山东省德州市2022-2023学年高二上学期期中数学试题(含答案)

这是一份山东省德州市2022-2023学年高二上学期期中数学试题(含答案)，共23页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、已知直线,直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍,则直线的斜率是( )
A.B.C.D.
2、已知直线与直线垂直,则m,n的关系为( )
A.B.C.D.
3、已知为双曲线上点.则该双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
4、已知四棱锥,底面ABCD为平行四边形,M,N分别为棱BC,PD上的点,,,设,,,则向量用为基底表示为( )
A.B.C.D.
5、已知两圆和无公共点,则实数的取值范围为( )
A.B.
C.D.
6、如图所示,在正方形中ABCD,,以AC为折痕把顺时针折起,折成一个大小为的二面角,若,则四面体的体积为( )
A.B.C.D.
7、已知椭圆,椭圆C的一顶点为A,两个焦点为,,的面积为,焦距为2,过,且垂直于的直线与椭圆C交于D,E两点,则的周长是( )
A.B.8C.D.16
8、已知在三棱锥中,中,,,,二面角的大小为,则三棱锥的外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知曲线C的方程为(,且),则( )
A.若曲线C表示圆,则
B.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围为
C.若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围为
D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线,则m的取值范围为
10、如图,在棱长为1的正四面体ABCD中,点M,N分别为棱BC,AD的中点.则( )
A.
B.
C.侧棱与底面所成角的余弦值为
D.直线AM与CN所成角的余弦值为
11、双曲线具有如下光学性质:如图,是双曲线的左,右焦点,从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P,经双曲线反射后,反射光线n的反向延长线过左焦点.若双曲线C的方程为,则( )
A.双曲线的焦点到渐近线的距离为
B.若,则
C.当n过点时,光线由所经过的路程为8
D.反射光线n所在直线的斜率为k,则
12、如图,已知正方体的棱长为2,点E,F分别为棱AB,AD的中点,,则( )
A.无论取何值,三棱锥的体积始终为1
B.若,则
C.点到平面EFG的距离为
D.若异面直线EF与AG所成的角的余弦值为.则
三、填空题
13、在空间直角坐标系中,已知,,,点M为线段AB的中点,则________.
14、写出与圆和圆都相切的一条直线方程________.
15、“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,它的圆心是椭圆中心,这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为,则椭圆C的离心率为________.
16、设P为多面体M的一个顶点,定义多面体M在点P处的离散曲率为:,其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点,且平面,平面,,平面和平面遍历多面体M的所有以点P为公共点的面,在长方体中,,,点S为底面的中心,记三棱锥在点A处的离散曲率为m,四棱锥在点S处的离散曲率为n,则________.
四、解答题
17、已知圆C与x轴相切,圆心C在直线上,且与y轴正半轴相交所得弦长为.
（1）求圆C的方程;
（2）过点的直线交圆于C,于E,F两点,且,求直线的方程.
18、如图,圆柱轴截面ABCD是正方形,,点E在底面圆周上,,F为垂足.
（1）求证:;
（2）当直线DE与平面ABE所成角的正切值为时,求三棱锥的体积.
19、已知圆,点,P是圆M一动点,若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q.
（1）求点Q的轨迹方程C;
（2）若点A是曲线C上的动点,求的最大值(其中O为坐标原点).
20、已知双曲线经过点,且双曲线C的右顶点到一条渐近线的距离为.
（1）求双曲线C的方程;
（2）过点P分别作两条互相垂直的直线PA,PB与双曲线C交于A,B两点(A,B两点均与点P不重合),设直线,试求k和m之间满足的关系式.
21、如图,在三棱柱中,平面ABC,,,,点D是棱BC的中点.
（1）求证:平面;
（2）在棱上AC是否存在点M,其中,使得平面与平面所成角的大小为,若存在,求出;若不存在,说明理由.
22、已知椭圆的右焦点为,点Q为椭圆C上任意一点,且的最小值为.
（1）求椭圆的C标准方程;
（2）设椭圆,过点Q作椭圆C的切线交椭圆于M,N两点,求证:(O为原点)的面积为定值,并求出此定值.
(注:在椭圆上一点的切线方程为)
参考答案
1、答案：C
解析:的斜率,故其倾斜角为,
因此直线的倾斜角为,所以的斜率为,
故选:C
2、答案：C
解析:直线与直线垂直,则,
即
故选:C
3、答案：B
解析:因为为双曲线上点,
所以,解得或(舍),
所以双曲线的方程为,所以,,
所以,解得或(舍),
所以该双曲线的离心率为.
故选:B.
4、答案：D
解析:
即
故选:D.
5、答案：D
解析:圆的圆心为,半径,
圆的圆心为,半径,
设圆心距为,则,
因为两圆和无公共点,
所以两圆外离或内含,
则或,
即或,
解得或或,
所以实数a的取值范围为.
故选:D.
6、答案：D
解析:由于四边形ABCD为正方形,所以,,,OB,平面BOD,
所以,且平面BOD,
故,又因为,故为等边三角形,
故
故选:D
7、答案：B
解析:因为的面积为,焦距为2,所以,,
所以,故椭圆方程为,
假设A为椭圆C的上顶点,因为两个焦点为,,
所以,,故,
所以为等边三角形,又因为过,且垂直于的直线与椭圆C交于D,E两点,
所以,,
由椭圆的定义可知:,
,
所以的周长为
,
故选:B.
8、答案：A
解析:如图,取AC的中点D,连接BD,SD,
因为,,
所以,,
所以为二面角的平面角,
所以,
因为AB⊥BC,,所以,,
因为,
所以,
过点D作与平面ABC垂直的直线,则球心O在该直线上,
设球的半径为R,连接OB,OS,可得,
在中,,
由余弦定理可得,
即,解得,
所以其外接球的表面积为.
故选:A.
9、答案：ACD
解析:由题意知曲线C的方程为,
若曲线C表示圆,则,解得,故A正确;
若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则,解得,B错误;
若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆,则,解得,C正确;
若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线,则,解得,D正确,
故选:ACD.
10、答案：BC
解析:由正四面体ABCD,可得,
对于A,,
则
,故A错误;
对于B,,
则,
所以,故B正确;
对于D,,,
则,
,
设直线AM与CN所成角为,
则,
所以直线AM与CN所成角的余弦值为,故D错误;
对于C,连接DM,在DM上取点O,使得,连接OA,
则平面BCD,
则即为直线AD与平面BCD所成角的平面角,
在中,,,
则,
由正四面体的结构特征可得,直线AB,AC,AD与平面BCD所成角的相等,
所以侧棱与底面所成角的余弦值为,故C正确
故选:BC
11、答案：ABD
解析:对于A,由双曲线C的方程为知双曲线的渐近线方程为:,
焦点到直线的距离为:,故A正确;
对于B,若,则.
因为P在双曲线右支上,所以.由勾股定理得:
二者联立解得:.故B正确;
对于C,光由所经过的路程为,
故C不正确;
对于D,双曲线的渐进线方程为.
设左,右顶点分别为A,B.如图示:
当与同向共线时,的方向为,此时k=0,最小.
因为P在双曲线右支上,所以n所在直线的斜率为.即.
故D正确.
故选:ABD.
12、答案：AB
解析:对于A,因为正方体的棱长为2,点E,F分别为棱AB,AD的中点,
所以,
在正方体中,平面ABCD,
由等体积法知,
所以无论取何值,三棱锥的体积始终为1,故A正确;
对于B,由题意可知,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示
因为正方体的棱长为2,
所以,,,,,
由,得,设,则
所以,,
所以,所以,解得,
所以,
所以,,
所以,故B正确;
对于C,由B选项建立的空间直角坐标系知,,,,
设,则,,
所以,所以,解得,所以,
所以,,,
设平面EFG的法向量为,则
,即,令,则,,
所以,
所以点到平面EFG的距离为,
由于无法确定,所以点到平面EFG的距离无法确定,故C错误;
对于D,由B选项建立的空间直角坐标系知,,,,,,,
设,则,,,
所以,所以,解得,所以,
所以,,
因为异面直线EF与AG所成的角的余弦值为,则
,即,解得或(舍),故D错误.
故选:AB.
13、答案：
解析:因为,,点M为线段AB的中点,
所以,
所以,
所以,
故答案为:.
14、答案：,,
解析:由题意可知,圆的圆心坐标为,半径为
圆的圆心坐标为,半径为如图所示
所以,,即,
所以两圆外切,由图可知,与两圆都相切的直线有三条.
当切线为时,因为,所以,
设直线,即,
所以,解得或(舍),
故所求直线的方程为,即.
由图可知,;与关于直线对称,
联立,解得,
所以与的一个交点为,在上取一点,
该点关于直线的对称点为,则,解得,
所以对称点为.
所以,
故所求直线的方程为,即.
所以与圆和圆都相切的一条直线方程为:,,.
故答案为:,,.
15、答案：或
解析:由椭圆知,椭圆的右顶点为,
上顶点为,过A,B作椭圆的切线,
则交点坐标为,
因为椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,
所以在,
所以,解得:,
则椭圆C的离心率为.
故答案为:
16、答案：
解析:在长方体中,,
故三棱锥在点A处的离散曲率;
设AC,BD交于O,连接SO,,,四边形ABCD为正方形,
则,,故,同理,
四棱锥为正四棱锥,而,则四棱锥每个侧面都为正三角形,
所以,
故四棱锥在点S处的离散曲率,
故,
故答案为:
17、答案：（1）
（2）或
解析:（1）设圆心,因为圆C与x轴的正半轴相切,
所以,圆C的半径为,因为圆C截y轴所得弦的弦长为,
所以,即,又,所以,
所以圆.
（2）当直线l无斜率时,此时直线l方程为,由题知:此时直线l与圆C
截得的弦长为,不满足条件,
当直线l有斜率时,设直线方程为:,
则圆心到直线l的距离为,
所以,解得,
所以直线l的方程为:或
18、答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）由题意可知底面ABE,底面ABE,故,
又,,AE,平面AED,
故平面AED,
由平面AED,得,
又,,BE,平面BED,故平面BED,
由平面BED,可得.
（2）由题意,以A为原点,在底面圆内过点A作AB的垂线作为x轴,以AB,AD所在直线为y轴,z轴建立如图所示空间直角坐标系,
并设AD的长度为2,则,,,,
因为平面ABE,所以就是直线DE与平面ABE所成的角,
所以,所以,所以,
,
,
由上可得,,
设平面DCE的法向量为,则,即,
取,得.
因为,
所以点B到平面CDE的距离.
所以三棱锥的体积为:.
19、答案：（1）
（2）
解析:（1）圆的圆心,半径为,
由题意可知,又点P是圆上的点,则,
且,则,
由椭圆的定义可知,点Q的轨迹是以M,N为焦点的椭圆,其中,,,
则点Q的轨迹方程;
（2）设,则,,
进而①
又,所以,将其代入①得,
由椭圆的有界性可知,所以当时,取最大值
20、答案：（1）
（2）
解析:（1）已知双曲线经过点,
则,
右顶点为,不妨取渐近线为,即,
则,
从而可解得,,
所以双曲线C的方程为;
（2）设,,
联立,消y得,
则,,
则,
,
,,
因为,则,
即,
即,
即,
整理得,
所以.
21、答案：（1）见解析
（2）存在,
解析:（1）连接交于点O,
由于四边形为矩形,所以O为的中点,
又点D是棱BC的中点,故在中,OD是的中位线,因此,
平面,平面,所以平面
（2）由平面ABC,可知,三棱柱为直三棱柱,且底面为直角三角形,
故以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系;
则,,,,,
由得,
,,
设平面的法向量为,则
,取,得,
,,
设平面的法向量为,则
,取,得,
故,
化简得
由于,所以,
故棱上AC存在点M,其中,即,使得平面与平面所成角的大小为.
22、答案：（1）;
（2）证明见解析,定值为10.
解析:（1）设,则,
记,由于对称轴为,且,且,
故在单调递减,故当时,此时,取最小值为,
故的最小值为,故,,
故椭圆的方程为,
（2）设,则过Q的切线方程为:,
方程为:,
联立,
由于在椭圆上,所以
设,,
当切线MN无斜率时,则方程为,此时,或,,故
此时;
设切线有斜率时,设斜率为k,且
则,,
故,原点到切线的距离,
故,
代入,得:
,
综上,的面积为定值10.