2023-2024学年江苏省苏州市常熟市昆承中学九年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市常熟市昆承中学九年级（上）10月月考数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. 3x+y=2B. x=2x3−3C. x2−5=0D. 2x+1x=3
2.若二次函数y=ax2的图象经过点P(4,3)，则该图象必过点
( )
A. (4,-3)B. (3,-4)C. (−4,3)D. (−3,4)
3.一元二次方程x2−4x+2=0，经过配方后的方程是
( )
A. (x+1)2=2B. (x−2)2=2C. (x−2)2=-2D. (x−2)2=6
4.一元二次方程x2−4x+5=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
5.如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为( )
A. (45−2x)(25−x)=625B. (45−x)(25−x)=625
C. (45−x)(25−2x)=625D. (45−2x)(25−2x)=625
6.函数y=ax2+1和y=ax+a(a为常数，且a≠0)，在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是
( )
A. B. C. D.
7.若a是方程x2−x−1=0的一个根，则−a3+2a+2022的值为
( )
A. 2021B. −2023C. 2019D. −2019
8.如图1，在平行四边形ABCD中，点P沿A→B→C方向从点A移动到点C，设点P移动路程为x，线段AP的长为y，图2是点P运动时y随x变化关系的图像，则BC的长为( )
A. 4.4B. 4.8C. 5D. 6
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9.已知关于x的二次函数y=(a−1)xa2−2+2x−1的图象开口向下，则a= ．
10.已知x1,x2是方程2x2−3x+1=0的两根，则代数式x1+x2x1x2的值为 ．
11.把二次函数y=2x2的图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，平移后二次函数的解析式为 ．
12.若关于x的一元二次方程a(x+m)2−2=0的两个实数根分别为x1=-1，x2=5，则抛物线y=a(x+m−3)2−2与x轴的公共点坐标为 ．
13.已知关于x的一元二次方程(m−1)x2+4x−1=0有实数根，则m的取值范围是 ．
14.已知点(1,m),(2,n)在二次函数y=ax2+2ax+3(a为常数)的图像上．若a<0，则m _n.(填“>”、“<”或“=”)．
15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．当t= 时，△CPQ的面积为16cm2
16.如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，其对称轴为x=1，过(−2,0)，则下列结论：①abc<0；②b+2a=0；③方程ax2+bx+c=0的两根为x1=-2，x2=4；④9a+c>3b，其中正确的结论是 .(填写序号)
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17.解方程：
(1)16x2=9
(2)3x(x−2)=2(x−2)
(3)x2−3x+2=0
(4)2x2−6x−3=0
四、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.(本小题8.0分)
已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实数根x1，x2．
(1)求k的取值范围；
(2)若x1+x2+2x1x2=1，求k的值．
19.(本小题8.0分)
已知关于x的一元二次方程x2−(m+2)x+2m=0
(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
(2)若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
20.(本小题8.0分)
某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售128件，假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变、售价不变的前提下，五月份的销量达到200件：
(1)求四、五两个月销售量的月平均增长率；
(2)从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？
21.(本小题8.0分)
已知二次函数y=x2−4x+3．
(1)求出此二次函数图象的顶点坐标；
(2)求出y随x的增大而减小时，x的取值范围．
22.(本小题8.0分)
如图，已知二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点A坐标为(1,−1)，与直线y=12x相交于O、B两点，点O是原点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求点B的坐标；
(3)直接写出不等式ax2+bx+c<12x的解．
23.(本小题8.0分)
我们把抛物线上横、纵坐标之和为零的点叫做这条抛物线的“和谐点”(原点除外)．
(1)已知抛物线y=-x2+2x，求其顶点A及“和谐点”B的坐标；
(2)平移抛物线y=-x2+2x，若所得新抛物线经过点B，且顶点D是新抛物线的“和谐点”，求新抛物线的表达式．
24.(本小题8.0分)
如图，已知抛物线的顶点为A(1,4)，抛物线与y轴交于点B(0,3)，与x轴交于C，D两点．点P是x轴上的一个动点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)当PA+PB的值最小时，求点P的坐标；
(3)抛物线上是否存在一点Q(Q与B不重合)，使△CDQ的面积等于△BCD的面积？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
25.(本小题8.0分)
如图，抛物线y=-12x2+mx+n与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，已知A(−1,0)，AB=5．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是第一象限抛物线上的一个动点，当点D在运动过程中，求△CBD的面积的最大值，并写出此时点D的坐标；
(3)在第一象限的抛物线上是否存在点M，使得∠ACO=∠CBM，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可．
【详解】A、含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不符合题意；
B、未知数的最高次数为3，不是一元二次方程，该选项不符合题意；
C、是一元二次方程，该选项符合题意；
D、1x不是整式，不是一元二次方程，该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的识别，牢记一元二次方程的定义(等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程)是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】【分析】求得二次函数y=ax2的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性即可解答．
【详解】解：∵-b2a=0，
∴二次函数y=ax2的对称轴为y轴，
∴P(4,3)关于y轴对称的点为(−4,3)，
∴该图象必过点(−4,3)，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，熟练求得二次函数的对称轴是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】【分析】在方程的左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可
【详解】解：x2−4x+2=0
x2−4x=-2
x2−4x+4=-2+4，
(x−2)2=2，
故选：B．
【点睛】本题考查了配方法在解一元二次方程中的应用，解题关键是熟练掌握配方法的基本步骤．
4.【答案】D
【解析】【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式的关系：①Δ>0，方程有两个不相等的实数根；②Δ=0，方程有两个相等的实数根；③Δ<0，方程没有实数根，直接计算判别式，确定符号即可确定答案．
【详解】解：∵一元二次方程x2−4x+5=0，
∴Δ=b2−4ac
=(−4)2−4×1×5
=16−20
=-4<0，
∴一元二次方程x2−4x+5=0没有实数根，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，熟练掌握①Δ>0，方程有两个不相等的实数根；②Δ=0，方程有两个相等的实数根；③Δ<0，方程没有实数根是解决问题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】由剪去小正方形的边长可得出该无盖纸盒的底面长为(45−2x)cm，宽为(25−2x)cm，根据该无盖纸盒的底面积为625cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵剪去小正方形的边长为x cm，
∴该无盖纸盒的底面长为(45−2x)cm，宽为(25−2x)cm．
依题意得：(45−2x)(25−2x)=625．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】【分析】由二次函数的解析式可得二次函数y=ax2+1的图象的顶点为(0,1)即可排除A、B，由一次函数的解析式可得一次函数y=ax+a的图象经过点(−1,0)即可排除C，从而得到答案．
【详解】解：∵y=ax2+1，
∴二次函数y=ax2+1的图象的顶点为(0,1)，故A、B不符合题意；
在y=ax+a中，当y=0时，ax+a=0，解得x=-1，
∴一次函数y=ax+a的图象经过点(−1,0)，故C不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数图象的综合判断，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】【分析】先把a代入方程，变形得a2−a=1，再把代数式变形求解即可．
【详解】解：∵a是方程x2−x−1=0的一个根，
∴a2−a−1=0，
∴a2−a=1，
∴−a3+2a+2022
=-a3+a2−a2+2a+2022
=-a(a2−a)−a2+2a+2022
=-a−a2+2a+2022
=-a2+a+2022
=-(a2−a)+2022
=-1+2022
=2021
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根和求代数式的值，把根代入方程和对代数式变形是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】【分析】根据平行四边形的性质，再结合运动时随P的变化的关系图象，通过勾股定理即可求解．
【详解】解：如下图，

根据图2可知，
当P到达B点时，AP=AB=3，
当AP⊥BC时，AB+BP=4.8，
∴BP=BE=4.8−AB=1.8，
∴AE= AB2−BE2= 32−1.82=2.4，
当P到达点C时，AP=AC=4，
∴CE= AC2−AE2= 42−2.42=3.2，
∴BC=BE+CE=1.8+3.2=5．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数图象、平行四边形的性质、勾股定理等知识，根据点P运动的规律，结合函数图象确定有用信息是解题的关键．
9.【答案】−2
【解析】【分析】根据二次函数的开口方向和二次函数的定义即可列方程组，求解即可得出答案．
【详解】解：∵二次函数y=(a−1)xa2−2+2x−1的图象开口向下，
∴a−1<0a2−2=2,
解得：a=-2，
故答案为：−2．
【点睛】本题考查了二次函数图象，二次函数的定义，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
10.【答案】3
【解析】【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2=32、x1x2=12，将其代入原式中即可求出结论．
【详解】解：∵x1+x2=-ba=32，x1x2=ca=12，
∴x1+x2x1x2=32÷12=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
11.【答案】y=2(x+3)2+4
【解析】【分析】根据二次函数的平移口诀：左加右减，上加下减，即可解答．
【详解】解：二次函数y=2x2的图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度后的二次函数为y=2(x+3)2+4，
故答案为：y=2(x+3)2+4．
【点睛】本题考查了二次函数的平移，熟记平移口诀是解题的关键．
12.【答案】(2,0),(8,0)
【解析】【分析】根据题意，设抛物线y=a(x+m)2−2，可得a(x+m)2−2=0的根就是抛物线y=a(x+m)2−2与x轴的交点横坐标，而抛物线y=a(x+m−3)2−2为抛物线y=a(x+m)2−2向右平移3个单位长度得到，据此即可解答．
【详解】解：设抛物线y=a(x+m)2−2，
∵a(x+m)2−2=0的两个实数根分别为x1=-1，x2=5，
∴抛物线y=a(x+m)2−2与x轴的交点坐标为(−1,0),(5,0)，
∵抛物线y=a(x+m−3)2−2为抛物线y=a(x+m)2−2向右平移3个单位长度得到，
∴抛物线y=a(x+m−3)2−2与x轴的公共点坐标为(2,0),(8,0)，
故答案为：(2,0),(8,0)．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数的平移，熟练掌握上述性质是解题的关键．
13.【答案】m≥−3且m≠1
【解析】【分析】由题意得根的判别式大于等于0，即可得到关于m的不等式，同时结合二次项不为0，即可得到结果．
【详解】解：由题意，得：Δ=42−4(m−1)×(−1)≥0且m−1≠0，
解得：m≥−3且m≠1；
故答案为：m≥−3且m≠1．
【点睛】本题主要考查根的判别式．熟练掌握根的判别式与根的个数的关系，是解题的关键．
14.【答案】>
【解析】【分析】根据二次函数的性质即可判定．
【详解】解：∵二次函数的解析式为y=ax2+2ax+3，
∴该抛物线对称轴为x=-2a2a=-1，
∴a<0．
∴当x> -1时，y随x的增大而减小，
∵1<2，
∴m>n，
故答案为：>．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．
15.【答案】1或4/4或1
【解析】【分析】若运动的时间为ts，则CP=(20−4t)cm，CQ=2tcm，利用三角形的面积计算公式列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：若运动的时间为t s，则CP=(20−4t)cm，CQ=2t cm，
依题意得：12(20−4t)×2t=16，
整理得：t2−5t+4=0，
解得：t1=1,t2=4，
答：当t=1或4s时，△CPQ的面积为16cm2．
故答案为：1或4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16.【答案】②③④
【解析】【分析】由函数图象可知a>0，对称轴为直线x=1，与y轴的交点在负半轴，即c<0，然后可判断①②，令y=0时，然后根据抛物线的对称性可判断③；把x=-3代入函数解析式即可判断④．
【详解】解：由图象可得：a>0，对称轴为直线x=1，与y轴的交点在负半轴，即c<0，
∴x=-b2a=1，
∴b+2a=0，b<0，
∴abc>0，故①不符合题意，②符合题意；
令y=0时，则有ax2+bx+c=0的两根即为二次函数与x轴两个交点的横坐标，
∵二次函数过(−2,0)，
∴它的另一个交点的横坐标为4，
∴方程ax2+bx+c=0的两根为x1=-2，x2=4；故③符合题意；
把x=-3代入函数解析式得：y=9a−3b+c，
∴由函数图象可得：y=9a−3b+c>0，即9a+c>3b，故④符合题意；
综上所述：符合题意的有②③④三个；
故答案为：②③④．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
17.【答案】(1)x1=34,x2=-34
(2)x1=2,x2=23
(3)x1=2,x2=1
(4)x1=3+ 152,x2=3− 152

【解析】【分析】(1)利用直接开平方法，即可解答；
(2)利用因式分解法，即可解答；
(3)利用因式分解法，即可解答；
(4)利用公式法，即可解答．
【详解】(1)解：16x2=9，
x2=916，
∴x1=34,x2=-34；
(2)解：3x(x−2)=2(x−2)，
3x(x−2)−2(x−2)=0，
(x−2)(3x−2)=0，
可得x−2=0或3x−2=0，
∴x1=2,x2=23；
(3)解：x2−3x+2=0，
(x−2)(x−1)=0，
可得x−2=0或x−1=0，
∴x1=2,x2=1；
(4)解：由2x2−6x−3=0得a=2,b=-6,c=-3，
∴x=−b± b2−4ac2a=6± (−6)2−4×2×(−3)2×2=6± 604，
∴x1=3+ 152,x2=3− 152．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法快速解出方程是解题的关键．
18.【答案】(1)k>34
(2)k=1

【解析】【分析】(1)根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；
(2)根据根与系数的关系得到x1+x2=-2k−1,x1x2=k2+1，再根据已知条件得到方程−2k−1+2k2+2=1，解方程即可得到答案．
【详解】(1)解：∵关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实数根，
∴Δ=(2k+1)2−4k2+1>0，
∴4k2+4k+1−4k2−4>0，
∴k>34；
(2)解：∵关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实数根x1，x2，
∴x1+x2=-2k−1,x1x2=k2+1，
∵x1+x2+2x1x2=1，
∴−2k−1+2k2+2=1，
∴2k2−2k=0，
解得k=1或k=0(舍去)．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若x1,x2是该方程的两个实数根，则x1+x2=-ba,x1x2=ca；若Δ=b2−4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2−4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若Δ=b2−4ac<0，则方程没有实数根．
19.【答案】(1)见解析
(2)m=1；2

【解析】【分析】(1)证明Δ=b2−4ac≥0，即可得到结论；
(2)先把x=1代入原方程求解m，再利用根与系数的关系x1⋅x2=ca，求解另一个根即可．
【详解】(1)证明：∵a=1，b=-(m+2)，c=2m，
∴Δ=b2−4ac=−(m+2)2−4×1×2m=m2+4m+4−8m=m2−4m+4=(m−2)2≥0，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；
(2)解：将x=1代入原方程得：1−(m+2)+2m=0，
∴m=1，
∴原方程为x2−3x+2=0，
x1⋅x2=ca=2，
∵2÷1=2，
∴方程的另一个根为2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，配方法的应用，熟练运用一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题的关键．
20.【答案】(1)25%
(2)5

【解析】【分析】(1)设四、五两个月销售量的月平均增长率为x，利用五月份的销售量=三月份的销售量×(1+四、五两个月销售量的月平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(2)设商品降价y元，则每件的销售利润为(40−y−25)元，月销售量为(200+5y)件，利用总利润=每件的销售利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】(1)设四、五两个月销售量的月平均增长率为x，
依题意得：128(1+x)2=200，
解得：x1=0.25=25%，x2=−2.25(不符合题意，舍去)．
答：四、五两个月销售量的月平均增长率为25%．
(2)设商品降价y元，则每件的销售利润为(40−y−25)元，月销售量为(200+5y)件，
依题意得：(40−y−25)(200+5y)=2250，
整理得：y2+25y-150=0，
解得：y1=5，y2=−30(不符合题意，舍去)．
答：当商品降价5元时，商场可获利2250元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用题，根据题意分析找出等量关系是本题的关键．
21.【答案】(1)(2,-1)
(2)x≤2

【解析】【分析】(1)将二次函数的解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；
(2)根据函数的图象的顶点坐标确定其对称轴，然后结合其开口方向确定其增减性，即可求解．
【详解】(1)解：∵y=x2−4x+3=(x−2)2−1，
∴顶点坐标为(2,-1)．
(2)解：∵y=x2−4x+3=(x−2)2−1，
∴对称轴为x=2，
又∵a=1>0
∴二次函数的图象开口向上，
∴当x≤2时，y随x的增大而减小．
故y随x的增大而减小时，x的取值范围是x≤2．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
22.【答案】(1)y=(x−1)2−1(或y=x2−2x)
(2)B(52,54)
(3)0
【解析】【分析】(1)已知顶点可设顶点式y=a(x−1)2−1，把原点坐标代入，可求出a，得出答案；
(2)联立抛物线与直线方程即可求得答案；
(3)由函数图像可知抛物线小于一次函数在O、B之间，即可得到答案．
【详解】(1)解：∵顶点坐标为(1,−1)，
∴二次函数的顶点式为y=a(x−1)2−1，
∵二次函数过(0,0)，
∴0=a(0−1)2−1，
解得a=1，
∴二次函数的解析式为y=(x−1)2−1(或y=x2−2x).
(2)∵B点在直线y=12x上，可以设B(a,12a)，
把B(a,12a)代入抛物线，得：a2−2a=12a，
解得a1=0，a2=52，
∵a≠0，∴a=52，
∴B(52,54).
(3)不等式ax2+bx+c<12x，
可以转化为二次函数小于一次函数，
由图可知在O、B之间满足条件，
∴0【点睛】本题考查二次函数的解析式，二次函数图像与不等式的性质，掌握函数、方程和不等式之间的关联是解题的关键．
23.【答案】(1)A(1,1)，B(3,-3)；(2)y=-x2+4x−6或y=-x2+6x−12．
【解析】【分析】(1)根据配方可求出点A的坐标；再根据“和谐点”的定义得出横、纵坐标关系与抛物线联立方程组求解即可；
(2)设D(m,-m)，得新抛物线y=-(x−m)2−m，再把(3,-3)代入求出m的值即可得出结论
【详解】解：(1)y=-x2+2x=−(x−1)2+1
∴抛物线的顶点坐标为A(1,1)，
设“和谐点”B(x,y)
∴x+y=0①
又B在y=-x2+2x②上
联立①②得x+y=0y=-x2+2x
解得，x1=0y1=0,x2=3y2=-3
∴B(3,-3)
(2)设D(m,-m)，则平移后的抛物线解析式为y=-(x−m)2−m
将(3,-3)代入得，−3=-(3−m)2−m
得m1=2，m2=3
∴平移后抛物线的解析式y=-x2+4x−6或y=-x2+6x−12．
【点睛】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
24.【答案】(1)抛物线的解析式为y=−(x−1)2+4；(2)当PA+PB的值最小时的点P的坐标为(37,0)；(3)点Q的坐标为(2,3)或(1− 7,−3)或(1+ 7,−3)．
【解析】【分析】(1)设抛物线顶点式解析式y=a(x−1)2+4，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解；(2)先求出点B关于x轴的对称点B′的坐标，连接AB′与x轴相交，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线AB′的解析式，再求出与x轴的交点即可．(3)S△CDQ=S△BCD且CD是两三角形的公共底边知|yQ|=yB=3，据此得yQ=3或yQ=−3，再分别求解可得．
【详解】解：(1)∵抛物线的顶点为A(1,4)，
∴设抛物线的解析式y=a(x−1)2+4，
把点B(0,3)代入得，a+4=3，
解得a=−1，
∴抛物线的解析式为y=−(x−1)2+4；
(2)点B关于x轴的对称点B′的坐标为(0,−3)，
由轴对称确定最短路线问题，连接AB′与x轴的交点即为点P，
设直线AB′的解析式为y=kx+b(k≠0)，
则{k+b=4b=-3,
解得{k=7b=-3,
∴直线AB′的解析式为y=7x−3，
令y=0，则7x−3=0，
解得x=37，
所以，当PA+PB的值最小时的点P的坐标为(37,0)．
(3)∵S△CDQ=S△BCD，且CD是两三角形的公共底边，
∴|yQ|=yB=3，
则yQ=3或yQ=−3，
当yQ=3时，−(x−1)2+4=3，
解得：x=0或x=2，
则点Q(2,3)；
当yQ=−3时，−(x−1)2+4=−3，
解得：x=1− 7或x=1+ 7，
则点Q坐标为(1− 7,−3)或(1+ 7,−3)；
综上，点Q的坐标为(2,3)或(1− 7,−3)或(1+ 7,−3)．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、轴对称−最短路线问题及三角形的面积问题．
25.【答案】(1)y=-12x2+32x+2
(2)4，D(2,3)
(3)M53,289

【解析】【分析】(1)根据点A的坐标和AB=5，得出点B的坐标，再将点A和点B的坐标代入y=-12x2+mx+n求出m和n的值即可；
(2)求出C(0,2)，用待定系数法去除直线BC的解析式为y=-12x+2，过点D作DE/\!/y轴交BC于点E，设Dt,-12t2+32t+2，则Et,-12t+2，得处DE=-12t2+2t，根据S△CBE=12xB−xCDE，得出三角形面积的表达式，最后根据二次函数性质，即可得出△CBE的面积最大值；
(3)延长AC到F，使得∠ACO=∠CBM，过F作FE垂直y轴并交y轴于点E，根据勾股定理逆定理得出∠BCA=∠BCF=90°，证明△BCO∽△CFE∽△BFC，得出ECFE=BCFC=OBOC=2，则EC=2FE，BC=2FC，得出FC= 5，根据勾股定理可得：EC2+FE2=FC2，求出FE=1，得出F(1,4)，用待定系数法求出直线BF的解析式为y=-43x+163，与二次函数表达式联立即可求出点M的坐标．
【详解】(1)解：∵A(−1,0)，AB=5，A在B的左侧，
∴B(4,0)，
将A(−1,0)，B(4,0)代入y=-12x2+mx+n，
∴−12−m+n=0−8+4m+n=0，解得m=32n=2,
∴y=-12x2+32x+2；
(2)解：令x=0，则y=2，
∴C(0,2)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴4k+b=0b=2，解得k=-12b=2,
∴y=-12x+2，
过点D作DE/\!/y轴交BC于点E，

设Dt,-12t2+32t+2，则Et,-12t+2，
∴DE=-12t2+32t+2+12t−2=-12t2+2t，
∴S△CBE=12xB−xCDE=12×4×−12t2+2t=-t2+4t=-(t−2)2+4，
∵−1<0，
∴当t=2时，△CBE的面积最大，最大值为4，此时D(2,3)；
(3)解：延长AC到F，连接BF，交抛物线与点M，使得∠ACO=∠CBM，过F作FE垂直y轴并交y轴于点E

∵A(−1,0)，B(4,0)，C(0,2)，
∴AC= 5，AB=5，BC=2 5，
∵AC2+BC2= 52+2 52=25=AB2，
∴∠BCA=∠BCF=90°，
∵∠CEF=90°，
∴∠EFC+∠ECF=90°，∠BCO+∠ECF=90°，
∴∠BCO=∠EFC，
∴△BCO∽△CFE，
∴∠ACO=∠CBM，∠ACO=∠FCE，
∴∠CBM=∠FCE，
∴△BCO∽△CFE∽△BFC，
∴ECFE=BCFC=OBOC=2，则EC=2FE，BC=2FC，
∵BC=2 5，
∴FC= 5，
∴根据勾股定理可得：EC2+FE2=FC2，即(2FE)2+FE2=5FE2= 52，
解得：FE=1，
∴EC=2，则OE=4，
∴F(1,4)，
设直线BF的解析式为y=mx+n，
把B(4,0)，F(1,4)代入得：
0=4m+n4=m+n，解得：m=-43n=163,
∴直线BF的解析式为y=-43x+163，
联立得：y=-43x+163y=-12x2+32x+2,
3x2−17x+20=0，
解得x1=4，x2=53，
∵B(4,0)，
∴x=53，
∴M53,289．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，解题的关键是掌握用待定系数法求二次函数解析式的方法和步骤，二次函数的增减性，相似三角形的判定和性质．