
10．求值：eq \f(tan 150°cs(－210°)sin(－420°),sin 1 050°cs(－600°))＝－eq \r(3).
解析：原式＝
eq \f(tan(180°－30°)cs210°(－sin 420°),sin(3×360°－30°)cs 600°)＝
eq \f(－tan 30°cs(180°＋30°)(－sin 60°),－sin 30°cs(3×180°＋60°))＝
－eq \f(tan 30°cs 30°sin 60°,sin 30°cs 60°)＝
－eq \f(\f(\r(3),3)×\f(\r(3),2)×\f(\r(3),2),\f(1,2)×\f(1,2))＝－eq \r(3).
四、解答题
11．化简：(1)eq \f(sin(540°＋α)•cs(－α),tan(α－180°))；
(2)eq \f(sin(2π＋α)cs(－π＋α),cs(－α)tan α).
解：(1)eq \f(sin(540°＋α)•cs(－α),tan(α－180°))＝
eq \f(sin(180°＋α)•cs α,tan α)＝
eq \f(－sin α•cs α,tan α)＝－cs2α.
(2)eq \f(sin(2π＋α)cs(－π＋α),cs(－α)tan α)＝
eq \f(sin α(－cs α),cs αtan α)＝－cs α.
12．已知f(α)＝eq \f(sin(π＋α)cs(2π－α)tan(－α),tan(－π－α)sin(－π－α)).
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝eq \f(1,5)，求f(α)的值；
(3)若α＝－eq \f(31π,3)，求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝eq \f(－sin αcs α(－tan α),(－tan α)sin α)＝－cs α.
(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝eq \f(1,5)，
∴sin α＝－eq \f(1,5).又α是第三象限角，
∴cs α＝－eq \f(2\r(6),5).∴f(α)＝eq \f(2\r(6),5).
(3)∵－eq \f(31π,3)＝－6×2π＋eq \f(5π,3)，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,3)))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6×2π＋\f(5π,3)))＝
－cseq \f(5π,3)＝－cseq \f(π,3)＝－eq \f(1,2).
13．已知cs α＝eq \f(3,5)，则sin(3π＋α)•cs(2π－α)•tan(π－α)＝( D )
A．±eq \f(3,5)B．±eq \f(4,5)
C．eq \f(9,25)D．eq \f(16,25)
解析：原式＝sin(π＋α)•cs(－α)•tan(π－α)＝(－sin α)•cs α•(－tan α)＝sin2α，由cs α＝eq \f(3,5)，得sin2α＝1－cs2α＝eq \f(16,25).
14．若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－θ))＝－eq \f(2,3)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))的值为eq \f(\r(5),3).
解析：因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以eq \f(5π,6)－θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6)))，又因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－θ))＝－eq \f(2,3)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－θ))＝eq \f(\r(5),3)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－θ))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－θ))＝eq \f(\r(5),3).
15．已知α终边上一点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(7π,3)，cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)))))，求eq \r(\f(1＋sin(π－α),1＋sin(π＋α)))＋eq \r(\f(1－sin(2π＋α),1－sin(－α)))的值．
解：依题意知，α终边上一点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，则α为第四象限角，且cs α＝eq \f(\r(3),2)，所以eq \r(\f(1＋sin(π－α),1＋sin(π＋α)))＋eq \r(\f(1－sin(2π＋α),1－sin(－α)))
＝eq \r(\f(1＋sin α,1－sin α))＋eq \r(\f(1－sin α,1＋sin α))＝
eq \f(\r((1＋sin α)2),\r((1－sin α)(1＋sin α)))＋
eq \f(\r((1－sin α)2),\r((1＋sin α)(1－sin α)))＝
eq \f(|1＋sin α|,|cs α|)＋eq \f(|1－sin α|,|cs α|)＝
eq \f(1＋sin α＋1－sin α,cs α)＝eq \f(2,cs α)＝eq \f(4\r(3),3).