北师大版数学八年级（上）复习微专题精炼4 实数及运算

这是一份北师大版数学八年级（上）复习微专题精炼4 实数及运算，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．下列各数：，其中，无理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是
B．无限小数是无理数
C．数轴上的点对应的数不是整数就是分数
D．若a，b，c为一组勾股数，则2a，2b，2c仍是一组勾股数
3．一个数的两个平方根分别是2a+1与-3a+2，则a的值是（ ）
A．-1B．1C．-3D．3
4．已知是整数，则自然数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．下列运算结果错误的是（ ）
A．B．C．D．
6． 已知没有平方根，且，则的立方根为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，为实数，且，则的立方根是（ ）
A．B．C．D．
8．下列说法正确的有（ ）
①带根号的数都是无理数；
②立方根等于本身的数是0和1；
③﹣a一定没有平方根；
④实数与数轴上的点是一 一对应的；
⑤两个无理数的差还是无理数．
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．为了证明数轴上的点可以表示无理数，老师给学生设计了如下材料：如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点由原点（记为点O）到达点A，点A对应的数是（ ）
A．B．3.14C．D．-3.14
10．公元前500年，毕达哥拉斯学派中的一名成员西伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机．事实上，我国古代发现并阐述无理数的概念比西方更早，但是没有系统的理论．《九章算术》的开方术中指出了存在有开不尽的情形：“若开方不尽者，为不可开．”《九章算术》的作者们给这种“不尽根数”起了一个专门名词—“面”“面”就是无理数．无理数中最具有代表性的数就是“”．下列关于的说法错误的是（ ）
A．可以在数轴上找到唯一一点与之对应
B．它是面积为2的正方形的边长
C．可以用两个整数的比表示
D．可以用反证法证明它不是有理数
二、填空题
11．已知m，n为两个连续整数，且，则 ．
12．阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为，若规定实数的整数部分记为，小数部分记为，可得，按照此规定计的值是 ．
13． 已知：y=，当a，b取不同的值时，y也有不同的值，当y最小时，ba的算术平方根为 .
14．计算的结果等于 .
15．如图，由图中的信息可知点P表示的数是 .
三、计算题
16．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
四、解答题
17．解下列各题：
（1）计算： ；
（2）计算： ；
（3）如图，点A是数轴上表示实数a的点．
①用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的 的点P；（保留作图痕迹，不写作法）
②利用数轴比较 和a的大小，并说明理由．
18．已知的立方根是，的算术平方根是，的整数部分是．
（1）求，，的值．
（2）求的平方根．
19． 一只蚂蚁从点A沿数轴向左爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）求的值．
（2）在数轴上还有C、D两点分别表示实数C、d，且满足，求cd的立方根．
20．阅读下面的文字，解答问题．
例如：∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为，
请解答：
（1）的整数部分是 ；
（2）已知：小数部分是，小数部分是，且，求的值．
21．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为．请解答下列问题：
（1）的“青一区间”是 ；的“青一区间”是 ；
（2）若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值；
（3）实数x，y，m满足关系式：，求的算术平方根的“青一区间”．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】，有理数
无限循环小数，有理数
，无理数
，无理数
-1.34，有理数
无理数有2个
故选：B
【分析】根据有理数和无理数的定义判定。
2．【答案】D
【知识点】平方根；勾股数；无理数的认识
【解析】【解答】解：A：=4，4的平方根为：±2，A错误，不符合题意；
B：无线不循环小数是无理数，B错误，不符合题意；
C：数轴上对应的点也可能是无理数，C错误，不符合题意；
D：若a，b，c为一组勾股数，则2a，2b，2c仍是一组勾股数，D正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据平方根的定义，无理数的定义及勾股数的定义即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：由题意可得：
2a+1+(-3a+2)=0
解得：a=3
故答案为：D
【分析】根据数的平方互为相反数可列出方程，解方程即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：若是整数，且m是最小的，所以=4 ，则自然数m的最小值是4.
故答案为：4.
【分析】根据算术平方根的定义可得当被开方数是16时， 是整数且最小的，从而得出此时m的最小值.
5．【答案】C
【知识点】立方根及开立方；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】A、∵，∴A正确，不符合题意；
B、∵，∴B正确，不符合题意；
C、∵，∴C不正确，符合题意；
D、∵，∴D正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用二次根式的性质及立方根的性质逐项判断即可.
6．【答案】D
【知识点】平方根；立方根及开立方；绝对值的非负性
【解析】【解答】
∵
∴ x=
∵ x没有平方根
∴ x=-125
则x的立方根为-5
故答案为：D.
【分析】本题考查绝对值、平方根、立方根的知识。负数没有平方根，这是解题关键。
7．【答案】C
【知识点】立方根及开立方；偶次幂的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴x-3=0，y+2=0，
∴x=3，y=-2.
∴，
∴
故答案为：C.
【分析】先根据非负性求出x和y的值，再开立方即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】立方根及开立方；实数在数轴上的表示；有理数及其分类；无理数的认识
【解析】【解答】解： ①不是无理数，错误；
② -1的 立方根也等于本身 ，错误；
③ 当a=0时，-a=0，有平方根 ，错误；
④实数与数轴上的点是一 一对应的，正确；
⑤，差是有理数，错误.
正确的有 1个.
故答案为：A.
【分析】考查了无理数的识别，立方根，平方根，实数与数轴，二次根式的运算，根据各性质、运算法则逐一验证.错误的命题只需举一个反例.
9．【答案】A
【知识点】实数在数轴上的表示；圆的周长
【解析】【解答】解：直径为1个单位长度的圆的周长为：
则OA的长度为圆的周长为π
故答案为：A
【分析】根据线段OA的长等于圆的周长即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】实数在数轴上的表示；反证法；无理数的认识
【解析】【解答】解：A．利用勾股定理，可以在数轴上找到唯一点与之对应，不符合题意；
B．面积为2的正方形的边长为，不符合题意；
C．是无理数，不可以用两个整数的比表示，符合题意；
D．可以用反证法证明它不是有理数，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理，正方形的面积公式，无理数的定义，有理数的定义对每个选项一一判断即可。
11．【答案】7
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，，
∴
故答案为：7
【分析】先求出，可得m=3，n=4，再将m、n代入m+n计算即可。
12．【答案】
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解： 按照此规定 ，表示的 小数部分 ，因为，所以，即，所以.
故答案为：.
【分析】先确定的范围，再确定的范围，然后求出.
13．【答案】1
【知识点】算术平方根；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵y=，，，
∴当且时，y的值最小，
∴a-2=0，3(b+1）=0，
解得：a=2，b=-1，
∴ba =（-1）2=1，
∴ba的算术平方根为，
故答案为：1.
【分析】根据题意先求出当且时，y的值最小，再求出a=2，b=-1，最后计算求解即可。
14．【答案】
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：=.
故答案为：.
【分析】如果一个数x的立方等于a，则x就是a的立方根，据此可得答案.
15．【答案】-2+
【知识点】实数在数轴上的表示；勾股定理
【解析】【解答】解：如下图：
∵
∴点P表示的数是：
故答案为：.
【分析】根据勾股定理求出AB的长度，进而可知点P所表示的数.
16．【答案】解：原式== 【答案】解：原式===12 【答案】解：原式=== 【答案】解：原式===2
（1） 解：原式==
（2）解：原式=
=
=12
（3）解：原式=
=
=
（4）解：原式=
=
=2
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除法；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可；
（2）利用二次根式的乘除法的计算方法求解即可；
（3）利用二次根式的加减法的计算方法求解即可；
（4）利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可.
17．【答案】（1）解：
=-3+5-1
=1；
（2）解：
=
= ；
（3）解：①如图所示，点P即为所求；
②a＞ ，理由如下：
∵如图所示，点A在点P右侧，
∴a＞ ．
【知识点】实数在数轴上的表示；实数大小的比较；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的乘法及立方根进行计算即可；
（2）利用绝对值及平方差公式计算即可；
（3）①过点1作x轴的垂线，在垂线上取1个单位长度的点，与点O连接此长度为，以点1为圆心，以长为单位画圆与x轴另一个交点即为实数的点；
②点A在点P右侧 ，根据数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大，据此即得结论.
18．【答案】（1）解：的立方根是，的算术平方根是，
，，
解得：，；
又，是的整数部分，
；
（2）解：的立方根是，的算术平方根是，
，，
解得：，；
又，是的整数部分，
；
则；
故平方根为．
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；估算无理数的大小
【解析】【分析】（1）首先根据立方根、算术平方根的概念可得a﹣4与3a﹣b﹣2的值，从而求出a、b的值；再估算的大小，求出的整数部分，即c的值；
（2）把由（1）中得到的a、b、c 值，代入2a﹣3b+c求值，再根据平方根的求法即可解答．
19．【答案】（1）解：由题意可知
所以
．
（2）解：因为，，，
所以，，
所以，
所以cd的立方根为-3．
【知识点】立方根及开立方；实数的绝对值；非负数之和为0
【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质即可求出答案.
（2）根据二次根式及绝对值性质即可求出答案.
20．【答案】（1）3
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴的小数部分，
∴，
∴的小数部分，
∵，
∴，
∴，
解得或．
【知识点】平方根；估算无理数的大小
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴的整数部分为3；
故答案为：3；
【分析】（1）利用估算无理数大小方法求解即可；
（2）利用估算无理数的大小方法求出m、n的值，再将其代入，最后求出x的值即可。
21．【答案】（1）；
（2）解：无理数的“青一区间”为，
，
，即，
的“青一区间”为，
，
，即，
，
，
为正整数，
或
当时，，
当时，，
的值为2或；
（3）解：，
，，
，
，
，
，，
两式相减，得，
，
的算术平方根为，
，
，
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵42＜17＜52，42＜23＜52，
∴4＜＜5，4＜＜5，
∴-5＜-＜-4，
∴的“青一区间”是（4，5）；的“青一区间”是（-5，-4）；
故答案为：（4，5）；（-5，-4）；
【分析】（1）仿照题干中方法，根据定义求解即可；
（2）先根据无理数和的“青一区间”求出a的范围，再求出正整数a的值，再代入 计算即可；
（3）先根据 ，， 得出，进而得出 ，， 两式相减可得， 再根据“青一区间”的定义即可求解.