2023-2024学年辽宁省大连市高二上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省大连市高二上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（每题5分）
1．已知椭圆C的焦点在轴上，长轴长是短轴长的3倍，且经过点，则的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
2．与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ）
A．一个椭圆上B．双曲线的一支上
C．一条抛物线上D．一个圆上
3．若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
4．经过原点和点且圆心在直线上的圆的方程为 （ ）
A．B．
C．D．
5．点在圆上运动，点在直线上运动，若的最小值是2，则的值为（ ）
A．10B．C．20D．
6．已知椭圆的左、右焦点分别是，，A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，且，若，则椭圆C的离心率是（ ）
A．B．C．D．
7．设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（每题5分）
9．设椭圆的左右焦点为，P是C上的动点，则（ ）
A．B．离心率
C．短轴长为2，长轴长为4D．不可能是钝角
10．已知圆C：，下列说法正确的是（ ）
A．点在圆 C 内部
B．圆C与圆相交
C．过点的直线与圆C相交，弦长为，则直线方程为或
D．若，，直线恒过圆的圆心，则恒成立
11．已知双曲线的焦点分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．渐近线方程为
B．双曲线与椭圆的离心率互为倒数
C．若双曲线上一点满足，则的周长为28
D．若从双曲线的左､右支上任取一点，则这两点的最短距离为6
12．已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线上一点，且，若，则下面有关结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题（每题5分）
13．若圆关于直线对称，则此圆的半径为 ．
14．已知双曲线的离心率，且该双曲线经过点，则该双曲线的标准方程为 .
15．已知焦点在y轴上的椭圆的离心率，A是椭圆的右顶点，P是椭圆上任意一点，则的最大值是 .
16．设B是椭圆C：(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围
四、解答题
17．已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是．求点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状．
18．已知中，，求的面积的最大值．
19．从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰好为左焦点，是椭圆与轴正半轴的交点，是椭圆与轴正半轴的交点，且，，求此椭圆方程.
20．已知圆经过三点．
(1)求圆的一般方程；
(2)过点的直线与圆交于两点，，求直线的方程．
21．如图，在三棱锥中，，，为中点．
(1)证明：平面；
(2)若点在棱上，，且，求二面角的大小．
22．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
1．A
【分析】根据椭圆上的点及椭圆的长短轴关系即可求得椭圆方程.
【详解】由题可知，所以，
且椭圆C的焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为.
故选：A.
2．B
设动圆的圆心为P，半径为r, 圆的圆心为O（0，0）, 圆的圆心为F（4，0）,则，根据双曲线得定义可得答案.
【详解】设动圆的圆心为P，半径为r，而圆的圆心为 ，半径为1；
圆,即的圆心为，半径为2.
依题意得， ，则
所以点P的轨迹是双曲线的一支.
故选：B
3．A
【分析】利用点到直线距离公式求得焦点到渐近线的距离为，由计算可得离心率为.
【详解】根据题意不妨取焦点，渐近线方程为，如下图所示：

可得焦点到渐近线的距离为，即；
则离心率.
故选：A
4．D
【分析】令圆心为，由圆所经过的点及两点距离公式列方程求出圆心坐标，即可写出圆的方程.
【详解】由题设，令圆心为，又圆经过原点和点，
所以，整理可得，故圆心为，
所以半径平方，则圆的方程为.
故选：D
5．D
【分析】根据圆心到直线的距离以及的最小值求得.
【详解】圆的圆心为，半径为，
到直线的距离为，
由于的最小值是，所以直线与圆相离，
所以的最小值为.
故选：D
6．D
【分析】根据椭圆的对称性及定义，求得的长度.根据为直角三角形，利用勾股定理得到的关系，进而求出离心率.
【详解】由椭圆的对称性，得．设，则．
由椭圆的定义，知，即，
解得，故，．
在中，由勾股定理，得，
即，则，故．
故选：D

7．A
【分析】根据椭圆和双曲线中的关系，结合双曲线定义可解.
【详解】在椭圆中，由题知，解得，
所以椭圆的焦点为，，
因为曲线上的点到，的距离的差的绝对值等于8，且，
所以曲线是以，为焦点，实轴长为8的双曲线，
所以曲线的虚半轴长为，
故的标准方程为.
故选：A.
8．A
【分析】根据椭圆的定义可得焦点三角形的边长，即可根据余弦定理以及二倍角公式求解.
【详解】不妨设椭圆方程为，椭圆另一焦点为，
由于是短轴的一个端点，所以，
又，所以，
由椭圆定义可得,
由于，所以，
故，
即，解得，
故选：A

9．AD
【分析】利用椭圆的定义及性质逐一判断即可.
【详解】椭圆，
，
，A正确；
离心率，B错误；
短轴长为，长轴长为，C错误；
当点P在椭圆短轴端点处时，最大，
此时，得，
故不可能是钝角，D正确.
故选：AD.
10．BCD
【分析】利用点到圆心的距离与半径的关系可判断A选项；利用两圆的圆心距与半径的关系可判断B；利用点到直线的距离为1可判断C；直线恒过圆的圆心，可得，利用基本不等式求解可判断D.
【详解】对A，由方程可得圆心，半径为2，所以点到圆心的距离为，则点在圆外，故A错误；
对B，两圆的圆心距为，
因为，所以两圆相交，故B正确；
对C，因为过点的直线与圆相交，弦长为，
可得圆心到直线的距离为1，当直线的斜率不存在时，即符合题意，
当直线的斜率存在时，设直线为，
由圆心到直线的距离为1，可得，解得，
即直线为，
所以直线的方程为或，故C正确；
对D，由于直线恒过圆心，
可得即，又，，所以，
当且仅当即则时等号成立，故D正确.
故选：BCD.
11．CD
【分析】根据椭圆、双曲线的定义与性质逐项分析判断.
【详解】设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距，
由题意可知：，且焦点在x轴上，
对于选项A：双曲线的渐近线方程为，即，故A错误；
对于选项B：双曲线的离心率，
设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距，
则，可得椭圆的离心率，
且，所以双曲线与椭圆的离心率不互为倒数，故B错误；
对于选项C：由双曲线的定义可知：，
可得，所以的周长为，故C正确；
对于选项D：若从双曲线的左､右支上任取一点，由双曲线的对称性可知这两点的最短距离为，故D正确；
故选：CD.
12．BCD
【分析】利用同角三角函数基本关系式、双曲线定义、双曲线性质、余弦定理、离心率公式运算即可得解.
【详解】解：当为锐角时，如下图，则，
∵，∴，
∴，
∴解得：，∴，则，
∴，故BD正确；
当为钝角时，如下图，则，
∵，∴，
∴，
∴解得：，∴，则，
∴，解得：，故A错误，C正确.
故选：BCD.
13．
【分析】即圆心在直线上，代入解出即可求.
【详解】因为圆关于直线对称，
所以圆心在直线上，
得，得，
所以，半径为．
故．
14．
【分析】由得到，再分焦点在x轴上和焦点在y轴上时，设出双曲线的标准方程，再将点代入方程求解.
【详解】解：由题意，知，解得，
当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为，
∵点在该双曲线上，
∴，即，此方程无解;
当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为，
∵点在该双曲线上，
，即，
解得，∴，
∴该双曲线的标准方程为.
故答案为.
15．
【分析】根据离心率求得椭圆的方程为，设，则，由，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由焦点在y轴上的椭圆的离心率，
可得，解得，所以椭圆的方程为，则，
设，则，
因为，当时，可得取得最大值，最大值为，
所以的最大值为.
故答案为.
16．
【分析】利用距离公式将表示，配方后，分和两种情况讨论即得.
【详解】设，
则，
因为，
当即时，，
所以，
化简得：
，显然该不等式不成立，
当，即时，，恒成立，
由，得，所以
综上，离心率的范围为.
故
17．点M的轨迹方程为，轨迹为焦点在轴上的双曲线，不含左右顶点.
【分析】设，根据斜率之积是即可得出方程，判定形状.
【详解】设，因为，
所以，整理得，
故点M的轨迹方程为，轨迹为焦点在轴上的双曲线，不含左右顶点.
18．
【分析】结合余弦定理、同角三角函数的基本关系式、三角形的面积公式求得三角形面积的表达式，再由二次函数的性质求得面积的最大值.
【详解】设，.
则，
，
所以
，
当时，三角形的面积取得最大值.
19．
根据椭圆方方程可确定点坐标，利用可构造方程求得，结合和椭圆的关系可构造方程求得，进而得到椭圆方程.
【详解】由椭圆方程可知：，，
设椭圆焦点，又，则，
，，，整理可得：，
又，，，，，
此椭圆的方程为.
本题考查椭圆标准方程的求解问题，解题关键是能够根据直线平行得到斜率相等关系，属于基础题.
20．(1)
(2)或
【分析】（1）待定系数法设出圆的一般方程解方程组即可求得答案.
（2）利用直线与圆的位置关系，分两种情况讨论可得答案.
【详解】（1）设圆的一般方程为，
把三点坐标代入可得，
解得，
所以圆的一般方程为．
（2）由（1）得圆的标准方程为，即圆心为，半径为．
当直线与轴垂直，即时，此时，符合题意；
当直线与轴不垂直时，设该直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，解得，
所以直线的方程为．
综上，直线的方程为或．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证得和，然后根据线面垂直的判定定理即可得出结论；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果.
【详解】（1）解：（1）证明：因为，且为中点，所以，
因为，且为中点，所以，因为，且为中点，
所以，因为，，，所以，所以，
，所以平面.
（2）解：因为，且为中点，所以，从而，，两两垂直，
如图，建立以为原点，以，，分别为，，轴的空间直角坐标系，
易知，，，，
设，由，即，可求得，
所以，，
不妨设平面的一个法向量为，则，
即，
令，则，，所以，
取平面的一个法向量为，
所以，
所以二面角的大小为．
22．(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程；
（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上.
【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，
则由可得，，
双曲线方程为.
（2）由(1)可得，设，
显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，
与联立可得，且，
则，

直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，
由可得，即，
据此可得点在定直线上运动.
关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.