2024山西省实验中学高二上学期期中考试数学PDF版含答案

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．若，，三点共线，则（ ）
A．4B．C．1D．0
【答案】A
【分析】根据空间向量平行坐标关系计算求解即可.
【详解】因为，，所以，
解得．故．
故选：A.
2. 已知两条平行直线：与：间的距离为4，则C的值为（ ）
A. 14 B. －2C. －10 D. 14或－10
【答案】B
【解析】
【分析】根据两平行直线的距离公式可得，求解即可.
【详解】根据两平行直线的距离公式可得，解得或，
又因为，所以.
故选：B.
3. 已知，，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出图象，结合斜率公式求得倾斜角的取值范围.
【详解】画出图象如下图所示，
，所以直线的倾斜角为，
，所以直线的倾斜角为，
结合图象可知，直线的倾斜角的取值范围是.
故选：D.

4. 一条光线从点射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点，则点P的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图，由题可得点B关于轴的对称点，后可得直线方程，则直线与轴交点即为点P.
【详解】如图，由题可得关于轴的对称点为，
则直线方程为： ，令，得，
则点P.
故选：D

5.已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．线段
答案 B
解析 点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由椭圆的定义知，动点P的轨迹是椭圆．
6. 如图，在平行六面体中，，，若，则为（ ）

A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，且，以为一个空间基底，求得，，结合，列出方程，即可求解.
【详解】设，且，
因为，以为一个空间基底，
可得，，
又因为，可得，
即，即，
解得或（舍去），即的值为.
故选：D.
7．在椭圆上求一点，使点到直线的距离最大时，点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先利用判别式法，求出与椭圆相切的直线方程，然后即可求得本题答案.
【详解】设直线与椭圆相切，
联立方程，得①，
因为直线与椭圆相切，所以，得，
当时，与的距离最大，最大距离为，
把代入①得，，得，
代入，得，
所以点的坐标为，
故选：A
8．已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理求出的值，利用，根据向量模的计算即可求得答案.
【详解】由题意椭圆，为两个焦点，可得，

则①，即，
由余弦定理得，
，故，②
联立①②，解得：，
而，所以，
即，
故选：B
【点睛】方法点睛：本题综合考查了椭圆和向量知识的结合，解答时要注意到O为的中点，从而可以利用向量知识求解.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若对空间中任意一点，有，则四点共面
C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D．若，则是钝角
【答案】ABC
【分析】根据向量共面的定义可判断A，根据共面定理可判断B，根据基底的定义可判断C，利用向量夹角的取值范围判断D.
【详解】对于A，因为有两个向量共线，所以这三个向量一定共面，A正确；
对于B，因为且，
所以P，A，B，C四点共面，B正确；
对于C，因为是空间中的一组基底，所以不共面且都不为，
假设共面，则，
即，则，与其为基底矛盾，所以不共面，
所以也是空间的一组基底，C正确；
对于D，若，则是钝角或是，D错误；
故选：ABC
10．已知直线：和圆O：，则（ ）
A．直线恒过定点
B．存在k使得直线与直线：垂直
C．直线与圆相交
D．直线被圆截得的最短弦长为
【答案】BC
【分析】利用直线方程求定点可判断选项A；利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项B；利用直线恒过定点在圆内可判断选项C；利用弦长公式可判断选项D.
【详解】对A，由可得，，
令，即，此时，
所以直线恒过定点，A错误；
对B，因为直线：的斜率为，
所以直线的斜率为，即，
此时直线与直线垂直，满足题意，B正确；
对C，因为定点到圆心的距离为，
所以定点在圆内，所以直线与圆相交,C正确；
对D，设直线恒过定点，
圆心到直线的最大距离为,
此时直线被圆截得的弦长最短为，D错误；
故选：BC.
11．下列命题中正确的是（ ）
A．双曲线与直线有且只有一个公共点
B．平面内满足的动点P的轨迹为双曲线
C．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则
D．已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为
【答案】AC
【分析】A选项，联立求出双曲线与直线只有一个交点，A正确；B选项，举出反例；C选项，根据焦点在轴上，得到不等式组，求出；D选项，由双曲线焦距和渐近线方程，得到，，得到双曲线方程.
【详解】对于A，解方程组得唯一解,
所以双曲线与直线有且只有一个公共点，所以A对；
对于B，当时，满足的动点P的轨迹为两条射线，不是双曲线，所以B错；
对于C，若方程表示焦点在y轴上的双曲线，
则且，解得，所以C对；
对于D，设双曲线标准方程为，由，则，
渐近线方程为，即，由，解得，，
双曲线的标准方程为，所以D错.
故选：AC
12. 如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，的中点，则下列选项正确的是（ ）

A. 直线与底面ABCD所成的角为30°
B. 平面与底面ABCD夹角的余弦值为
C. 直线与直线AE的距离为
D. 直线到平面的距离为
【答案】BC
【解析】
【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出线面角，面面角，平行线间距离及线面距离.
【详解】
如图所示，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴，
则，，，，，，
A选项：，平面的法向量，
设直线与底面所成的角为，
则，
直线与底面所成的角不为，故A错误；
B选项：，，
设平面的法向量，则，令，则
设平面与底面的夹角为，
则，
平面与底面夹角的余弦值为，故B正确；
C选项，，
直线与直线的距离为：，故C正确；
D选项，，平面，平面，
又，平面的法向量，
直线与平面的距离为：，故D错误；
故选：BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 经过点，且在两坐标轴上的截距之和为2的直线的一般式方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】由题可知，直线在x上轴截距为-3，再利用截距式可直接求得直线方程
【详解】∵直线过（0，5），
∴直线在y轴上的截距为5，
又直线在两坐标轴上的截距之和为2，
∴直线在x轴上的截距为2-5=-3
∴直线方程为,即5x-3y+15=0
【点睛】直线方程有五种基本形式，在只知道横纵截距的情况下，截距式是最快捷的一种方式
14. 在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，平面ABC，．M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用等体积法求得到平面的距离.
【详解】因为平面ABC，平面ABC，所以，
依题意可知平面，
所以平面，
由于是的中点，所以到平面的距离是到平面的距离的一半，
即到平面的距离是.
,，
所以，
由于，所以，
，
设到平面的距离为，则，
即.
故答案为：
15．已知双曲线的焦点为F，O为坐标原点，P为C上一点，且为正三角形，则双曲线的离心率为 ．
【答案】/
【分析】依题意画出图形，根据余弦定理与双曲线的定义建立等量关系求解离心率.
【详解】由对称性，不妨设F为右焦点，则在右支上，设双曲线左焦点为，
依题意，三角形为正三角形，
则，连接，
在中，，
由余弦定理得，
，
可得，又，即，
所以.
故答案为：.

16．已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】根据题意分析可知点的轨迹是以的中点，半径的圆，结合圆的性质运算求解.
【详解】因为直线：，即，
令，解得，可知直线过定点，
同理可知：直线过定点，
又因为，可知，
所以直线与直线的交点的轨迹是以的中点，半径的圆，
因为圆的圆心，半径，
所以的最大值是.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，在上，在上，且．

（1）求向量，的坐标；
（2）求与所成角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用空间向量的坐标表示求解即可；
（2）利用空间向量异面直线夹角的求法即可得解.
【小问1详解】
由题意可得，，
故．
【小问2详解】
由（1）可知，
所以．
．
所以．
故与所成角的余弦值为．
18. 求满足以下条件的参数的值．
（1）若直线：和直线：平行，求m的值．
（2）已知直线经过点，，直线经过点，，若，求a的值．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由两直线平行，根据平行的判定求的值即可.
（2）当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于求解；若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解.
【小问1详解】
直线和直线平行，
，解得或，
当时，直线：和直线：平行，
当时，直线：和直线：重合，
所以；
【小问2详解】
由题意，知直线的斜率一定存在，直线的斜率可能不存在.
当直线的斜率不存在时，，即，此时，则，满足题意.
当直线的斜率存在时，，
由斜率公式，得.
由，知，即，解得.
综上所述，或.
19. 已知直线l：．
（1）证明：直线l恒过第二象限；
（2）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的一般式方程．
【答案】（1）证明见解析
（2），
【解析】
【分析】（1）直线含参先求出定点，进而可证明；
（2）直线过定点求面积的最值，可将直线直接设为截距式，再利用基本不等式求出其面积最小值及直线方程.
【小问1详解】
因为直线方程为：，
因为，所以，解得，
所以直线恒过点，
而点在第二象限，所以直线l恒过第二象限；
【小问2详解】
设直线l为，
因为在直线上，所以，
又，
所以，两边同时平方得：，，
当且仅当，即，时取等号，
所以的面积为，即S的最小值为，
此时直线方程为，化简得：.
20．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，即可证明结论；
（2）由直线与平面所成的角为，可得，建立以G为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.
【详解】（1）证明：取中点，连接，
为的中点，
，又，
，
四边形为平行四边形：
，
平面平面，
平面；
（2）平面平面，平面平面平面，平面，
取中点，连接，则平面，
，
，又，
如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
，
，设平面的一个法向量，，
则，取，则，
平面的一个法向量可取，
设平面与平面所成的夹角为，
,平面与平面所成的夹角的余弦为
21．（12分）已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距为2eq \r(6)，且过点A(2,1)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若不经过点A的直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于P，Q两点，且直线AP与直线AQ的斜率之和为0，证明：直线PQ的斜率为定值．
解 (1)因为椭圆C的焦距为2eq \r(6)，且过点A(2，1)，
所以eq \f(4,a2)＋eq \f(1,b2)＝1,2c＝2eq \r(6).
又因为a2＝b2＋c2，由以上三式解得a2＝8，b2＝2，
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1.
(2)证明：设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1≠x2≠2，则y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,8)＋\f(y2,2)＝1，))
消去y并整理，得
(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－8＝0，
则x1＋x2＝eq \f(－8km,4k2＋1)，x1x2＝eq \f(4m2－8,4k2＋1).
因为kAP＋kAQ＝0，所以eq \f(y1－1,x1－2)＋eq \f(y2－1,x2－2)＝0，
化简得x1y2＋x2y1－(x1＋x2)－2(y1＋y2)＋4＝0.即2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4m＋4＝0.
所以eq \f(2k4m2－8,4k2＋1)－eq \f(8kmm－1－2k,4k2＋1)－4m＋4＝0，
整理得(2k－1)(m＋2k－1)＝0.
因为直线l不经过点A，
所以2k＋m－1≠0，所以k＝eq \f(1,2).
所以直线PQ的斜率为定值．
22．（12分）已知椭圆的上顶点到右顶点的距离为，点在上，且点到右焦点距离的最大值为3，过点且不与轴垂直的直线与交于两点.
(1)求的方程；
(2)记为坐标原点，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题设及椭圆性质、参数关系列方程求参数，即可得椭圆方程；
（2）设，直线，联立椭圆，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式写出面积关于k的表达式，进而求其最大值.
【详解】（1）由题意得，，解得，故的方程为.--
（2）设，直线，
联立，整理得：.
由得，且，
，
点到直线的距离，
，

令，故，故，
当且仅当，即时等号成立，
故面积的最大值为.-