长治市第四中学校2024届高三上学期8月月考数学试卷(含答案)

这是一份长治市第四中学校2024届高三上学期8月月考数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知集合，，则( )
A.B.
C.D.
2、若函数，若，则实数m的值等于( )
A.－3B.1C.－1或3D.－3或1
3、已知，，，则a，b，c的大小关系为( )
A.B.C.D.
4、已知不等式的解集为，则不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
5、函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
6、已知，则关于的说法正确的是( )
A.有最大值8B.有最小值C.有最小值8D.有最大值
7、定义运算：，例如：，，若函数有3个不同的零点，则实数k的取值范围是( )
A.B.C.D.
8、高斯函数属于初等函数，以大数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名，其图形在形状上像一个倒悬着的钟，高斯函数应用范围很广，在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影，设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.则函数的值域为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、当时，幂函数的图像在直线的下方，则a的值可能为( )
A.B.-1C.3D.2
10、下列说法正确的是( )
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
11、已知函数是R上的增函数，则实数a的值可以是( )
A.4B.3C.D.
12、对任意两个实数a，b，定义，，若，，下列关于函数的说法正确的是( )
A.函数是偶函数B.方程有两个解
C.函数有4个单调区间D.函数有最大值为0，最小值-2
三、填空题
13、函数的单调递减区间是___________.
14、使得“”成立的一个充分不必要条件是______.
15、若函数满足，则__________.
16、已知函数是定义在上的偶函数，且在区间是减函数，若，则实数a的取值范围是_______.
四、解答题
17、已知集合U为全体实数集，或，.
（1）若，求；
（2）若，求实数a的取值范围.
18、已知b克糖水中含有a克糖，再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，
（1）请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立；
（2）运用该不等式比较以下三个值的大小：，，.
19、求满足下列条件的各式的值：
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
20、已知函数，.
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）讨论函数值域.
21、设函数，且，求证：函数在内至少有一个零点.
22、已知函数.
（1）判断函数在R上的单调性，并用单调性的定义证明；
（2）若，
①判断函数的奇偶性，并证明；
②若恒成立，求实数k的取值范围.
参考答案
1、答案：B
解析：由集合，，
根据集合并集的概念及运算，可得.
故选：B.
2、答案：D
解析：当时，等价于，解得；
当时，等价于，解得.
故选：D.
3、答案：C
解析：因为，，，
所以，
故选：C.
4、答案：B
解析：由题知：，为方程的根.
所以，解得.
所以，解得：或.
故选：B.
5、答案：B
解析：可知函数是偶函数，排除C，D；
定义域满足：，可得或.
当时，是递增函数，排除A；
故选：B.
6、答案：B
解析：根据题意得，，
则（当且仅当时，等号成立），
则有最小值.
故选B.
7、答案：A
解析：因为函数有3个不同的零点，
所以方程有3个不相等的实根，
所以函数与的图象有3个不同的交点，
函数图象如图所示，
由图可知当，两函数图象有3个不同的交点，
所以实数k的取值范围为，
故选：A.
8、答案：C
解析：，
，
，
，
，
即函数的值域为，
由高斯函数定义可知：
函数的值域为.
故选：C.
9、答案：AB
解析：根据题意得当时，，可知，
故选：AB.
10、答案：BD
解析：A.取特殊值，，，显然不满足结论；
B.由可知，，结论正确；
C.，，，，显然不满足结论；
D.，则，
又，则根据不等式性质，有成立.
故选：BD.
11、答案：CD
解析：由函数是R上的增函数，
所以
所以，
故选：CD.
12、答案：ABC
解析：由题意可得，，作出函数图象，如下图所示：
由图象可知，该函数为偶函数；
函数有两个零点，；
函数单调递减区间为：和，单调递增区间为：和，故函数有四个单调区间；
当时，函数取得最大值为0，无最小值.
故选：ABC.
13、答案：
解析：，
，
解得或.
函数的开口向上，对称轴是y轴，
在上递减，
根据复合函数单调性同增异减可知的单调递减区间是.
故答案为.
14、答案：（答案不唯一，只需为集合的真子集即可）
解析：，即原不等式解集为，只要取此集合的真子集即可，如.
故答案为：.
15、答案：1
解析：因为，
令可得：，①
令可得：，②
联立①②可得：，
故答案为：1.
16、答案：
解析：由已知可得原不等式等价于，结合单调性可得
.
故答案为：.
17、答案：（1）
（2）或
解析：（1）由题意得：
当时，集合U为全体实数集
或，
（2）若，则当时，，解得：；
当时，成立，且或成立，解得：；
综上：实数a的取值范围或.
18、答案：（1）；证明见解析
（2）
解析：（1）由题意可得：，时，.
证明如下：
，
，，，，
，
.
（2）由（1）知，时，，即；
则，
，
又，
综上所述，.
19、答案：（1）
（2）2
解析：（1），
；
（2），
.
20、答案：（1）
（2）偶函数，理由见解析
（3）答案见解析
解析：（1）且，得，即定义域为.
（2）因为定义域关于原点对称，且，
所以函数为偶函数.
（3），
令，由，得，
则，，
当时，，所以原函数的值域为；
当时，，所以原函数的值域为.
21、答案：见解析
解析：，
，
，又，
.
，
与中至少有一个为正，
又，
或.
函数在内至少有一个零点.
22、答案：（1）函数是R上的增函数，证明见详解
（2）①函数为奇函数，证明见详解
②
解析：（1）函数是增函数，定义域：R，
任取，不妨设，
，
，
，
.
又，
，
即，
函数是R上的增函数.
（2）当时，
①，定义域为R，关于原点对称，
，
函数是定义域内的奇函数.
②等价于
，
是R上的单调增函数，
，即恒成立，
，
.