北师大版数学八年级（上）复习微专题精炼2 勾股定理的逆定理

这是一份北师大版数学八年级（上）复习微专题精炼2 勾股定理的逆定理，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中错误的是（ ）
A．如果a2=b2−c2，那么△ABC是直角三角形且∠A=90°
B．如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，那么△ABC是直角三角形
C．如果，那么△ABC是直角三角形
D．如果，那么△ABC是直角三角形
2．在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．在中，的对边分别是a，b，c，下列条件中不能说明 是直角三角形是（ ）
A．B．
C．D．
4．将直角三角形的三条边长做如下变化，得到的新三角形仍是直角三角形的是（ ）
A．同加一个相同的数B．同减一个相同的数
C．同乘以一个相同的正整数D．同时平方
5．在 中，的对边分别为， 下列所给数据中， 能判断是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在边长为1的正方形方格中，A，B，C，D均为格点，构成图中三条线段，，.现在取出这三条线段，，首尾相连拼三角形.下列判断正确的是（ ）
A．能拼成一个锐角三角形B．能拼成一个直角三角形
C．能拼成一个钝角三角形D．不能拼成三角形
7．在△ABC中，它的三边分别为a，b，c，条件：①∠A＝∠C﹣∠B；②∠A＝∠B＝2∠C；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝1：：；中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图折叠直角三角形纸片，使直角边落在斜边上折痕为，点落到点处，已知，，，则的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．如图，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个正方形网格中不是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，五根小木棒，其长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
11．已知一个三角形的三边长分别是4cm、7cm、6cm，该三角形的形状 （填“是”或“不是”）直角三角形．
12．如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为 度．
13．下列条件：①∠C＝∠A－∠B；②∠A：∠B：∠C＝5∶2∶3；③a＝c，b＝c；④a∶b∶c＝1∶2：，则能确定△ABC是直角三角形的条件有 个．
14．三角形的三边长a，b，c满足2ab=(a+b)2-c2，则此三角形的形状是 三角形.
15．定义：在平面直角坐标系中，把从点P出发沿横或纵方向到达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”.如图，若 ， ，则P，Q的“实际距离”为5，即 或 .环保低碳的公共自行车，逐渐成为市民出行喜欢的交通工具.设A，B，C三个小区的坐标分别为 ， ， ，若点M表示公共自行车停放点，且满足M到A，B，C的“实际距离”相等，则点M的坐标是 .
三、作图题
16．如图是5×5的网格，每个小正方形的边长均为1，分别在图1、图2中各画一个以AB为斜边的的直角三角形.（要求：所画三角形顶点都在格点上，两个三角形面积不同）.
四、解答题
17．已知的三条边长分别为，，，其中，，，且是直角三角形吗？请证明你的判断.
18．为庆祝中华人民共和国成立73周年，喜迎党的二十大胜利召开，学校组织了“献礼二十大”小制作展示活动．小彬计划制作一架飞机模型，如图的四边形材料是飞机垂直尾翼的雏形．小彬测量发现，，，．根据设计要求，还需保证．由于手头工具有限，小彬只能测得．根据以上数据，请你判断该材料是否符合设计要求，并说明理由．
五、综合题
19．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上．
（1）线段AB的长度是 ，线段CD的长度是 ．
（2）若EF的长为，那么以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由．
20．已知的三边，，.
（1）求证：是直角三角形.
（2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数.
21．先阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点坐标，其两点间距离公式为．
例如：点和的距离为．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或平行于y轴距离公式可简化成或．
（1）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为2，则A，B两点的距离为 ；
（2）已知，试求A，B两点的距离；
（3）已知三个顶点坐标为，请判断此三角形的形状，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、如果 a2=b2-c2，即b2=a2+c2，那么△ABC 是直角三角形且∠B=90°，符合题意；
B、如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，由∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A=90°，那么△ABC 是直角三角形，不符合题意；
C、如果 a2：b2：c2=9：16：25，满足a2+b2=c2，那么△ABC 是直角三角形，不符合题意；
D、如果∠A-∠B=∠C，由∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A=90°，那么△ABC 是直角三角形，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐项判断即可。
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：对于①：∵，
∴，
∴，故①满足题意；
对于②：，设，
∴，
∴，
∴，故②满足题意；
对于③：，设，
∵，
∴是直角三角形，故③满足题意；
对于④：∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，故④不满足题意；
所以能判断是直角三角形的有：①②③，
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐项判断即可。
3．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，∴，即，能判断是直角三角形，不符合题意；
B、设，∵，∴能判断是直角三角形，不符合题意；
C、∵，∴，能判断是直角三角形，不符合题意；
D、∵，∴，∴不能判断是直角三角形，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐项判断即可。
4．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：设直角三角形的三边长分别为：a，b，c（斜边），
∴，
若三边都加上（或减去）同一个m，则三边分别为，，，
此时，
∴A，B不符合题意；
若三边都乘以n（n为正整数），则三边分别为，，，
∴，
∴此时三角形还是直角三角形，故C符合题意；
若三边都平方，则三边分别为：，，，
∴，
故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】设直角三角形的三边长分别为：a，b，c（斜边），则a2+b2=c2，若三边都加上（或减去）同一个m，则三边分别为a±m，b±m，c±m，此时(a±m)2+(b±m)2≠(c±m)2，据此判断A、B；同理可判断CD.
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，，∴，∴不是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，∴，∴，∴是直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵，设，则，，∴，解得，，，，∴不是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，设，，，∴，解得，∴，，，∴不是直角三角形，故此选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】A、由题意分别计算a2+b2，c2的值，观察是否满足a2+b2=c2，然后根据勾股定理的逆定理可判断求解；
B、由已知的等式变形可得a2+c2=b2，根据勾股定理的逆定理可判断求解；
C、设∠C=x，结合已知可将∠A和∠B用含x的代数式表示出来，根据三角形的内角和等于180°可得关于x的方程，解之求出x的值，再计算∠A、∠B的度数即可判断求解；
D、由题意可设∠A=2x，∠B=5x，∠C=2x，根据三角形的内角和等于180°可得关于x的方程，解之求出x的值，再计算∠A、∠B、∠C的度数即可判断求解.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴，
∴三条线段，，首尾相连拼三角形是直角三角形.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理分别求出AB2、BC2、CD2，然后利用勾股定理逆定理进行判断.
7．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：①∵∠A＝∠C﹣∠B，
∴∠A+∠B＝∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴能确定△ABC是直角三角形；
②∵∠A＝∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C+2∠C+∠C＝180°，
∴∠C＝36°，
∴∠A＝∠B＝72°，
∴不能确定△ABC是直角三角形；
③∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°×＝75°，
∴不能确定△ABC是直角三角形；
④∵a：b：c＝1：：，
∴设a＝k，b＝k，c＝k，
∴a2+b2＝k2+（k）2＝3k2，c2＝（k）2＝2k2，
∴a2+b2≠c2，
∴不能确定△ABC是直角三角形；
所以，能确定△ABC是直角三角形的条件有1个.
故答案为：A.
【分析】根据①②③的条件结合内角和定理求出∠C的度数，据此判断；根据④中的条件可设设a＝k，b＝k，c＝k，则a2+b2≠c2，结合勾股定理逆定理进行判断即可.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：，，，
由勾股定理逆定理得：．
由折叠的性质知，，，．
，
在中，由勾股定理得，
即，
解得：．
.
故答案为：C.
【分析】由勾股定理逆定理得∠ACB=90°，由折叠的性质知AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°，则BE=AB-AE=4，在Rt△BDE中，根据勾股定理可得CD的值，进而可得BD.
9．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由观察可知，A选项中的三角形是直角三角形；
B选项中的三角形三边长分别为，符合，
因此B选项中的三角形是直角三角形；
C选项中的三角形三边长分别为，不满足有两边的平方和等于第三边的平方，
因此C选项中的三角形不是直角三角形；
D选项中的三角形三边长分别为，符合，
因此D选项中的三角形是直角三角形；
故答案为：C．
【分析】根据直角三角形的判定方法对每个选项一一判断即可。
10．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、对于△ABD，由于，则此三角形不是直角三角形，同理△ADC也不是直角三角形，故不合题意；
B、对于△ABC，由于，则此三角形不是直角三角形，同理△ADC也不是直角三角形，故不合题意；
C、对于△ABC，由于，则此三角形是直角三角形，同理△BDC也是直角三角形，故符合题意；
D、对于△ABC，由于，则此三角形不是直角三角形，同理△BDC也不是直角三角形，故不合题意．
故答案为：C
【分析】利用直角三角形的判定方法判断即可。
11．【答案】不是
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵42+62≠72，
∴该三角形的形状不是直角三角形.
故答案为：不是
【分析】根据勾股定理的逆定理，如果三角形较小的两条边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形，否则就不是.
12．【答案】45
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AC，
由勾股定理得：AC2=22+12=5，
BC2=22+12=5，
AB2=12+32=10，
∴AC2+BC2=5+5=10=BA2，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
故答案为：45．
【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC2+BC2=5+5=10=BA2，再利用勾股定理的逆定理可得△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，从而得解。
13．【答案】4
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：①∵∠C=∠A-∠B，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝90°，故△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝5：2：3，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝90°，故△ABC是直角三角形；
③∵a= c，b= c，∴a2+b2=c2，∴∠c=90°，故△ABC是直角三角形；
④∵a：b：c＝1：2：，∴a2＋c2＝b2，∴∠B=90°，故△ABC是直角三角形.
故答案为：4.
【分析】根据三角形的内角和定理，结合已知找出最大内角的度数，根据最大内角是90°，即可判断该三角形是直角三角形，据此判断①与②；根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边满足较小两边两边的平方和等于最大边长的平方，该三角形就是直角三角形，据此判断③④.
14．【答案】直角
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵（a+b）2-c2=2ab，
∴a2+b2=c2，
∴三角形是直角三角形.
故答案为：直角.
【分析】将已知等式利用完全平方公式展开并整理可得a2+b2=c2，进而根据勾股定理的逆定理可得三角形的形状.
15．【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；线段的中点；定义新运算
【解析】【解答】解：设M（x，y），
∵M到A，B，C的“实际距离”相等， ， ， ，
∴AC实际距离为|1+3|+|5+1|=4+6=10，BC实际距离为|1+5|+|3-1|=6+2=8，
AB实际距离为|-5+3|+|3+1|=2+4=6，
∵62+82=102，
∴△ABC三边的实际距离构成直角三角形，
∴M（x，y）为AC中点，
∴x= ，y= ，
∴CM=|1+1|+|5-2|=2+3=5，BK=|-1+5|+|3-2|=4+1=5，MA=|-1+3|+|2+1|=2+3=5，
∴M（-1，2）.
故答案为：（-1，2）.
【分析】设M（x，y），则AC=10，BC=8，AB=6，根据勾股定理逆定理可知△ABC为直角三角形，利用中点坐标公式可得点M的坐标，然后求出CM、BK、MA.
16．【答案】解：如图所示
理由：以第一个图为例，根据勾股定理可得，另外两条边的平方均等于，由勾股定理的逆定理可判定该三角形为直角三角形.
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据勾股定理逆定理可得两条直角边的平方和为20，据此作图.
17．【答案】解：的三条边长分别为，，，，，，
，
是直角三角形.
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据已知条件可得a2+b2=(m-n)2+4mn=(m+n)2，c2=(m+n)2，然后结合勾股定理逆定理进行解答.
18．【答案】解：该材料符合设计要求，理由如下：
在中，，，，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴该材料符合设计要求．
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先利用勾股定理的逆定理证明，，可得，即可得到，从而得解。
19．【答案】（1）；2
（2）解：以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形，
理由：∵AB=，CD=2，EF=，
∴CD2+EF2=（2）2+（）2=8+5=13=AB2，
∴以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1）由图可得，
AB==，CD==2，
故答案为：，2；
【分析】（1）利用勾股定理求出AB和CD的长即可；
（2）利用勾股定理的逆定理判断即可。
20．【答案】（1）证明：∵△ABC的三边a=m2-1（m＞1），b=2m，c=m2+1，
而当m＞1时，m2-1＜m2+1，2m＜m2+1，
∴（m2-1）2+（2m）2=m4+1-2m2+4m2=（m2+1）2，
即a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：当m=2时，直角三角形的边长为3，4，5；
当m=3时，直角三角形的边长为8，6，10（答案不唯一）.
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）一个三角形的三边只要满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，该三角形就是直角三角形，据此证明即可；
（2）给定m的值代入表示三边的代数式，计算即可.
21．【答案】（1）3
（2）解：由题意得；
（3）解：是等腰直角三角形，理由如下：
由题意得，，，
∴，
∴是等腰直角三角形．
【知识点】两点间的距离；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1）由题意得，两点的距离为，
故答案为：3；
【分析】（1）根据题意求出两点的距离为，即可作答；
（2）利用勾股定理计算求解即可；
（3）利用勾股定理求出AB，AC和BC的值，再求出 ， 最后求解即可。