江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（原卷及解析版）

这是一份江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（原卷及解析版），文件包含江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题原卷版docx、江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合，利用元素与集合、集合与集合的包含关系逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】因为，则，，，，
故C对，ABD均错.
故选：C.
2. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的定义域，对于函数，可得出关于不等式组，由此可解得函数的定义域.
【详解】因为的定义域为，
对于函数，则，解得，
因此，函数的定义域为.
故选：A.
3. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知得出，根据分式不等式与整式不等式的关系，化为整式不等式，求解即可得出答案.
【详解】由有意义，则，
该不等式等价于，解得.
故选：B．
4. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性，由函数图象的对称性进行排除C选项，在由函数在时，函数值为正，即可进行解答.
【详解】，，所以是奇函数，故C错误；
又时，，由图可知选项A，D错误；应选B．
又设，则，
则有
即，故在上单调递减，
综上，函数图象性质与选项B中图象表示函数的性质基本一致.
故选：B
5. 下列函数中，值域是的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据值域定义结合函数解析式逐项分析判断.
【详解】对于选项A：当时，，即值域有0，故A错误；
对于选项B，因为，即值域没有1，故B错误；
对于选项C：函数的定义域为，所以函数值域不连续，故C错误．
对于选项D：因为的取值范围是，所以函数的值域为，故D正确．
故选：D．
6. 已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数a的最大值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式可得，或.根据已知列出不等式组，即可得出答案.
【详解】解，可得，或.
由题意，，解得，检验符合题意.
故选：D．
7. 已知幂函数为偶函数，若函数在区间上为单调函数，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用幂函数和偶函数定义确定，再用二次函数对称轴与单调区间的关系讨论即可.
【详解】因为函数为幂函数，则，得或．
当时，为偶函数，符合题意；
当时，为非奇非偶函数，不合题意，
所以，，
则，对称轴为直线．
①若函数在上为增函数，则，解得；
②若函数在上为减函数，则，解得．
综上所述，实数a的取值范围是
故选：B．
8. 已知函数的定义域为R，且对任意实数x，y，都有，，则（ ）
A. B. C. 为奇函数D. 为偶函数
【答案】D
【解析】
【分析】根据抽象函数的关系，利用赋值法结合函数奇偶性的定义进行判断即可.
【详解】令，则，，，选项A错误；
令，，则，即，则，选项B错误；
，不奇函数，选项C错误；
令，则，即，故，为偶函数，选项D正确；
故选：D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 设函数，当为增函数时，实数的值可能是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】AB
【解析】
【分析】利用分段函数的单调性，结合一次函数与二次函数的单调性即可得解.
【详解】依题意，当时，为增函数，则，
当时，为增函数，则，
又为增函数，则，解得，
综上：，所以AB正确，CD错误.
故选：AB.
10. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 集合和表示同一个集合
B. 函数的单调增区间为
C. 若，，则
D. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时
【答案】BC
【解析】
【分析】通过集合元素不一致判断A；利用复合函数的单调性判断B；利用对数换底公式判断C；利用奇函数在对称区间上的解析式求法判断D.
【详解】对于选项A，集合中元素为数，集合为点，所以A错误；
对于选项B，根据解得函数的定义域为，因为函数为增函数，
根据复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为，所以B正确；
对于选项C，所以C正确；
对于选项D，因为当时，，当时，，
所以，
又因为是定义在R上的奇函数，所以，所以D错误．
故选：BC．
11. 若，，则下列说法正确有（ ）
A. 大于4B. 的最大值为
C. 的最小值为D. 的最大值是
【答案】ABD
【解析】
【分析】AB选项利用基本不等式即可；C利用“”的代换和基本不等式即可；D先分离常数再用“”的代换和基本不等式即可.
【详解】对于选项A，，当且仅当，时等号成立．此时，所以，所以A正确：
对于选项B，，当且仅当时等号成立，所以B正确．
对于选项C，，当且仅当，且，即，时等号成立，所以的最小值为，所以C错误．
对于选项D，．，当且仅当，且，即，时等号成立，所以的最大值为，所以D正确．
故选：ABD
12. 黎曼函数是由德国数学家黎曼发现提出的特殊函数，它在高等数学中被广泛应用．定义在上的黎曼函数，关于黎曼函数，下列说法正确的是（ ）
A. B. ，方程没有实数根
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据黎曼函数的定义，可判断A、B项；分为，，之间的无理数以及之间的有理数四种情况，分别讨论，即可判断C项；根据黎曼函数的定义，a与b不都为内的有理数以及a与b都为内的有理数讨论，即可判断D项.
【详解】对于A项，因为为最简真分数，由定义，可知选项A正确；
对于选项B，当时，是方程的实数根，所以B错误；
对于选项C，
若x为上的无理数，则也为上的无理数，此时；
若，则，此时；
若，则，此时；
若x为上的有理数，设（其中p，q为正整数，为最简真分数），则，此时也为有理数，且为最简真分数，此时，所以C正确；
对于选项D，①若a与b中至少一个为0或1或中的无理数时，
则，而恒成立，满足；
②若a与b都为内的有理数时，设，（为正整数，，为最简真分数），所以，.
又，当能约分时，ab写成既约真分数分母小于，设为（即)，则；
当不能约分时，.
综上，可知成立，D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知，则的解析式是_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用换元法即可得到答案.
【详解】令，则，所以．
所以．
故答案为：.
14. 函数最大值为_______．
【答案】##
【解析】
【分析】将采用分离常数法得到，然后当取到最小值时，函数有最大值，即得到答案.
【详解】，因为，
所以，当时等号成立，所以．
故答案为：.
15. 命题“，关于x的不等式成立”为假命题，则实数a的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】把问题转化为命题“，关于x的不等式成立”，再结合基本不等式求得最小值，从而可得，求解即可.
【详解】依题意，命题“，关于x的不等式成立”，
当时，，
当且仅当，即时取等号，
因此，解得，
所以实数a的取值范围是．
故答案为：.
16. 设，，若，则的最大值为_______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据已知推得，，．进而得出，然后即可根据基本不等式，得出答案.
【详解】由得.
又，，所以.
同理可得．
因为，
所以，所以．
又．
当，且时，即，.
由基本不等式知．
当且仅当，即，
即，时等号成立.
当时，，此时；
当时，，此时.
综上所述，的最大值为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （1）化简求值：；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）8；（2）7
【解析】
【分析】（1）根据对数的运算性质，化简求解即可得出答案；
（2）平方根据指数幂的运算性质可得出，再次平方即可得出答案.
【详解】（1）原式
；
（2）由两边平方得，
，
所以，
所以，，
所以，．
18 已知集合，．
（1）当时，求和；
（2）若，求实数m的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）代入，得出，然后即可根据交集以及并集的运算，计算得出答案；
（2）分以及两种情况讨论求解，即可得出答案.
【小问1详解】
当时，．
所以，，
．
【小问2详解】
当时，有，则；
当时，
可得，或，
解得或．
综上可得，实数m的取值范围是．
19. 某小微企业生成A，B两种产品，根据市场调查可知，A产品的利润与投资额x成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资额单位都是万元）．
（1）分别写出和的函数关系式；
（2）该企业已筹集到28万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这28万元投资，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润．
【答案】（1），
（2）A产品投入24万元，B产品投入4万元，企业获得最大利润，最大利润为4万元
【解析】
【分析】（1）根据题干描述，设出对应的函数关系式，将点代入，等到函数关系式.
（2）列出利润的函数关系式，换元法化简得到一元二次函数，利用一元二次函数求最大值.
【小问1详解】
依题意：可设，，
，，
，．
【小问2详解】
方法一：设投资A产品x万元，则B产品的投资为万元，利润为y万元，
依题意得：，
即，
令，则，，
则，
所以当，即万元时，收益最大，万元．
所以当A产品投入24万元，B产品投入4万元，企业获得最大利润为4万元．
方法二：设投资B产品x万元，则A产品的投资为万元，利润为y万元，
依题意得：，
即，
令，则，，
则，
所以当，即万元时，收益最大，万元．
所以当A产品投入24万元，B产品投入4万元，企业获得最大利润为4万元．
20. 已知函数，是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）判断函数在和上的单调性并证明；
（3）若对于任意，恒成立，求实数n的取值范围．
【答案】（1）
（2）在上单调递增，证明见解析；在上单调递减，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用定义域上奇函数满足，并用定义验证即可.
（2）利用定义法分别在和上判断函数的单调性即可.
（3）将对于任意，恒成立，转换为恒成立，然后求实数n的取值范围.
【小问1详解】
，是奇函数，所以，
当时，，
，，是奇函数，所以；
【小问2详解】
函数在上单调递增，在上单调递减，证明如下：
，且，有
，
①当时，，，即，
又，所以，即，
所以函数在上单调递减．
②当时，，，即，
又，所以，即，
所以函数在上单调递增．
【小问3详解】
对于任意，恒成立，
只需，即．
由（2）得．
又，时，，所以，
所以，n的取值范围是．
21. 已知函数．
（1）若不等式的解集为R，求实数m的取值范围；
（2）当时，解关于x的不等式；
（3）若不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）分为，以及讨论，根据解集列出不等式组，求解即可得出答案；
（2）原不等式可化为.先求解的解集，进而解出时，得出的解集.然后分为与，结合的范围得出两根的大小关系，进而得出答案；
（3）不等式转化为，分离参数得出.换元，整理得出，进而根据基本不等式，得出，即可得出范围.
【小问1详解】
①当，即时，原不等式化为，
解集为，不合题意；
②当，即时，
的解集为R，即的解集为R，
则应有．
即，解得.
综上，m的取值范围是.
【小问2详解】
由已知可得，
即，即.
（i）当，即时，不等式化为，解得；
（ⅱ）当时，有，
解可得，或.
①当，又可得，即时，有，
则解可得，或；
②当，有，
解可得，．
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
【小问3详解】
不等式，即，
即．
恒成立，.
设，，．
．
，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
所以m的取值范围是．
22. 已知函数．
（1）当时，直接写出函数的单调区间（不需证明）；
（2）当时，求在区间上的最大值和最小值；
（3）当时，若函数在上既有最大值又有最小值，求证：恒成立．
【答案】（1）
（2）最大值为，最小值为
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）代入，分类讨论去掉绝对值，根据二次函数的性质得出函数在不同段上的单调性，结合端点处的函数值，即可得出函数的单调区间；
（2）代入，分类讨论去掉绝对值，根据二次函数的性质得出函数在不同段上的单调性，结合端点处的函数值，即可得出函数的最值；
（3）分类讨论去掉绝对值，根据二次函数的性质得出函数在不同段上的单调性，结合已知得出函数的最值.进而根据最值，列出不等式，求出的范围，得出.
【小问1详解】
当时，.
当时，有，
根据二次函数的性质，可知在单调递减；
当时，有，
根据二次函数的性质，可知在单调递减.
又，
所以，的单调递减区间为．
【小问2详解】
当时，.
当时，，
根据二次函数的性质，可知在区间上单调递减，
最小值为，最大值为；
当时，，
根据二次函数的性质，可知在区间上单调递减，在上单调递增.
且，，当时，有，
所以，最小值为，无最大值.
综上所述，在区间上，最小值为，最大值为.
【小问3详解】
当时，.
当时，，
根据二次函数的性质，可知在上单调递减，在单调递增；
当时，，
根据二次函数的性质，可知在上单调递减.
又函数在上既有最大值又有最小值，
所以函数的最值只能在或处取得，且最大值，最小值．
又当时，应满足时，
即有，解得，故.
当，应满足时，
由，解得，故.
所以，.
又，，
恒成立