2023-2024学年江苏省苏州市重点学校九年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市重点学校九年级（上）10月月考数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.方程x2=3x的解是( )
A. 0B. 3C. 0或–3D. 0或3
2.下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )
A. x2−x+1=0B. x2+1=0C. x2+2x+1=0D. x2−3x+1=0
3.二次函数y=(x+2)2−1的顶点坐标是
( )
A. (2,-1)B. (−2,−1)C. (2,1)D. (−2,1)
4.若二次函数y=-x2+3的图像经过点(−3,y1)、(−4,y2)，则y1、y2的大小关系是( )
A. y1y2D. 不能确定
5.2018年某公司一月份的销售额是50万元，第一季度的销售总额为182万元，设第一季度的销售额平均每月的增长率为x，可列方程为( )
A. 50(1+x)2=182B. 50(1+2x)=182
C. 182(1−x)2=50D. 50+50(1+x)+50(1+x)2=182
6.已知二次函数y=ax2−2ax+c(a≠0)的图象与x轴的一个交点为(−1,0)，则关于x的一元二次方程ax2−2ax+c=0的两实数根是
( )
A. x1=-1,x2=1B. x1=-1,x2=2C. x1=-1,x2=3D. x1=-1,x2=0
7.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图像如图所示，抛物线的对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(4,0).下列结论中：①c>a;②2a−b=0;③方程ax2+bx+c=1(a≠0)有两个不相等的实数根;④抛物线与x轴的另一个交点坐标为(–1,0);⑤若点A(m,n)在该抛物线上，则am2+bm≤a+b.其中正确的有( )
A. ①③④B. ②③④C. ①③⑤D. ①④⑤
8.函数y=ax2−bx(a≠0)经点P(m,2)．y≥−1时，x的取值范围为x≤t−1或x≥−3−t．m可能为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9.关于x的一元二次方程x2−2x+m−3=0有两个实数根，则m的取值范围是 ．
10.将抛物线y=12x2先向右平移1个单位，再向下平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线对应的函数表达式是 ．
11.已知二次函数的表达式为：y=x2−6x+5，将表达式化成y=a(x−h)2+k的形式 ．
12.抛物线y=x2−(t+2)x+1的顶点在x轴正半轴上，则t= ．
13.已知三角形的边长是1和2，第三边的数值是方程2x2−5x+3=0的根，那么这个三角形的周长为 ．
14.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+a的图象经过第 象限．
15.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A.点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C.若点A′的横坐标为1，则A′C的长为 ．
16.在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为漂亮点．已知二次函数y=ax2+6x−254(a≠0)的图像上有且只有一个漂亮点．且当−1≤x≤m时，二次函数y=ax2+6x−5(a≠0)的最小值为−12，最大值为4，则m的取值范围是_____．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17.解方程：
(1)x2−3x−2=0．
(2)(2x−1)2=4x−2．
四、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.(本小题8.0分)
已知关于x的方程x2−(k−1)x+2k=0，若方程的一个根是–4，求另一个根及k的值．
19.(本小题8.0分)
已知a是一元二次方程x2+3x−1=0的实数根，求代数式a−33a2−6a÷a+2−5a−2的值．
20.(本小题8.0分)
如图，抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C，点D的坐标为(0,1)，点P是抛物线上的动点，若△PCD是以CD为底的等腰三角形，求点P的坐标．
21.(本小题8.0分)
已知关于x的一元二次方程x2−mx+2m−1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，求m的值．
22.(本小题8.0分)
某数学兴趣小组对函数y=x2−4|x|的图象和性质进行探究，发现自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
(1)补全上表；
(2)根据表中数据，画出函数图象的另一部分；
(3)进一步探究函数图象，回答问题：
①观察图象可以得出，对应的方程x2−4|x|=0有______个实数根；
②关于x的方程x2−4|x|=a有2个实数根时，a的取值范围是______；
③当x取何值时，y随x的增大而增大？
23.(本小题8.0分)
如图，二次函数y1=54x2−(12−5m)x+3m的图像与一次函数y2=kx+3(k≠0)的图像的一个交点为A，点A的横坐标为–2，另一个交点C在y轴上．
(1)求二次函数的表达式;
(2)当x取何值时，一次函数值大于二次函数值?
(3)将点A绕点C顺时针旋转90º后得到点B，请判断点B是否在该二次函数的图像上．
24.(本小题8.0分)
如图，抛物线y=-112x2+23x+53与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若点P是线段AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积取得最大值时，求点P的坐标．
25.(本小题8.0分)
如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线的最高点到路面的距离为6米．
(1)按如图所示建立平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；
(2)一辆货运卡车高为4m，宽为2m，如果该隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
26.(本小题8.0分)
某网店以每件80元的进价购进某种商品，原来按每件100元的售价出售，一天可售出50件;后经市场调查，发现这种商品每件的售价每降低2元，其销售量可增加10件．
(1)该网店销售该商品原来一天可获利润 元.
(2)设后来该商品每件售价降价x元，网店一天可获利润y元.
①若此网店为了尽可能增加该商品的销售量，且一天仍能获利1080元，则每件商品的售价应降价多少元?
②求y与x之间的函数关系式，当该商品每件售价为多少元时，该网店一天所获利润最大?并求最大利润值．
27.(本小题8.0分)
如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm，动点P以2cm/s的速度在△ABC的边上沿A→B的方向匀速运动，动点Q在△ABC的边上沿C→A的方向匀速运动，P、Q两点同时出发，5s后，点P到达终点B，点Q立即停止运动(此时点Q尚未到达点A)，设点P运动的时间为ts，△APQ的面积为Scm2，S与t的函数图像如图②所示．
(1)图①中AC=______cm，点Q运动的速度为______cm/s；
(2)求函数S的最大值；
(3)当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】运用因式分解法求解．
【详解】由x2=3x得x(x−3)=0
所以，x1=0，x2=3
故选D
【点睛】掌握因式分解法解一元二次方程．
2.【答案】D
【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式△=b2−4ac，分别计算△的值，逐一进行判断即可．
【详解】解：A.△=1−4=−30，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△−4，
所以，y1>y2
故选C
【点睛】理解二次函数y=ax2+c的基本性质．
5.【答案】D
【解析】【分析】等量关系为：4月份销售额+4月份销售额×(1+增长率)+4月份销售额×(1+增长率)2=182，把相关数值代入计算求得合适解即可．
【详解】设月增长率为x，根据：等量关系为：4月份销售额+4月份销售额×(1+增长率)+4月份销售额×(1+增长率)2=182，得
50+50(1+x)+50(1+x)2=182．
故选D
【点睛】考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b；得到第二季度的总销售额的等量关系是解决本题的关键．
6.【答案】C
【解析】【分析】根据二次函数y=ax2−2ax+c(a≠0)，可以求得该函数的对称轴，再根据该函数的图象与x轴的一个交点为(−1,0)，从而可以求得该函数图象与x轴的另一个交点，从而可以得到方程ax2−2ax+c=0的两实数根．
【详解】解：∵二次函数y=ax2−2ax+c(a≠0)的图象与x轴的一个交点为(−1,0)，
∴该函数的对称轴是直线x=−−2a2a=1，
∴该函数图象与x轴的另一个交点坐标为(3,0)，
∴关于x的一元二次方程ax2−2ax+c=0的两实数根是x1=−1，x2=3，
故选C．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、函数与方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7.【答案】C
【解析】【分析】从抛物线的图象开口，对称轴，与坐标轴的交点，二次函数与一元二次方程的解等知识进行分析．
【详解】因为抛物线的对称轴是直线x=1，(a≠0)
所以，−b2a=1，整理得：2a+b=0，故②错误；
设抛物线与x轴的另一个交点横坐标是x，则x+42=1，
所以，x=−2，故抛物线与x轴的另一个交点是(−2,0)，
所以，④错误；
因为由图象可知，c>0，aa，故①正确；
因为当x=1时，函数点最大值是：a+b+c，
当x=m时，函数值是am2+bm+c，
所以，am2+bm+c≤a+b+c，
所以，am2+bm≤a+b，故⑤正确．
当y=1时，x有两个值与之对应，
所以，ax2+bx+c=1(a≠0)有两个不相等的实数根;故③正确；
故选C
【点睛】理解二次函数的基本性质，数形结合分析问题．
8.【答案】A
【解析】【分析】由y≥−1，x的取值范围为x≤t−1或x≥−3−t，可以得出x=t−1或x=−3−t是方程ax2−bx+1=0的两个根，则b=−4a，再由y=a(x+2)2−4a，可得−4a≤−1，即a≥14，将点P(m,2)代入函数解析式可得a=2m2+4m，利用a的取值范围确定m的取值范围即可求解．
【详解】解：∵当y≥−1时，ax2−bx≥−1，
∴ax2−bx+1≥0，
∵当y≥−1，x的取值范围为x≤t−1或x≥−3−t，
∴x=t−1或x=-3−t是方程ax2−bx+1=0的两个根，
∴t−1−3−t=−−ba，
∴b=-4a，
∴y=ax2−bx=ax2+4ax=a(x+2)2−4a，
∴x=-2是函数的对称轴，
又∵y≥−1，x的取值范围为x≤t−1或x≥−3−t，
∴−4a≤−1，
∴a≥14，
∵函数y=ax2−bx(a≠0)经点P(m,2)，
∴am2+4am=2，
∴a=2m2+4m≥14，
∴m2+4m≤8，
∴m2+4m−8≤0，
∴−2−2 3≤m≤−2+2 3，
∴m可能取值为1，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程、不等式的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键．
9.【答案】m≤4
【解析】【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac的意义得到△≥0，即(−2)2−4×(m−3)×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2−2x+m−3=0有实数根，
∴△≥0，即(−2)2−4×(m−3)×1≥0，解得m≤4，
∴m的取值范围是m≤4．
故答案为：m≤4．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△0，从而可以求得t的值，本题得以解决．
【详解】解：∵抛物线y=x2−(t+2)x+1的顶点在x轴正半轴上，
4×1×1−−(t+2)24×1=0−−(t+2)2×1>0
解得，t=0，
故答案为0．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
13.【答案】4.5
【解析】【分析】先利用因式分解法解方程得到x=1或x=1.5，再根据三角形三边的关系求出第三边的长，由此即可利用三角形周长公式求出答案．
【详解】解：解方程2x2−5x+3=0得x=1或x=1.5，
∵三角形的边长是1和2，
∴2−1=10，由此根据一次函数图象与系数的关系即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，
∴a>0,−b2a0，
∴一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、三象限，
故答案为：一、二、三．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，正确根据二次函数图象判断出a、b的符号是解题的关键．
15.【答案】3
【解析】【分析】解方程x2+mx=0得A(−m，0)，再利用对称的性质得到点A的坐标为(−1,0)，所以抛物线解析式为y=x2+x，再计算自变量为1的函数值得到A′(1,2)，接着利用C点的纵坐标为2求出C点的横坐标，然后计算A′C的长．
【详解】解：当y=0时，x2+mx=0，解得x1=0，x2=−m，则A(−m，0)，
∵点A关于点B的对称点为A′，点A′的横坐标为1，
∴点A的坐标为(−1,0)，
∴抛物线解析式为y=x2+x，
当x=1时，y=x2+x=2，则A′(1,2)，
当y=2时，x2+x=2，解得x1=−2，x2=1，则C(−2,1)，
∴A′C的长为1−(−2)=3，
故答案为3．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、坐标平面内关于某点对称的两点间坐标的关系以及抛物线与x轴的交点，解题的关键是把求二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
16.【答案】3≤m≤7
【解析】【分析】根据二次函数y=ax2+6x−254(a≠0)的图象上有且只有一个完美点求出a=−1，再根据函数的解析式可求m的取值范围．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+6x−254(a≠0)的图象上有且只有一个完美点，
设完美点的坐标为(n，n)，
∴方程n=an2+6n−254即an2+5n−254=0有两个相等的实数根，
∴Δ=52−4a×−254=0，
∴a=−1，二次函数的解析式为：y=−x2+6x−5=−(x−3)2+4，
当x=3时，函数有最大值为4，
又∵当−1≤x≤m时，二次函数最小值为−12，
∴令−x2+6x−5=−12，
则x=7或−1，
∴要使函数最小值为−12，最大值为4，则3≤m≤7，
故答案为：3≤m≤7．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，二次函数的性质，根据函数图象确定m的取值是解题的关键．
17.【答案】(1)x1=3+ 172,x2=3− 172
(2)x1=12,x2=32

【解析】【分析】(1)根据公式法解一元二次方程即可；
(2)根据因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】(1)解：x2−3x−2=0，
∵a=1,b=−3,c=−2，
∴b2−4ac=(−3)2−4×1×(−2)=17>0，
∴x=−b± b2−4ac2a=3± 172，
∴x1=3+ 172,x2=3− 172；
(2)解：(2x−1)2=4x−2，
(2x−1)2−4x+2=0，
(2x−1)2−2(2x−1)=0，
(2x−1)(2x−3)=0，
∴2x−1=0,2x−3=0，
∴x1=12,x2=32．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
18.【答案】1，−2
【解析】【分析】把方程的一个根–4，代入方程，求出k，再解方程可得．
【详解】解：∵x=-4∴16+4(k−1)+2k=0∵k=-2∴x2+3x−4=0∴x1=1,x2=-4∴另一个根是1,k的值为−2.
【点睛】考察一元二次方程的根的定义，及应用因式分解法求解一元二次方程的知识。
19.【答案】13
【解析】【分析】先根据分式的混合计算法则把原式式子化简为13a2+3a，再根据一元二次方程解的定义求出a2+3a=1，由此即可求出答案．
【详解】解：a−33a2−6a÷a+2−5a−2
=a−33a(a−2)÷a2−4a−2−5a−2
=a−33a(a−2)÷a2−9a−2
=a−33a(a−2)÷(a+3)(a−3)a−2
=a−33a(a−2)⋅a−2(a+3)(a−3)
=13a(a+3)
=13a2+3a，
∵a是一元二次方程x2+3x−1=0的实数根，
∴a2+3a−1=0，
∴a2+3a=1，
∴原式=13×1=13．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程解的定义，正确根据分式的混合计算法则把所求式子进行化简是解题的关键．
20.【答案】1− 3,2或1+ 3,2
【解析】【分析】先求出C(0,3)，进而得到线段CD的垂直平分线为直线y=2，再由△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P在直线y=2上，据此求解即可．
【详解】解：在y=-x2+2x+3中，当x=0时，y=3，
∴C(0,3)，
∵D(0,1)，
∴CD的中点坐标为(0,2)，
∴线段CD的垂直平分线为直线y=2，
∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，
∴PC=PD，即点P在线段CD的垂直平分线上，
∴点P在直线y=2上，
在y=-x2+2x+3中，当y=2时，则−x2+2x+3=2，
解得x=1− 2或x=1+ 2，
∴点P的坐标为1− 3,2或1+ 3,2．
【点睛】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，推出点P在直线y=2上是解题的关键．

21.【答案】m=−1
【解析】【分析】首先根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把x12+x22转换为(x1+x2)2−2x1x2，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可求出结果．
【详解】解：∵x1、x2是一元二次方程x2−mx+2m−1=0的两个实数根，
∴x1+x2=m，x1x2=2m−1，
∵x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=7，
∴m2−2(2m−1)=7，
解得：m1=5，m2=−1，
又∵方程x2−mx+2m−1=0有两个实数根，
∴Δ=m2−4(2m−1)≥0，
∴当m=5时，
Δ=25−36=−110或a=-4；③−2≤x0或a=-4时，直线y=a和函数y=x2−4|x|有两个不同的交点，
∴关于x的方程x2−4|x|=a有2个实数根时，a的取值范围是a>0或a=-4，
故答案为：a>0或a=-4；
③由函数图象可知，当−2≤x