2023-2024学年江苏省苏州市苏州工业园区重点中学八年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市苏州工业园区重点中学八年级（上）10月月考数学试卷（含解析），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.年是农历癸卯兔年，小红所在的社区开展了“兔年剪纸展”，下面的剪纸作品是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列说法正确的是( )
A. 的平方根是B. 平方根等于它本身的数是和
C. 的平方根是D. 立方根等于它本身的数是和
3.第七次全国人口普查数据显示，山东省常住人口约为万人，将用科学记数法精确到十万位( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，，，分别以边、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于、两点，连接、分别交于于、于，连接，若，则的长为
( )
A. B. C. D.
5.勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是( )
A. B.
C. D.
6.在等腰中，，一腰上的中线将这个三角形的周长分为和两部分，则这个等腰三角形的底边长为( )
A. B. 或C. D. 或
7.如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知，则为
( )
A. B. C. D.
8.如图，中，垂直的角平分线于为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为
( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
9.一个正数的两个平方根是和，则这个正数
10.如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则 度．
11.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，小正方形的面积为，则大正方形的面积为 ．
12.如图，数轴上点分别表示、，垂直于数轴，且长为，以为圆心、为半径作弧交数轴于点，则点表示的实数是 ．
13.如图的方格纸中，在除阴影之外的方格中任意选择一个涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的涂法有 种．
14.如图，把一张长方形纸片沿折叠，点与重合，点落在点处．若长方形的长为，宽为，则阴影部分的面积为 ．
15.如图，已知：四边形中，对角线平分，，，，那么的度数为 度．
16.如图，在等边中，，点为高上的一动点，以为边作等边，连接、，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
计算：
；
．
18.本小题分
求下面各式中的的值；
；
．
19.本小题分
已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分．求的平方根．
20.本小题分
如图，在边长为的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的．

利用网格线画，使它与关于直线对称．
在直线上作点，使的值最小，此时______．
在直线上找一点，使点到两边的距离相等．
21.本小题分
如图，已知四边形请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图不要求写作法，保留作图痕迹：

在 线段上找一点，使得，请在图中作出点：
若与不平行，且，请在线段上找一点，使得和的面积相等，请在图中作出点．
22.本小题分
明朝数学家程大位在他的著作算法统宗中写了一首计算秋千绳索长度的词，翻译为：如图秋千细索悬挂于点，静止时竖直下垂，点为踏板位置，踏板离地高度为一尺尺将它往前推进两步于点，且尺，踏板升高到点位置，此时踏板离地五尺尺，求秋千绳索或的长度．
23.本小题分
如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于，．
求证：．
已知，，连结，求的面积．
24.本小题分
如图，点是中的平分线和边的垂直平分线的交点，于点，交的延长线于点．
求证：；
若，，求的长．
25.本小题分
定义：如果条线段将一个三角形分割成个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”如果条线段将一个三角形分成个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“三等腰线”如图，是的“双等腰线”，是的“三等腰线”．
请在图中，作出的“双等腰线”，并直接写出图中相等的线段．
， ，．

如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是______．
如图，已知中，，，点是的中点，过点作，交的延长线于点边上的一点恰好在的垂直平分线上，求证：线段是的“三等腰线”．
26.本小题分
如图，已知中，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到点，速度为，设运动时间为秒．

为何值时，平分？
求当为何值时，为等腰三角形？
若出发时，同时另有一点，从点开始，按顺时针方向运动一圈回到点，且速度为每秒当中有一点到达终点时，另一点也停止运动．是否存在某一时刻，直线将的周长分成相等的两部分？若存在，求的值，若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可，再根据定义逐一分析即可．
【详解】解：、有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；
、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；
、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义，结合图形找出对称轴是解题的关键．
2.【答案】
【解析】【分析】根据负数没有平方根可判断，根据平方根，算术平方根的含义可判断，，根据立方根的含义可判断，从而可得答案．
【详解】解：没有平方根，故 A不符合题意；
平方根等于它本身的数是，故B不符合题意；
的平方根是，故 C不符合题意；
立方根等于它本身的数是和，故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是平方根，算术平方根，立方根的含义，熟记定义是解题关键．
3.【答案】
【解析】【分析】先用四舍五入法精确到十万位，再按科学记数法的形式和要求改写即可．
【详解】解：
故选：
【点睛】本题考查了近似数和科学记数法的知识点，取近似数是本题的基础，熟知科学记数法的形式和要求是解题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以，求出，利用含度角直角三角形三边的关系求，然后计算即可．
【详解】解：由作法得垂直平分，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了作图基本作图：作已知线段的垂直平分线．也考查了线段垂直平分线的性质和含度角直角三角形的性质．
5.【答案】
【解析】【分析】分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断．
【详解】解：在选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
，
整理可得，故 A选项可以证明勾股定理，
在选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
，
整理得，故 B选项可以证明勾股定理，
在选项中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，
，
整理得，故 C选项可以证明勾股定理，
在选项中，大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和，
，
以上公式为完全平方公式，故D选项不能说明勾股定理，
故选：．
【点睛】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．
6.【答案】
【解析】【分析】题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．
【详解】解：设这个等腰三角形的腰长为，底边长为．
为的中点，
．
根据题意得或
解得或
又三边长为，，和，，均可以构成三角形．
这个等腰三角形的底边长为或．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质及相关计算．学生在解决本题时，有的同学会审题错误，以为，中包含着中线的长，从而无法解决问题，有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其中一种情况．注意：求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理．
7.【答案】
【解析】【分析】如图，由平行线的性质可求，进而可得，再由平行线的性质可求解．
【详解】解：如图，先标注字母，

，
，而，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了折叠的性质和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质、明确折叠前后相关角的数量关系是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】延长交的延长线于点设交于点通过证明，，得出，
则当时，的面积最大，即可求解．
【详解】解：延长交的延长线于点设交于点．

，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
当时，的面积最大，最大面积为．
故选：．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，等角的余角相等，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
9.【答案】
【解析】【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解，然后计算的值即可．
【详解】解：根据题意得，，
解得，
所以这个正数．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平方根的意义，解题关键是熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数．
10.【答案】
【解析】【分析】根据图形得到，结合正方形的对角线互相平分一组对角即可得到答案；
【详解】解：由图像可得，
在与中，
，
，
是正方形对角线，
，
，
故答案为：；
【点睛】本题主要考查正方形的对角线平分一组对角，解题的关键是根据格点图形得到．
11.【答案】
【解析】【分析】由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为．
【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为，
，即，
，
，
得，
大正方形的 面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
12.【答案】
【解析】【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据题意可知，即可求出点表示的数．
【详解】解：根据勾股定理可得：，
，
，
点表示的数是，
点表示的数是：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查勾股定理，以及数轴上的点与实数的一一对应的关系，解题的关键是勾股定理求出的长．
13.【答案】
【解析】【分析】结合图形，根据轴对称图形的概念解答即可．
【详解】根据轴对称图形的概念可知，一共有四种涂法，如下图所示：
故答案为．
【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
14.【答案】
【解析】【分析】设，则，依据勾股定理列方程，即可得到和的长；过作于，依据面积法即可得到的长，进而得出阴影部分的面积．
【详解】解：由长方形与折叠可得，，，，

设，则，
在中，，
，
解得，
，；
如图所示，过作于，
，，，且，
，
，
即阴影部分的面积为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题时常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
15.【答案】
【解析】【分析】过点作交延长线于，于，交延长线于，易证得，利用角平分线的判定定理与性质定理可证得平分，进而求得，再利用平角定义和三角形外角性质可求得，进而可求得的度数．
【详解】如图，过点作交延长线于，于，交延长线于，
，，
，
平分，又，，
，
平分，且，，
，又，，
平分
，
，
即
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同角的补角相等、角平分线的判定定理和性质定理、三角形的外角性质等知识，解答的关键是借助作垂线，利用角平分线的判定定理和性质定理解决问题．
16.【答案】
【解析】【分析】先证，推出，作点关于的对称点，连接交于点，连接，此时的值最小，最小值等于线段的长，根据勾股定理求解即可得出答案．
【详解】解：是等边三角形，，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
作点关于的对称点，连接交于点，连接，
此时的值最小，最小值等于线段的长，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
；
故的最小值为：；
故答案为：．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质与判定、轴对称最短问题、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关的性质与判定、作适当的辅助线是解答此题的关键．
17.【答案】【小问详解】
解：
；
【小问详解】
解：
．

【解析】【分析】先将乘方，二次根式，负整数幂化简，再进行计算即可；
先将乘方，绝对值，算术平方根化简，再进行计算即可．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序和运算法则．
18.【答案】【小问详解】
解：，
两边同时除以，得：，
两边同时开方得：；
【小问详解】
解：，
移项，得：，
两边同时除以，得：，
两边同时开立方，得：，
移项，得：．

【解析】【分析】先将方程两边同时除以，再开方即可；
先移项，再在方程两边同时除以，最后两边同时开立方，即可求解．
【点睛】本题主要考查了根据平方根和立方根解方程，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．
19.【答案】【详解】解：的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，
，，，
，，，
，
的平方根是．

【解析】【分析】根据立方根，算术平方根，平方根和无理数的估算进行求解即可．
【点睛】本题考查了立方根，算术平方根，平方根和无理数的估算，理解题意及正确地计算能力是解决问题的关键．
20.【答案】【小问详解】
解：如图，即为所求；
【小问详解】
如图，即为所求，

由网格图的性质可得：；
【小问详解】
如图，点即为所求；


【解析】【分析】分别确定，，关于直线对称的，，，再顺次连接即可；
连接交直线于点，则点即为所求，再根据小正方形的性质可得的大小；
连接，交直线于，则点即为所求．
【点睛】本题考查的是画轴对称，轴对称的性质，角平分线的性质，熟记轴对称的性质，角平分线的性质并应用于画图是解本题的关键．
21.【答案】【小问详解】
解：以点和点为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点和点，连接，交于点，点即为所求；
【小问详解】
解：延长相交于点，作的角平分线，交于点，点即为所求；
过点作于点，于点，
平分，，，
，
，
和的面积相等．
点即为所求．


【解析】【分析】作出 的 垂直平分线，交于点，点即为所求；
延长相交于点，作的角平分线，交于点，点即为所求．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图，角平分线的作图，正确理解线段垂直平分线的性质及角平分线的性质是解题的关键．
22.【答案】【详解】设尺，
四边形是矩形，
尺，
在中，，，，
，
．
的长度为尺．
【解析】【分析】设尺，在中利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【点睛】此题考查勾股定理，矩形的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
23.【答案】【详解】证明：连接，
是边上的中线
是的中点
又
即是 等腰三角形，
，
；
如图，过点作于点，
，
，
，
为等腰三角形，
又，
在中，

【解析】【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形三线合一的性质即可得证；
过点作于点，首先求出，再根据等腰三角形三线合一得，利用勾股定理求出即可求出的面积．
【点睛】本题考查直角三角形与等腰三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形三线合一的性质是解决本题的关键．
24.【答案】【详解】解：证明：如图，连接、，
是线段垂直平分线上的点，
，
是平分线上的点，，
，，
在与中，
≌，
；
在与中，
，，
≌，
，
，
，
．

【解析】【分析】根据题意连接、，根据线段垂直平分线的性质可得；依据角平分线的性质可得；依据定理可判断出≌，根据全等三角形的性质即可得出结论；
由题意可得≌，得出，进而得出答案．
【点睛】本题考查线段垂直平分线及角平分线的性质和直角三角形全等的判定定理及性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形．
25.【答案】【小问详解】
解：取中点，连接，即为所求；
，点为中点，
；

取中点，过点作的垂线，交于点，即为所求；
点为中点，，
，
，
，
，
，
，
综上：；

取中点，过点作的垂线，交于点，即为所求；
点为中点，，
，
，
，
，
，
，
，
综上：；
【小问详解】
解：当该等腰三角形为锐角三角形时，
如图：，为的“双等腰线”，
设，
为的“双等腰线”，
，
，，
，
在中，，
即，
解得：，
即该等腰三角形底角为；

当该等腰三角形为钝角三角形时，
如图：，为的“双等腰线”，
设，
为的“双等腰线”，
，
，，
，
在中，，
即，
解得：，
即该等腰三角形底角为；

当该等腰三角形为直角三角形时，
如图：，为的“双等腰线”，
设，
为的“双等腰线”，
，
，
在中，，
即，
解得：，
即该等腰三角形底角为；

故答案为：或或；
【小问详解】
解：，点是的中点，
，则是等腰三角形，
，
，
，，
，
，
，
点在的垂直平分线上，
，则为等腰三角形，
，
，则 为 等腰三角形，
线段是的“三等腰线”．

【解析】【分析】取中点，连接，即为所求；取中点，过点作的垂线，交于点，即为所求；取中点，过点作的垂线，交于点，即为所求；
根据题意，进行分类讨论：当该等腰三角形为锐角三角形时，当该等腰三角形为钝角三角形时，当该等腰三角形为直角三角形时，根据三角形的内角和为，构造方程求解即可；
分别求证是等腰三角形，为等腰三角形，为等腰三角形即可．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解三角形的“双等腰线”，“三等腰线”的定义，属于中考创新题型．
26.【答案】【小问详解】
解：过点作于点，
，
，
，
平分，，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理可得：，
即，解得：；
【小问详解】
解：当点在上时，，
，
；

当点在上时，
Ⅰ、当时，
，，
，
，
，
；

Ⅱ、当时，
过点作于点，
，
，即，
解得：，
根据勾股定理可得：，
，，
，
，
，
；

Ⅲ、当时，
过点作于点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；

综上：或或或；
【小问详解】
解：点运动到点需要时间，
点运动到点需要时间，
点运动到点需要时间，
点运动到点需要时间，
点运动到点需要时间，
当时，，
直线将的周长分成相等的两部分，
，即，
解得：；

当时，，
，，
直线将的周长分成相等的两部分，
，即，
解得：舍去，

当时，点和点都在上，不符合题意；

当时，，
，
，，
直线将的周长分成相等的两部分，
，即，
解得：；

综上：或．

【解析】【分析】过点作于点，根据勾股定理逆定理得出，根据角平分线的性质得出，通过证明，得出，根据，则，根据勾股定理列出方程求解即可；
根据题意进行分类讨论当点在上时；当点在上时：Ⅰ、当时；Ⅱ、当时，过点作于点；Ⅲ、当时，过点作于点；即可解答；
根据题意进行分类讨论当时，当时，当时，点和点都在上，不符合题意；当时，即可解答．
【点睛】本题主要考查了三角形综合，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的周长和几何动点问题，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定和性质，具有分类讨论的思想．