吉林省通化市梅河口市第五中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附答案）

这是一份吉林省通化市梅河口市第五中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知，，则以为直径的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
2. 设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A. 充分必要条件B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件
3. 过点P(1，－2)作圆C：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为（ ）
A. B. y＝－
C. y＝－D.
4. 过圆内的点作一条直线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程是（ ）
A. B.
C. D.
5.若椭圆的离心率为，则该椭圆的长轴长为（ ）
A. 8B. 2或4C. 1或4D. 4或8
6. 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为
A. ＋＝1B. ＋＝1
C. ＋＝1D. ＋＝1
7. 已知双曲线的一条渐近线平行于直线，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知抛物线为的焦点，过焦点且倾斜角为的直线与交于两点，则下面结论不正确的是（ ）
A. 以为直径的圆与抛物线的准线相切B.
C. D. 记原点为，则
二、多项选择题： 本题共 4 小题，每小题 5 分， 共 20 分． 在每小题给出的选项中， 有多项符合题 目要求． 全部选对的得 5 分， 部分选对的得 2 分， 有选错的得 0 分．
9. 直线 与圆 的大致图像可能正确的是
下列命题中， 正确的结论有
A． 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行， 那么这两个角相等
B． 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行， 那么这两组直线所成的锐角 (或直 角)相等
C． 如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补
D． 如果两条直线同吋平行于第三条直线， 那公这两条直线互相平行
已知直线 ， 则下列结论正确的是
A． 存在实数 ， 使得直线 与直线 垂直
B． 存在实数 ， 使得直线 与直线 平行
C． 存在实数 ， 使得点 ． 到直线 的距离为 4
D． 存在实数 ， 使得以线段 为直径的圆上的点到直线 的最大距离为
“阿基米德多面体”也称为半正多面体， 是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面 体， 它体现了数学的对称美． 如图， 将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥， 共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为 ， 则关于该半正多面 体的下列说法中正确的是
A．
B． 该半正多面体的外接球的表面积为
C． 与平面 所成的角为
D． 与 所成的角是 的棱共有 16 条
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．已知直线与圆C：相交于A，B两点，O为坐标原点，若四点共圆，则的值为______.
14．已知椭圆的左､右焦点分别是，，直线与椭圆交于A，B两点，，且，则椭圆的离心率是___________．
15．已知首项为的数列的前项和为，若，且数列，，…，成各项均不相等的等差数列，则的最大值为__________．
16. 已知直线：与圆相交于两点，且三角形的面积取得最大值，又直线与抛物线相交于不同的两点，则实数的取值范围是________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
18. 在坐标平面中，三个顶点坐标分别为，，
（1）求中边上中垂线的一般方程；
（2）求中角平分线的一般方程；
（3）求外接圆的一般方程.
19．（12分）已知圆.
(1)求过点且与圆相切的直线方程；
(2)已知点．则在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数，若不存在，说明理由．
20. 汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离(并结合车速转化为所需时间)，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法(如图所示)将报警时间划分为段，分别为准备时间，人的反应时间，系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，当车速为(米/秒)，且时，通过大数据统计分析得到下表(其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，且).
（1）请写出报警距离(米)与车速(米/秒)之间的函数关系式；并求时，若汽车达到报警距离，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物最短时间；
（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下?合多少千米/时?
21. 已知各项均为正数的数列的前项和为，满足，且恰为等比数列的前项.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，数列的前项和为，实数的取值范围.
22. 已知椭圆E：，P为椭圆E的右顶点，O为坐标原点，过点P的直线l1，l2与椭圆E的另外一个交点分别为A，B，线段PA的中点为M，线段PB的中点为N.
（1）若直线OM的斜率为，求直线l1的方程；
（2）若OM⊥ON，证明：直线AB过定点.
AADAD DDD AC BD ABD ACD
13 4 14 15 4 16
17 【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.
（2）方法一：根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值.
【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法
由余弦定理得，所以.
由正弦定理得.
（2）[方法一]：两角和的正弦公式法
由于，，所以.
由于，所以，所以.
所以
.
由于，所以
所以.
18 【答案】（1）（2）（3）
【解析】
【分析】（1）求出BC中点坐标及斜率，利用垂直得中垂线斜率，点斜式求出方程再化为一般式；（2）判断三角形为以B为直角的等腰直角三角形，转化为求边AC上的中线方程即可求解；（3）设圆的一般方程，将点代入，求解方程即可求解
【详解】（1）由题意知BC中点坐标为，故边上中垂线斜率为，边上中垂线方程为化简为一般式得
（2）由题易知，，为以B为直角的等腰直角三角形，角B平分线即为边AC上的中线方程，易求AC中点坐标 ，故角平分线 化为一般式为
（3）设圆的一般方程为
则 解得
故圆的一般方程为
19 【答案】(1)或；
(2)存在，点P的个数为2,理由见解析
【分析】（1）由点到直线的距离公式列式求解，
（2）由题意列式得轨迹方程，由圆和圆的位置关系求解，
【详解】（1）由题意圆C：，圆心，半径，
1）当直线l的斜率不存在时，直线l：，符合题意；
2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：即，
则圆心C到直线l的距离，解得，
所以直线l的方程为即
综上，直线l的方程为或；
（2）假设圆C上存在点P，设，则C：，
又，
即，P的轨迹是圆心为，半径为3的圆.
因为，
所以圆C：与圆相交，
所以点P的个数为2
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【答案】（1）；秒；（2）米/秒以下，合千米/时.
【解析】
【分析】
（1）由题意而，再将代入即可得到；根据题意，根据基本不等式计算的最小值；
（2）根据题意只需满足对任意恒成立，转化为二次不等式恒成立问题求解.
【详解】根据题意，得，
所以所求函数关系式为，
当时，（秒）
当且仅当，即时等号成立，
所以汽车撞上固定障碍物的最短时间是秒.
所以汽车撞上固定障碍物的最短时间是秒，
则路况最糟糕时也需满足，即时，，
即，
解得米/秒千米/时，
所以汽车的行驶速度应限制在米/秒以下，合千米/时.
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【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)根据数列的通项与前项和之间的关系化简求得的递推公式,利用,成等比数列求得进而求得等差数列的通项.进而得到的通项即可.
(2)由(1)有,再利用错位相减求解，转化为即可.
【详解】因为
所以时，
，得
所以
因
所以
所以数列是公差为的等差数列.
又
解得（舍去）
所以
因为恰为等比数列的前项，
所以
所以
所以
所以
根据题意，得
运用错位相减法得
下面证明单调递增：
所以单调递增
要使恒成立，只需满足即可
即，解得
所以实数的取值范围为
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【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）设直线AP的方程为x=ty+3(t≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系结合中点坐标公式可求得再由直线OM的斜率为，可求出的值，从而可得直线l1的方程；
（2）①当直线的斜率不存在时，设，从而可表示出的坐标，再由OM⊥ON，可得的关系，再结合点在椭圆上，可求出，从而可得直线的方程，②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，联立椭圆的方程，消去，利用根与系数的关系结合可得，得不满足题意，，从而可得直线过定点
【详解】解：（1）设直线AP的方程为x=ty+3(t≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立，得，
所以所以，
所以因为所以，解得，
所以直线的方程为.
（2）①当直线的斜率不存在时，设，
则由，有
所以所以
因为，
所以，所以直线的方程为.
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，
联立椭圆的方程得，
所以，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由，
由，可得，
即，
所以，
所以，
即，
当时，直线过椭圆的左顶点，不满足题意，当时，直线过定点，且满足，
综上所述，直线过定点阶段
0.准备
1.人的反应
2.系统反应
3.制动
时间
秒
秒
距离
米