山西省吕梁市2022届高三上学期第一次模拟数学（文）试题(含答案)

这是一份山西省吕梁市2022届高三上学期第一次模拟数学（文）试题(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2、若,则( )
A.B.C.D.
3、已知圆,过点的直线被圆截得的弦长的最小值为( )
A.B.C.1D.2
4、已知,则( )
A.B.C.D.
5、如图,已知正方体,依次连接正方体相邻面的中心,组成一个正八面体,则该正八面体的体积与正方体的体积之比为( )
A.B.C.D.
6、如图,在正方形网格中有向量,,,若,则( )
A.,B.,C.D.
7、已知函数为定义在R上的奇函数,且当时,,则当时,( )
A.B.
C.D.
8、已知,,,则( )
A.12B.C.7D.
9、设函数在的图象大致如图所示,则的最小正周期为( )
A.B.C.D.
10、如图,正六边形的边长为2,取正六边形各边的中点,,,,,,作第二个正六边形;然后再取正六边形各边的中点,,,,,,作第三个正六边形;依此方法一直继续下去……,则第2022个正方形的面积为( )
A.B.C.D.
11、过抛物线的焦点F作直线l交C于A,B两点,若,则直线l的斜率为( )
A.B.C.D.
12、在《九章算术·商功》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑,如图在鳖臑ABCD中,平面BCD,,,则鳖臑ABCD内切球的表面积为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13、设向量,,若,则_____________.
14、曲线在点处的切线方程为______________.
15、已知,是双曲线的左,右焦点,过右焦点与实轴垂直的直线交双曲线于A,B两点,若三角形为等腰直角三角形,则双曲线C的离心率为__________.
16、若函数的图象和直线有四个交点,则实数a的取值范围为__________.
三、解答题
17、在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足.
(1)求角A;
(2)若,求三角形ABC面积的最大值.
18、在直四棱柱中,底面ABCD是正方形,,,点E,M,N分别是,,的中点.
(1)求证：平面;
(2)求点N到平面的距离.
19、已知正项数列的前n项和为,且满足.
(1)求证：数列是等差数列;
(2)设,求数列的前n项和.
20、已知函数.
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)当时,求证：.
21、已知椭圆的离心率为,点,是椭圆C的左右焦点,且右焦点与抛物线的焦点重合.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过左焦点且与x轴不重合的直线交椭圆于A,B两点,求面积的取值范围.
22、在极坐标系中,射线与以为圆心,为半径的圆相交于A,B两点.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)若,求.
23、已知,,.
(1)证明：;
(2)求的最小值.
参考答案
1、答案：C
解析：因为,,
所以,
故选：C.
2、答案：A
解析：由题意,.
故选：A.
3、答案：B
解析：若过点的直线被圆截得的弦的长度最小,
则点为该弦的中点,
由,得,
所以若要弦长最小,
只要圆心到直线的距离即为圆心到定点的距离,
由,
所以弦长,
故选：B.
4、答案：A
解析：,
故选A.
5、答案：C
解析：设正方体的棱长为1,则正八面体的棱长为,高为1,所以正八面体的体积为,而正方体体积为1,所以该正八面体的体积与正方体的体积之比为.
故选：C.
6、答案：A
解析：如图建立直角坐标系,设正方形边长为1,则,,,
因为,即,
所以,解得,
故选：A.
7、答案：D
解析：当时,则,因为是奇函数,
所以.
故选：D.
8、答案：A
解析：由,
所以,
故选：A.
9、答案：A
解析：由图知,所以,又因为,所以,,所以,,令,解得：或,因为,所以,此时,所以,
故选：A.
10、答案：C
解析：由题知第n个正六边形的面积组成一个等比数列,
其中,,所以,
故,
故选：C.
11、答案：D
解析：假设点A在第一象限,直线l的倾斜角为,
过点A,B分别作抛物线准线的垂线,垂足为M,N,
由抛物线定义知,,再过点B作AM的垂线垂足为C,设,因为,则,所以,,所以,所以;同理若点A在第四象限,,所以斜率为,
故选：D.
12、答案：B
解析：因为四面体ABCD四个面都为直角三角形,平面BCD,,
所以,,,,设四面体内切球的球心为O,
则,
所以,
因为四面体ABCD的表面积为,
又因为四面体ABCD的体积,
所以,所以,
故选：B.
13、答案：1
解析：因为向量,,且,
所以,
解得：.
故答案为：1.
14、答案：
解析：因为,所以切线的斜率,
因为,所以切线方程为,即,
故答案为：.
15、答案：
解析：由题知,
即,
即,
解得,又因为,
所以
故答案为：.
16、答案：
解析：,画出函数的图象,
直线过定点,
当时,显然不符合题意;
当时,直线可化为,直线的斜率为,
当直线与相切时,有三个交点.
联立得到,
由得或.
当时,方程的解为,满足条件,此时切线的斜率为2;当时,当的解为,不满足条件.
结合图象知,若函数和直线有四个交点,所以直线的斜率应满足,实数a的取值范围是.
故答案为：.
17、答案：(1);
(2).
解析：（1）由,结合正弦定理,得,
所以,又因为,所以
（2）由余弦定理,得
即（当且仅当等号成立）
所以,
即当时,三角形ABC面积的最大值为.
18、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）取的中点P,连接MP,CP,
因为E,P都是中点,所以,
所以四边形是平行四边形,所以,即平面
又因为P,M是中点,由中位线知,即平面
而所以平面平面,
又因为平面,所以平面
（2）因为平面,所以点N到平面的距离等于点M到平面的距离,
因为,,而E为的中点,故,所以,,
设点M到平面的距离为d,所以
又因为,所以
由,解得,
即点N到平面的距离为.
19、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）已知①
当时,由解得
则当时,,②
①②两式相减得
整理得,
因为,所以
所以数列是以为首项,公差为2的等差数列
（2）由（1）得,所以
所以
两式相减得
所以
20、答案：(1)单调递增区间为,单调递减区间为,极小值为,没有极大值
(2)证明见解析
解析：（1）易知函数定义域为R,
, ,
令,解得,在上单调递增,
,解得,在上单调递减,
即的单调递增区间为,单调递减区间为,
函数的极小值为,没有极大值;
（2）要证,
即证,
设,要证原不等式成立即证成立,
, (当且仅当,时等号成立),
由(1)知(等号成立),
, 在单调递增,
当时,得证.
21、答案：(1)
(2)
解析：（1）易知抛物线的焦点为,所以,
又因为离心率,所以,
又因为所以椭圆C的方程为
（2）由题意设直线AB方程为,设,
与椭圆方程联立消去y得：,易知
所以,
所以
因为到直线AB的距离为
所以
设,则,
设,则,所以在单调递增,
所以,即三角形面积的取值范围为
22、答案：(1)
(2)
解析：（1）以极点为坐标原点,极轴为轴建立直角坐标系,则圆心C的直角坐标为,
圆C的方程为,即,
由,得圆C的极坐标方程为·
（2）将代入圆C的极坐标方程得,
设点A,B的极坐标分别为 ,
则①
由, 得,即,
代入①解得,故,
即,
故.
23、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）证明：因为,,,所以,
又,当等号成立
所以,即;
（2）因为,,所以,所以,
因为,,
所以由二次函数的图象与性质可得,当时,,
所以的最小值为.