2023-2024学年江苏省淮安市清江浦区九年级（上）期中考试数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省淮安市清江浦区九年级（上）期中考试数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.一元二次方程的解是( )
A. B.
C. ，D.
2.用配方法解方程，下列配方正确的是
( )
A. B. C. D.
3.甲、乙、丙、丁四人各进行次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是
( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
4.已知的半径为，如果一点和圆心的距离为，那么点与的位置关系是
( )
A. 点在内B. 点在上C. 点在外D. 不能确定
5.某一芯片实现国产化后，经过两次降价，每块芯片单价由元降为元若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，根据题意列方程得
( )
A. B.
C. D.
6.如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况满分分，则所打分数的众数为
( )
A. 分B. 分C. 分D. 分
7.如图，四边形内接于，为延长线上一点．若，则的度数是
( )
A. B. C. D.
8.如图，，点在边上，与边相切于点，交边于点，，连接，则等于
( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
9.若一元二次方程有一根为，则 ．
10.如表是某同学求代数式为常数的值的情况．根据表格中数据，可知方程的根是 ．
11.半径为且圆心角为的扇形面积为 ．
12.已知圆锥的母线长是，侧面积是，则这个圆锥的底面半径是 ．
13.若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，则这个正多边形是正 边形．
14.已知三边长分别为，，，则这个三角形的外接圆的半径 ．
15.如图，在四边形中，，，若，，则的长为 ．
16.如图，矩形的边，，为的中点，是矩形内部一动点，且满足，为边上的一个动点，连接，，则的最小值为 ．
三、计算题（本大题共1小题，共6分）
17.解方程：
；
．
四、解答题（本大题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.本小题分
年月日，神舟十六号载人飞船发射成功，神舟十五号与神舟十六号名航天员胜利会师中国空间站．某校团委组织了“中国梦航天情”系列活动，下面数据是八年级班、班两个班级在活动中各项目的成绩单位：分：
如果根据三项成绩的平均分计算最后成绩，请通过计算说明班、班哪个班将获胜；
如果将知识竞赛、演讲比赛、手抄报创作按的比例确定最后成绩，请通过计算说明班、班哪个班将获胜．
19.本小题分
关于的一元二次方程．
求证：方程总有两个实数根；
若方程有一个根不小于，求的取值范围．
20.本小题分
如图的直径与弦的延长线交于点，连接，若，，求的度数．
21.本小题分
为了调动员工的积极性，商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标，对完成目标的员工进行奖励．家电部对名员工当月的销售额进行统计和分析．
数据收集单位：万元：


数据整理：
数据分析：
问题解决：
填空： ， ．
若将月销售额不低于万元确定为销售目标，则有 名员工获得奖励．
经理对数据分析以后，最终对一半的员工进行了奖励．员工甲找到经理说：“我这个月的销售额是万元，比平均数万元高，所以我的销售额超过一半员工，为什么我没拿到奖励？”假如你是经理，请你给出合理解释．
22.本小题分
为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园如图，生态园一面靠墙墙足够长，另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由．
23.本小题分
如图，在一张四边形的纸片中，，，，以点为圆心，为半径的圆分别与、交于点、．
求证：与相切；
过点作的切线．要求：用无刻度直尺与圆规作图，不写作法，保留作图痕迹
24.本小题分
如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．

如左图，、、三点是格点，画出经过这三点的圆的圆心；
如右图，、、、四点是格点，在劣弧上找一点，使得弦．
25.本小题分
一款服装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件．经市场调查发现，如果每件服装降价元，那么平均每天可多售出件．设每件服装降价元．
则每天销售量增加 件，每件服装盈利为 元用含的代数式表示；
在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利元？
26.本小题分
如图，在矩形中，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向终点匀速运动，点以的速度向终点匀速运动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为．
当时，求四边形的面积；
当为何值时，为？
当 ，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？
27.本小题分
在一次数学兴趣小组活动中，小亮利用同弧所对的圆周角及圆心角的性质探索了一些问题，下面请你和小亮一起进入探索之旅．
【问题探索】
如图，点、、、在上，点在外，且则 ， ， 填“”、“”或“”
【操作实践】
如图，已知线段和直线，用直尺和圆规在直线上作出所有点，使要求：用无刻度的直尺与圆规作出点，保留作图痕迹，不写作法
【迁移应用】
请运用探索所得的学习经验，解决问题：如图，已知的半径为，，点为优弧上一动点，交的延长线于点．
求的度数；
面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】根据开平方法，可得方程的解．
解：，
移项，得：，
开方，得：，．
故选C．
本题考查了解一元二次方程直接开平方，关键是掌握直接开平方的方法．
2.【答案】
【解析】先把移项，然后两边同时加上，即可得出答案．
解：由，得
，
配方，得
，
即，
故选：．
本题考查了配方法解方程，熟练掌握相关知识是解题关键．
3.【答案】
【解析】根据方差的意义，方差越小数据越稳定即可求解．
解：，，，，
又，
最小．
射击成绩最稳定的是甲．
故选：．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．熟知方差的意义是解题的关键．
4.【答案】
【解析】若的半径为，一点和圆心的距离为，当时，点在上；当时，点在内；当时，点在外．
解：点和圆心的距离等于的半径
点在上
故选：
本题考查点与圆的位置关系．熟记相关结论即可．
5.【答案】
【解析】设每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率，则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解．
解：设每次降价的百分率为，根据题意得：
．
故选A．
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程．
6.【答案】
【解析】根据扇形统计图及结合众数的求法可进行求解．
解：由扇形统计图可知分数为分的占总数的，是最多的，所以众数为分；
故选A．
本题主要考查众数及扇形统计图，熟练掌握众数的求法是解题的关键．
7.【答案】
【解析】根据邻补角互补求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补求出的度数，最后根据圆周角定理即可求出的度数．
解：，
，
四边形内接于，
，
，
，
故选C．
本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握这些定理和性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】连接，先根据切线性质得到，再根据三角形的内角和定理求得，再利用圆周角定理求解即可．
解：连接，
与边相切于点，
，
，
，
，
故选B．
本题考查切线性质、圆周角定理、三角形的内角和定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理是解答的关键．
9.【答案】
【解析】将代入原方程，可得到关于、的等式，然后变形即可求得的值．
解：一元二次方程有一根为，
，
，
，
故答案为：．
本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程的解一定使得原方程成立．
10.【答案】，
【解析】观察表格，找出使方程左右两边相等的的值，根据方程解的定义进行解答即可．
解：通过观察表格可知：当和时，，
方程的根是：，，
故答案为：，．
本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义．
11.【答案】
【解析】根据扇形面积计算公式进行求解即可．
解：由题意得，该扇形面积为，
故答案为：．
本题主要考查了扇形面积计算，熟知扇形面积计算公式是解题的关键，对于半径为，圆心角度数为的扇形，其面积为．
12.【答案】
【解析】根据圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应的数值代入求解即可．
解：设底面半径为，则底面周长，
侧面积，
．
故答案为：．
本题考查了圆的周长公式和扇形面积公式，解题的关键是掌握扇形的面积公式．
13.【答案】六
解：一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，
相邻的两条半径和一条边长构成一个等边三角形，
即中心角为，
正多边形的边数为，
故答案为：六．
根据正多边形的性质得到相邻的两条半径和一条边长构成一个等边三角形，求得中心角为，于是得到结论．
本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是根据边长等于半径确定中心角的度数，难度不大．
14.【答案】
【解析】首先根据勾股定理的逆定理发现该三角形是直角三角形，再根据直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半进行计算．
解：，
是直角三角形，
则外接圆半径是斜边的一半，即为；
故答案为：．
本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形的外接圆与外心，解题的关键是熟记直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半．
15.【答案】
【解析】由题意可得在以为圆心，为半径的圆上，延长交圆于点，连接，则，证明，再利用勾股定理求解，从而可得答案．
解：如图，，
在以为圆心，为半径的圆上，延长交圆于点，连接，
则，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
本题考查的是圆周角定理的应用，圆的确定，勾股定理的应用，作出合适的辅助圆是解本题的关键．
16.【答案】
【解析】先找出点的运动路线为以为直径的圆，设圆心为，作点关于直线的对称点，连接交于点，可推出的长即为的最小值，再求出的长即可．
解：四边形是矩形，
，
，
，
点的运动路线为以为直径的圆，
作以为直径的，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，，

则，，
，
的最小值为；
连接，
四边形是矩形，点是的中点，点为的中点，
，，，
四边形是矩形，
，
点关于直线的对称点，
，
在中，
由勾股定理，得，
的最小值为，
故答案为：．
本题考查轴对称最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，能利用一条线段的长表示两线段的和的最小值是解题的关键．
17.【答案】【小题】
解：，
，
，；
【小题】
解：整理，得：，
，即，
，
，．

【解析】
利用直接开平方法求解即可；

两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
18.【答案】【小题】
班的平均分为：分，
班的平均分为：分，
，
班将获胜；
【小题】
由题意可得，
班的平均分为：分，
班的平均分为：分，
，
班将获胜．

【解析】
根据表格中的数据和平均数的计算方法可以解答本题；
根据加权平均数的计算方法可以解答本题．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
19.【答案】【小题】
解：
，
方程总有两个实数根；
【小题】
解：，
，
解方程得：，，
由于方程有一个根不小于，
，
解得：．

【解析】
计算根的判别式的值，利用配方法得到，根据非负数的性质得到，然后根据判别式的意义得到结论；
利用求根公式得到，根据题意得到，即可求得的取值范围．
本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解，在解答时得到方程的两个根是解题的关键．
20.【答案】
解：连接，可知，由得，根据等边对等角得，，再由外角的性质得与的关系，从而得解．
解：
连接，则：，
，
，
，
，
，
，
，
本题考查了圆的性质，等边对等角，外角的性质等知识，根据外角的性质弄清与的关系是解题的关键．
21.【答案】【小题】
【小题】
【小题】
万元小于中位数万元，有一半多的员工销售额比万元高，故员工甲没拿到奖励．

【解析】
根据所给数据可得的值及按从小到大顺序排列，第位和第位分别是，，可得中位数；
解：该组数据中有个数在与之间，故，
将个数据按从小到大顺序排列，第位和第位分别是，，故中位数；

根据频数分布表求得答案；
月销售额不低于万元的有：人，

利用中位数的含义进行决策比利用平均数作决策更合理，从而可得答案．
本题考查频数分布表，平均数，中位数，利用中位数做决策等，解题的关键是掌握中位数的求法及意义．
22.【答案】解：生态园的面积能为
设米，则米，根据题意得，
，
解得：，
答：的长为米或米

【解析】设米，则米，根据矩形生态园面积为，建立方程，解方程，即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】【小题】
证明：如图，过点作于点，

，，
为等腰直角三角形，
，
，
的半径为，
是的半径，又，
是的切线；
【小题】
解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，作直线，则即为所求，

，，
，
是直角三角形，，
，
是的切线．

【解析】
过点作于点，证明为等腰直角三角形，求出，根据的半径为，
得出是的半径，即可证明结论；

作线段的垂直平分线，交于点，作直线，则即为所求．
解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，作直线，则即为所求，

，，
，
是直角三角形，，
，
是的切线．
本题主要考查了切线的判定，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，解题的关键是熟练掌握圆的切线判断方法．
24.【答案】【小题】
【小题】

【解析】
根据两直径相交于圆心，进而可求解．
解：连接，，作网格直线，
，且平分，
经过直径，
，
是直径，
则与的交点即为圆心，
如图所示，即为所求：

根据直径垂直平分弦，作弦的垂线即可求解．
连接，取格点，连接，则是的垂线，与圆相交于，连接，，
由得：直径，
是线段的垂直平分线，
是等腰三角形，
，
又，
，
如图，点即为所求：
本题考查了作图尺规作图、垂径定理，熟练掌握直径垂直平分弦及两直径相交于圆心是解题的关键．
25.【答案】【小题】
【小题】
设每件服装降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用每天销售该款服装获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合需要让利于顾客进行判断，从而得解．
依题意得，
整理得，
解得，，
由于要对顾客更有利，，
答：每件服装降价元时，商家平均每天能盈利元．

【解析】
依据题意列代数式即可；
解：设每件服装降价元，
每件服装降价元，平均每天可多售出件，则每天销售量增加件；
服装每件进价为元，销售价为元，每件服装盈利为元；
故答案为：，；

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程．
26.【答案】【小题】
【小题】
或
【小题】
或或或

【解析】
先求出，再直接用梯形的面积公式即可；
解：由题意知，，，，
在矩形中，，
，，
，．
当时，，，
，
．

分当，当，两种情况过点作于点，先表示出，再用勾股定理建立方程求解即可；
解：如图所示，当，即，即时，
过点作于点，则四边形是矩形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
或舍去．

如图，当，即，即时，
过点作于点，则四边形是矩形，
，
在中，由勾股定理得：，
，
或舍去．

综上所述：当为或时，为．

分三种情况，利用勾股定理建立方程求解即可．
解：在中，由勾股定理得，
，
点，，为顶点的三角形是等腰三角形，，
当时，即：，
，
舍去或．
当时，即：，
，
舍去或．
当时，即，，
或．
综上所述：当的值为或或或时，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形．
此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，解本题的关键是用时间表示出，用方程的思想是解本题的难点．
27.【答案】【小题】
【小题】
见解析
【小题】
；

【解析】
根据同弧所对的圆周角相等求出，同弧所对的圆心角等于圆周角的二倍求得，设与的交点为，连接，利用三角形外角性质判断；
解：，
，，
设与的交点为，连接，
，，
，
故答案为：；；；

以线段为边作等边，再以点为圆心为半径作圆，与的交点即为点，根据圆周角定理即可得到，此时点即为所求；
如图所示，，即为所求作的点；

连接，由勾股定理逆定理得，得到，由此求出，再根据，得到；由知，，，
由探索知点在如图所示的以为圆心，圆心角的优弧上，当点为的中点时，的面积最大，根据等腰三角形的性质得到，求出，即可求出的最大面积为：．
连接，
半径为，
，
又，
，
，
，
又，
，
；
由知，，，
由探索知点在如图所示的以为圆心，圆心角的优弧上，
当点为的中点时，的面积最大，
此时，在等腰直角中，，
，
，
，
即的最大面积为：．
此题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质，三角形的外角性质，圆心角与圆周角关系，正确理解圆周角定理是解题的关键．
班次项目
知识竞赛
演讲比赛
手抄报创作
班
班
销售额万元
频数
平均数
众数
中位数