浙江省宁波市三锋教研联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

这是一份浙江省宁波市三锋教研联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸.等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4．考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案.
【详解】设,
由于，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
2. 学校开运动会，设是参加100米跑的同学}，是参加200米跑的同学}，是参加400米跑的同学}．学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛．请你用集合的运算说明这项规定（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据交集的含义求解即可.
【详解】学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，
故没有同学参加三项比赛，即.
故选：D
3. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解即可．
【详解】命题：，的否定为：，.
故选：B.
4. 下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（ ）
A. ①，②，③，④
B. ①，②，③，④
C. ①，②，③，④
D ①，②，③，④
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂函数的图像特征，对照四个选项一一验证，即可得到答案.
【详解】函数为奇函数且定义域为R，该函数图像应与①对应；
函数，且该函数是偶函数，其图像关于y轴对称，该函数图像应与②对应；
的定义域、值域都是，该函数图像应与③对应；
，其图像应与④对应．
故选：A．
5. 若，满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由不等式性质求解即可
【详解】,
，
，
，
，
又可得，
所以，
所以的取值范围是
故选：A
6. 下列大小关系错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由幂函数和指数函数的单调性对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A，，所以，A正确；
对于B，因为，所以，B正确；
对于C，因为在上单调递增，所以，
又因为，所以，所以，故C错误；
对于D，因为在上单调递增，，
所以，故D正确.
故选：C.
7. 已知函数在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式即可求解.
【详解】因为的对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，当即时，在上单调递减，
函数是定义域上的减函数，则，解得.
故选：A.
8. 已知函数，且，那么等于（ ）
A. －18B. －26C. －10D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】构造奇函数，利用奇函数的性质计算．
【详解】设，则，∴是奇函数，
又，所以，，
故选：B．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 下列命题中，是真命题的有（ ）
A. ，是同一函数
B. ，
C. 某些平行四边形是菱形
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】A选项，根据相同函数的定义可判断；B选项，根据全称命题的真假性可判断；C选项，由特称命题的真假性可判断；D选项，根据根式和分数指数幂互化可判断.
【详解】对于A，的定义域为，而函数的定义域为R，所以与不是同一函数，故A错误；
对于B，，，，故B正确；
对于C，两邻边相等的平行四边形是菱形，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：BC.
10. 设，则下列不等关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意，对每一选项结合作差法比较大小即可求解.
【详解】对于A，因为，所以，，故A正确；
对于B，因为，所以，，故B错误；
对于C，因为，所以，，故C正确；
对于D，因为，所以，，故D正确.
故选：ACD.
11. 在下列函数中，最小值是2的函数有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据二次函数、指数函数的性质，基本不等式等求出函数的最小值然后判断．
【详解】选项A，，，A错；
选项B，，∴，且，B正确；
选项C，，当且仅当时等号成立，C正确；
选项D，时，，时，，且，D正确．
故选：BCD．
12. 已知函数满足对任意的，都有，，若函数的图象关于点对称，且对任意的，，，都有，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称B. 是偶函数
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据平移结合已知可推得的图象关于点对称，是奇函数.进而根据奇函数的性质，结合已知即可判断A项，以及求出函数周期，进而判断C项；根据已知结合函数单调性的定义，即可得出函数在上的单调性，结合函数的周期性以及对称性，即可判断D项.
【详解】对于A、B项，由已知函数的图象关于点对称，
可得，的图象关于点对称.
又定义域为R，所以是奇函数，故B项错误.
由是奇函数，可得.
又由已知可得，，
所以有，所以的图象关于直线对称，故A项正确；
对于C项，由可得，，
所以有，
所以的周期为4，所以.
又是奇函数，所以.
由代入可得，，
所以，，故C项正确；
对于D项，由的周期为4，可得.
又的图象关于直线对称，
所以，，，
所以，.
由对任意的，，，都有，
可得，.
所以，，都有，
所以，在上单调递增.
所以，，即有，故D项错误.
故选：AC.
三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，16题第一空2分，第二空3分）
13. 是定义在上的奇函数，则实数______
【答案】5
【解析】
【分析】根据奇函数的定义求解．
【详解】由题意定义域关于原点对称，
∴，，
故答案为：5.
14. 已知函数的单调递增区间为______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出定义域，再根据复合函数单调性求出答案.
【详解】令，解得，故函数定义域为，
其中，
故在上单调递增，在上单调递减，
其中在上单调递增，
由复合函数单调性可知，的单调递增区间为.
故答案为：
15. 不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】由分式不等式的解法求解即可.
【详解】由可得：，即，
所以，解得：或.
故答案为：.
16. 已知实数x，y，且．当x，y均为正数时，则的最小值为______；当x，y均为整数时，的最小值为______
【答案】 ①. ## ②. －9
【解析】
【分析】由基本不等式可得，解不等式即可；由可得因为x，y均为整数，所以，为整数，分类讨论，即可得出答案.
【详解】因为x，y均为正数时，，
则，当且仅当时取等，
即，
解得：或，
因为x，y均为正数，所以，所以的最小值为；
由可得
因为x，y均为整数，所以，为整数，
则，，解得：，所以，
，，解得：，所以，
，，解得：，所以，
，，解得：，所以，
，，解得：，所以，
，，解得：，所以，
，，解得：，所以，
，，解得：，所以，
故的最小值为.
故答案为：；.
非选择题部分
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. 函数是定义在R上的奇函数，当时，，且函数图象如图所示．
（1）求在R上的解析式；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）-1
【解析】
【分析】（1）结合函数图像求得时的函数解析式，根据函数奇偶性即可求得时的解析式，即得答案；
（2）根据指数幂的运算性质求得的值，结合函数解析式即可求得答案.
【小问1详解】
由图象可知当时的函数图象过点，
故，
即此时函数解析式为；
又函数是定义在R上的奇函数，
故当时，，则，
故在R上的解析式；
【小问2详解】
因为，
则．
18. 已知集合，集合．
（1）若集合B的真子集有且只有1个，求实数a的值；
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由判别式为0可得；
（2）由得，然后对分类讨论可得；
【小问1详解】
集合B元素个数为1．，
即，解得：；
【小问2详解】
∵，∴
对集合B讨论：
当时，即时，，满足条件；
当时，即，此时，满足条件；
当时，要满足条件，必有，
由根与系数的关系有：，此方程组无解，不满足条件舍去
综上所述，实数a的取值范围是
19. 已知函数．
（1）若，，不等式对一切实数x都成立，求a的取值范围；
（2）若的解集为，求关于x的不等式的解集．
【答案】19.
20.
【解析】
分析】（1）由题意一元二次不等式恒成立等价于，解不等式组即可.
（2）由题意的解集为等价于，从而不等式等价于，解一元二次不等式即可.
【小问1详解】
由题意对一切实数x都成立恒成立，
，解不等式组得，
所以a的取值范围为.
【小问2详解】
由于即的解集为，所以，
即，所以，
所以不等式，即，
所以，，
解得或，
所以不等式的解集为．
20. 杭州第19届亚运会（The19thAsianGames）又称“杭州2022年第19届亚运会”，是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.本次亚运会共有45个国家（地区）12500余名运动员参加，赛事分6个赛区40多个场馆进行.某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年．已知每厘米隔热层的建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为万元，隔热层的厚度为x厘米，两者满足关系式：（，k为常数）．当隔热层的厚度为5厘米时，等于2万元．已知15年的总维修费用为20万元，记为15年的总费用．（总费用=隔热层的建造成本费用+使用15年的能源消耗费用+15年的总维修费用）．
（1）求常数k；
（2）请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用最小，并求出最小值．
【答案】（1）
（2）时，取最小值，最小值为70万元．
【解析】
分析】（1）当时，，代入求出常数；
（2）列出总费用关于的函数表达式，使用基本不等式求最小值.
【小问1详解】
依题意，当时，，
∴，
∴.
【小问2详解】
由（1）知，
∴，
当且仅当，
即时，取最小值，最小值为70万元．
21. 设函数（且，），是定义域为的奇函数．
（1）求的值，判断当时，函数在上的单调性并用定义法证明；
（2）若，函数，求的值域．
【答案】（1），在上单调递增，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数为上的奇函数，可求得的值，即可得函数的解析式，根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证得函数的单调性；
（2）根据的值，可以求得，即可得的解析式，利用换元法，将函数转化为二次函数，利用二次函数的性质，即可求得值域.
【小问1详解】
因为是定义域为的奇函数，则，
所以，
所以，当时，在上单调递增，
，x2∈R，设
由于，,
则，，得，在上单调递增.
【小问2详解】
，得，，
令，由（1）知为增函数，，，
设，值域为．
22. 已知函数．
（1）当时，求的单调增区间；此时若对任意，，当时，都有，求m的最大值；
（2）当时，记函数，在上的最大值为，求的最小值．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）时求出增区间，设，由得在，上单调递减；再求m的最大值；
（2）由最大值在，，中取得，分、、、讨论，根据单调性可得答案．
【小问1详解】
时，增区间为，，
若，不妨设，
对于，则，
∴，即在，上单调递减；
，由图象知，m的最大值为2；
【小问2详解】
，其中，
因为，对称轴为，开口向下；
，对称轴为，开口向上，
于是最大值在，，中取得，
当，即时，在上单调递减．∴；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
∴；
当，即时，在上单调递减，
上单调递增，在上单调递减，
∴；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
∴，
∴，∴．