2024宁夏育才中学高二上学期11月期中数学试题含解析

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(试卷满分150分，考试时间为120分钟)
一、单项选择题（每道小题只有一个正确答案，共8道小题，每小题5分，共计40分）
1. 在直角坐标系中，直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将直线方程化为斜截式，即可得到斜率，从而得到倾斜角.
【详解】直线即，则直线的斜率，
所以倾斜角为.
故选：D
2. 已知向量，且，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，设，即，，，2，，分析可得、的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案．
【详解】根据题意，向量，2，，，，，且，
则设，即，，，2，，
则有，则，，
则，，，故；
故选：A．
3. 如图，空间四边形OABC中，，点M是OA的中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将表示为以为基底的向量，由此求得的值.
【详解】依题意
，所以.
故选：C.
【点睛】本小题主要考查空间中，用基底表示向量，考查空间向量的线性运算，属于基础题.
4. 双曲线与椭圆的焦点相同，则等于（ ）
A. 1B. C. 1或D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线方程形式确定焦点位置，再根据半焦距关系列式求参数.
【详解】因为双曲线的焦点在轴上，
所以椭圆的焦点在轴上，
依题意得
解得.
故选：A
5. “”是“方程表示椭圆”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】首先求曲线表示椭圆的的取值范围，再根据集合的包含关系判断选项．
【详解】曲线表示椭圆，即或.
或，
“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件.
故选：B．
6. 已知点和，动点满足，则的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，由两点的距离公式可得，再化简可得解.
【详解】解：设，
因为，所以，
即 ，两边平方整理得：，，
两边平方整理得：，即 ，
故选:B.
【点睛】本题考查了两点的距离公式，主要考查了轨迹方程的求法，重点考查了运算能力.
7. 若圆M：上只有三个点到直线的距离为1，求a的取值（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心与半径，问题转化为圆心到直线的距离为1，即可求解a的取值.
【详解】由圆M：，得，
可得圆M的圆心坐标为，半径，
如图，
若要使圆M到直线的距离为1的点只有三个，
因为圆的半径，所以圆心到直线的距离为1，
由点到直线的距离公式可得，即，
解得，.
故选：D.
8. 正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据正八面体的性质得到，然后利用线性运算和数量积的运算律计算即可.
【详解】
由正八面体的性质可得，，则，
.
故选：A.
二、多项选择题（每道小题至少有两个正确答案，共4道小题，每小题5分，共计20分）
9. 已知空间中三点，，，则（ ）
A. 向量与互相垂直
B. 与方向相反的单位向量的坐标是
C. 与夹角的余弦值是
D. 在上的投影向量的模为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式，结合投影向量的定义、空间向量夹角公式逐一判断即可.
【详解】由已知可得，，.因为，所以与互相垂直，故A正确；，
所以与方向相反的单位向量的坐标是，故B正确；，，，所以，故C正确；在上的投影向量的模为，故D错误.
故选：ABC
10. 直线（A，B不同时为0）下列说法正确的是（ ）
A. 则该直线与两坐标轴都相交B. ，则该直线与轴平行
C. 则该直线为轴所在直线D. ，则该直线过原点
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据，，与零的关系得到直线方程的形式，然后判断即可.
【详解】若，则，，该直线与两坐标轴都有交点，故A正确；
，则直线方程为，该直线与轴平行或重合，故B错；
，，则直线方程为，表示轴所在的直线，故C正确；
，则直线方程为，经过原点，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知直线()与圆：，则（ ）
A. 对，直线恒过一定点
B ，使直线与圆相切
C. 对，直线与圆一定相交
D. 直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为
【答案】ACD
【解析】
【分析】通过直线转化为直线系，求出直线恒过的定点；说明直线被圆截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线垂直，由勾股定理即可得到最短弦长．
【详解】解：直线，即，令，解得，即直线恒过定点，故A正确；
圆：即圆：，圆心，半径，则，即点在圆内，所以直线与圆一定相交，故B错误，C正确；因为，当时直线与圆相交且直线被圆所截得的弦长最短，
最短弦长，故D正确；
故选：ACD
12. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）
A.
B. 平面
C. 向量与的夹角是60°
D. 直线与AC所成角的余弦值为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可．
【详解】解：对于，
，
所以，选项错误；
对于
，所以，即，
，所以，即，因为，平面，所以平面，选项正确；
对于：向量与 的夹角是，所以向量与的夹角也是，选项错误；
对于，
所以，
，
同理，可得
，
所以，所以选项正确．
故选：AC．
三、填空题（共四小题，每小题5分，共计20分）
13. 若圆与圆外切，则值为________；
【答案】4
【解析】
【分析】根据两圆外切列方程，解方程即可.
【详解】圆即，圆心为，半径为且，
圆即，圆心为，半径为4，
因为两圆外切，所以，解得.
故答案为：4.
14. 已知点，则点M关于直线的对称点的坐标是__．
【答案】
【解析】
【分析】设出点M关于直线的对称点的坐标，根据对称的几何性质列出方程组，即可求得答案.
【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，
则，解得，，
故点M关于直线的对称点的坐标是，
故答案为：
15. 如图，在大小为60°的二面角中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用，求出向量间的夹角，结合向量乘法即可求
【详解】由题意可知，，则∠BFC为二面角的平面角，
故．又，故异面直线BF，ED所成角也为．
∵，∴，
∴．
故答案为：
16. 已知椭圆的左，右焦点分别是，，点是椭圆上一点，满足，若以点为圆心，为半径的圆与圆，圆都内切；其中，则椭圆的离心率为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意画出图形，由已知向量等式可得，再由圆与圆的位置关系及椭圆定义求得、，然后利用勾股定理列式求解．
【详解】解：如图，
由，可得，
即，所以，
所以，
又以点为圆心，为半径的圆与圆，圆都内切，
，，
即，又由椭圆定义可得，，
联立可得，，
在△中，由，可得，
即，可得．
故答案为：．
四、解答题（要求有详细的解题步骤，共6道小题，共计70分）
17. 已知直线过点．
（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；
（2）若直线与两坐标轴上围成三角形面积为，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）设直线的方程为，代入点坐标可得答案；
（2）设直线的方程为，求出横截距、纵截距，利用可得答案.
【小问1详解】
设直线的方程为
过点，
的方程：；
【小问2详解】
设直线的方程为，
横截距为，纵截距为，
，
或，
方程为或.
18. 已知椭圆的两个焦点分别为，并经过点
（1）求椭圆的标准方程
（2）过坐标原点且倾斜角为的直线与椭圆交与A，B两点，求的面积
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两点间距离公式和椭圆的定义得到，根据得到，然后写椭圆方程即可；
（2）联立直线和椭圆方程得到，然后求三角形面积即可.
【小问1详解】
设椭圆的标准方程为由椭圆定义得：，
所以，
又，，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
设，，
联立消得：，所以，
所以.
19. 在平面直角坐标系中，已知四点．
（1）这四点是否在同一个圆上？如果是，求出这个圆的方程；如果不是，请说明理由；
（2）以线段为直径作圆，过点作圆的切线，求切线的方程．
【答案】（1）在，；
（2）或﹒
【解析】
【分析】(1)设出经过，，三点的圆的方程，将三点代入解方程，求出，，的值，再将点坐标代入即可得出结论；
(2)求出以线段为直径的圆的方程，设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求解即可．
【小问1详解】
设经过，，三点的圆的方程为，
∴，解得，，，
∴经过，，三点的圆的方程为，
由于，故点也在这个圆上，
因此，四点，，，都在圆上．
【小问2详解】
以线段为直径作圆，圆心，半径为：1，
过点作圆的切线，当切线斜率存在时，设切线方程为：，即
可得：，解得，
当切线斜率不存在时，也满足题意，
∴切线方程为：或．
20. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，．E为PD的中点，点F为PC上靠近P的三等分点．
（1）求二面角的余弦值；
（2）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
【答案】（1）；（2）直线AG在平面AEF内，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先建立空间直角坐标系并标点坐标，找出平面AEP的法向量，求出平面AEF的法向量，最后求二面角的余弦值即可；
（2）先求点的坐标和的坐标表示，再求利用平面AEF的法向量，证明直线AG在平面AEF内即可.
【详解】（1）以A为原点，在平面ABCD内过A作CD的平行线为x轴，
AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，，则平面AEP的法向量．
设平面AEF的法向量，
则，
取，得，
设二面角的平面角为，
则．
∴二面角的余弦值为．
（2）直线AG在平面AEF内，理由如下：
∵点G在PB上，且，∴，
∴，
∵平面AEF的法向量，，
故直线AG在平面AEF内．
【考点】本题考查线面的位置关系，利用空间向量求二面角，是基础题.
21. 在空间直角坐标系中，三棱锥，，，.
（1）求三棱锥的体积
（2）用求轨迹方程的思想方法，试求在空间直角坐标系中，以为方向向量，过点的直线方程
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出平面一个法向量，利用向量法求出点到平面的距离，在利用夹角公式求出，从而求出，最后根据体积公式计算可得；
（2）取该直线上任意一点 (异于点)，依题意可得，则存在实数，使得，消去参数，即可得解.
【小问1详解】
设平面的一个法向量为,
则有，令，则，，所以，
点到平面的距离，即棱锥的高
又，所以，
所以，
所以三棱锥的体积.
【小问2详解】
取该直线上任意一点 (异于点)，则，
依题意可得，
所以存在实数，使得，即，
即，消去参数可得，
将代入上式，适合此方程，
所以该直线方程为：.
22. 如图，已知点M在圆上运动，轴(垂足为N)，点Q在NM的延长线上，且.
（1）求动点Q的轨迹方程；
（2）直线l：与1中动点Q的轨迹交于两个不同的点A和B，圆O上存在两点C、D，满足，，求m的取值范围；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用代入法求动点的轨迹方程；
（2）根据直线与的轨迹交于两个不同的点列方程得到，将圆上存在两点、，满足，转化为的垂直平分线与圆有两个交点，然后列不等式求解即可.
小问1详解】
设动点，点，
由点在圆上，则，
由，则，，
把，代入，
得动点的轨迹方程为
【小问2详解】