北师大版数学八年级（上）复习微专题精炼3 勾股定理的应用

这是一份北师大版数学八年级（上）复习微专题精炼3 勾股定理的应用，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．如图，一根长为的竹竿斜靠在竖直的墙壁上，竹竿底端B离墙壁距离，则该竹竿的顶端A离地竖直高度为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在“庆国庆，手拉手”活动中，某小组从营地A出发，沿北偏东方向走了1200m到达B点，然后再沿北偏西方向走了500m到达目的地C点，此时A，C两点之间的距离为（ ）
A．1000mB．1100mC．1200mD．1300m
3．《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，将一根长的铅笔放入底面直径为，高为的圆柱形笔筒中，设铅笔露在笔筒外面的长度为，则x的最小值是（ ）
A．5B．7C．12D．13
5．如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形一只蚂蚁从顶点开始爬向顶点，那么它爬行的最短路程为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”.如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（ ）
A．3米B．4米C．5米D．7米
7．有长为5cm，12cm的两根木条，现想找一根木条和这两根木条首尾顺次相连组成直角三角形，则下列木条长度适合的是（ ）
A．10cmB．13cmC．18cmD．20cm
8．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的斜边长为5，较短直角边长为3，则图中小正方形（空白区域）的面积为（ ）
A．1B．4C．6D．9
9．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A．B．C．6D．
10．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”（如图1）；再分别以这两个正方形的边为斜边，向外各自作一个直角三角形，然后分别以这两个直角三角形的直角边为边，向外各作一个正方形，称为第二次“生长”（如图2）……如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．1B．2020C．2021D．2022
二、填空题
11．《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，原文：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：今有竹高10尺，末端被折断而抵达地面，离竹根部有3尺，则竹的余高为 尺．
12．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了 米.
13．在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则这个湖的水深是 尺．
14．一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过小时后，它们相距 海里．
15．我国古代《九章算术》中的“折竹抵地问题”：一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端6尺处，折断处离地面的高度为 尺．（一丈=10尺）
三、解答题
16． 如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米，求这辆送家具的卡车能否通过这个通道.
17．学过勾股定理后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长米如图；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子另一端的手到地面的距离为米，到旗杆的距离为米如图．根据以上信息，求旗杆的高度．
四、综合题
18．如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m．
（1）求旗杆距地面多高处折断（）；
（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？
19．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且，过点作于点，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25km/h．
（1）求监测点A与监测点B之间的距离；
（2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由．
20．在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．
（2）求原来的路线AC的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得：，，，
则，
即该竹竿的顶端A离地竖直高度为，
故答案为：C．
【分析】直角利用勾股定理计算即可.
2．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：，，，
∴，
∴，
∴，
即A，C两点之间的距离为1300m，
故答案为：D．
【分析】先求出∠ABC的度数，再利用勾股定理求出AC的长即可。
3．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得：，
设折断处离地面的高度是x尺，
由勾股定理得：．
故答案为：D．
【分析】设折断处离地面的高度是x尺，利用勾股定理可得。
4．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，h最短，
此时，
故；
故答案为：A．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用线段的和差求出即可。
5．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：①如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内，则AD=6dm，BD=6+9=15dm，
；
②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内，AC=6+6=12dm，BC=9dm，
；
③将长方体的上面和左面展开在同一平面内，则DE=6dm，BE=6+9=15dm，
；
∵，
所以蚂蚁爬行的最短路程为15dm．
故答案为：C．
【分析】将立体图形按照三个不同的方向展开，连接AB，用勾股定理求出AB的长，比较大小找出最短的距离即可．
6．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可知. ， ，
由勾股定理得 ，
故离门4米远的地方，灯刚好打开.
故答案为：B.
【分析】由题意可知：BE=CD=1.5m，AE=AB-BE=3m，AC=5m，由勾股定理求出BD、CE，据此解答.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解： ，
木条长度适合的是 .
故答案为：B.
【分析】直接利用勾股定理求解即可.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：大正方形的边长为5，较短直角边长为3，
则较长直角边长4，
∴小正方形边长为1，
∴小正方形面积为1，
故答案为：A．
【分析】先求出较长直角边长4，再求出小正方形边长为1，最后求解即可。
9．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设秋千绳索的长度为，
由题意可得，
四边形为矩形，，，，，
∴，，
在中，，
即，
解得，
即的长度为．
故答案为：B．
【分析】设秋千绳索的长度为，利用勾股定理可得，再求出即可。
10．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：SA=1，
由勾股定理得：SB＋SC=1，
则 “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得：
“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，
“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，
……
“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022，
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理可证得SB＋SC=1，可得到“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2；“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3；“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，……，由此规律可得到“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和.
11．【答案】4.55
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得，如图所示，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴竹的余高为4.55尺，
故答案为：4.55．
【分析】设，则，利用勾股定理可得，再求出x的值即可。
12．【答案】9
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，
∴AB＝＝＝15（米），
∵CD＝10（米），
∴AD＝＝6（米），
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），
答：船向岸边移动了9米，
故答案为：9.
【分析】分别在Rt△ABC、Rt△ACD中，根据勾股定理可得AB、AD的值，然后根据BD=AB-AD进行计算.
13．【答案】3.75
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设这个湖的水深是x尺，则荷花的长为（x+0.5）尺，
根据题意，得，
解得：x=3.75，
∴这个湖的水深是3.75尺．
故答案为：3.75．
【分析】设这个湖的水深是x尺，则荷花的长为（x+0.5）尺，根据勾股定理可得，再求出x的值即可。
14．【答案】30
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，由题意可知
，
在中
故它们相距30海里．
故答案为：30
【分析】先求出，再利用勾股定理求出BC的长即可。
15．【答案】3.2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：1丈＝10尺，
设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10−x）尺，
根据勾股定理得：x2＋62＝（10−x）2，
解得：x＝3.2．
答：折断处离地面的高度为3.2尺．
故答案为：3.2
【分析】设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10−x）尺，利用勾股定理可得x2＋62＝（10−x）2，再求出x的值即可。
16．【答案】解：过直径的中点O作直径的垂线，交下底边于点D，如图所示，
在RtΔABO中，由题意知OA=2，DC=OB=1.4，
所以AB2=22-1.42=2.04，
因为4-2.6=1.4，1.42=1.96，2.04>1.96，
所以卡车可以通过.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】过直径的中点O作直径的垂线，交下底边于点D，先利用勾股定理求出AB2，再结合4-2.6=1.4，1.42=1.96，2.04>1.96，即可判断出卡车可以通过.
17．【答案】解：设米，
则，，
，
，
即：，
，
，
．
答：旗杆的高度为米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】利用勾股定理列方程求出 ， 再解方程即可。
18．【答案】（1）解：由题意，知．
∵，
设长为，则长，
则，
解得．
故旗杆距地面3米处折断
（2）解：如图．
∵点D距地面，
∴，
∴，
∴距离旗杆底部周围米的范围内有被砸伤的风险．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，可知AC+BC等于旗杆的高度，同时根据题意可得到AB的长，然后设AC=x，可表示出BC的长，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值.
（2）利用已知条件可得到AD的长及B′D的长，然后利用勾股定理求出AB′的长.
19．【答案】（1）解：在中，km，km，
（km），
答：监测点与监测点之间的距离为500km；
（2）解：海港受台风影响，
理由：，，
，
，
km，
以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，
海港会受到此次台风的影响，
以为圆心，260km长为半径画弧，交于，，
则km时，正好影响港口，
在中，
（km），
km，
台风的速度为25千米小时，
（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为8小时．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理计算即可；
（2） 海港受台风影响，理由：利用三角形的面积公式可求出CE的长，与260km进行比较，可得出 海港受台风影响； 以为圆心，260km长为半径画弧，交于，， 则DE=EF=260km，利用勾股定理求出DE，进而求出DF的长，根据时间=路程÷速度即可求解.
20．【答案】（1）解：是， 理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25， BC2=2.25，
∴CH2+BH2=BC2，
∴△CHB是直角三角形，
∴CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）解：设AC=x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2
∴x2=（x-0.9）2+1.22，
解这个方程，得x=1.25，
答：原来的路线AC的长为1.25千米．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）先求出CH2+BH2=BC2，利用勾股定理的逆定理可得△CHB是直角三角形，所以CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）设AC=x千米，利用勾股定理可得x2=（x-0.9）2+1.22， 再求出x的值即可。