2024汕头金山中学高二上学期10月阶段考试数学含答案、答题卡

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二、，，，
第8题解答：由题意，在空间直角坐标系中，，，，
设，为平面的法向量，
则，,，
则，
令则，故，
则点到平面的距离为，
所以，
则
又，，
即，
所以，代入
可得，
则
所以，则
故选：.
第12题解答：设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.
故选：ACD
第16题解答：如图所示：平面将长方体分成两部分，有可能在平面上或平面上，根据对称性知，两球半径和的最大值是相同的，故仅考虑在平面上的情况，延长与交于点，作于点，

设，圆对应的半径为，根据三角形内切圆的性质，
在中，，，，
则，又当与重合时，取得最大值，
由内切圆等面积法求得，则
设圆对应的半径为，同理可得，
又，解得.
故，，
设，则，，
由对勾函数性质易知，函数单减，
所以当时，取得最大值，即两个球的半径之和达到最大，
此时，则，则，
，且，则小球的表面积为.
故答案为：.
三、解答题
17、【详解】（1）由题意，，，
可得，解得，
则，，所以，
故.
（2）因为，
所以，
故向量与的夹角为.
18、【详解】（1）证明：连接交于点，连接，
由中位线可知且，
又因为且，
所以且，
所以为平行四边形，所以.
结合平面平面可知，平面.
（2）以 为原点， 所在直线分别为建立空间直角坐标系，如图


设面PBD的一个法向量为 ，由
即
取，可得
设BQ与面BDP所成角为 ，则
所以BQ与面BDP所成角的正弦值为 .
19、【小问1详解】
因为，
由正弦定理可得，即，
因为，，所以，
所以，所以或．
若，则；
若，则，舍去；
所以成立．
【小问2详解】
在中，因为，，所以，
由正弦定理得，即，所以．
在中，由正弦定理得，
因为，所以．因为，
又，所以，
所以的面积．
又，所以，所以，
所以当，即时，的面积最大值为2．
20、【小问1详解】
本次考试成绩的平均数约为
.
所以本次考试成绩的平均数.
设第三四分位数为m，由
解得
所以估计第三四分位数约为
【小问2详解】
第5组人数为，第6组人数为，
被抽取的成绩在内的4人，分别记为，，，；
成绩在内的3人，分别记为，，；则从这7人中随机抽取2人的情况为：
，
，，
共21种；
其中被抽到2人中至少有1人成绩优秀的情况为：，，，，，共15种.
故抽到2人中至少有1人成绩优秀的概率为.
21、【详解】（1）证明：∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
∵平面，∴，
∵且，，平面，
∴平面．
（2）因为平面平面，，，M是的中点，
∴，
取的中点O，连接，则平面，
取的中点N，连接，则，
以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，
设，，
因为平面的一个法向量，
，，
设平面的一个法向量为，
则，可得．
再由，则，
∴或（舍），
所以E为的靠近D点的五等分点．
22、【详解】（1）解法一：若时，求函数，
当时，，.
当时，，.
故.
解法二：若时，求函数；
画出和的图像如下图所示：
易得.
（2）解法一：
若，则，这与存在两个不同零点矛盾.
若，，因为存在两个不同的零点与，所以，得，此时，；
若，，
当时，即时，得，，
有，
令，则，
令，则在上单调递增，，则；
当，即时，有，
在上单调递减，上单调递增，
所以，无零点；
当时，只有一个零点；
故.
解法二：令，等价于存在两个不同的零点与
当时，有，不合题意.
当时，，因为存在两个不同的零点与，
所以，得，此时；
当时，
当，即时，得，，
有，
所以；
当，即时，有，在上单调递减，上单调递增，，无零点；
当时，只有一个零点；
故.