2023-2024学年江苏省苏州市常熟市重点中学八年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市常熟市重点中学八年级（上）10月月考数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列选项是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是( )
A. 打喷嚏捂鼻子B. 喷嚏后慎揉眼
C. 戴口罩讲卫生D. 勤洗手勤通风
2.据统计，年国家公务员考试最终过审人数达人，数据精确到万位，并用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
3.由下列条件不能判定为直角三角形的是
( )
A. B. ，，
C. D.
4.若表示数的整数部分，例如，则( )
A. B. C. D.
5.下列命题中正确的是( )
A. 数轴上的点与实数一一对应B. 无理数是带根号的数
C. 无限小数都是无理数D. 零是最小的实数
6.将一张长方形纸片折叠，如图所示，若，，则的长为
( )
A. B. C. D.
7.如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是
( )
A. B. C. D.
8.如图，在第个中，，，在边上任取一点，延长到，使，得到第个，在边上任取一点，延长到，使，得到第个，按此做法继续下去，则第个三角形中以为顶点的底角度数是
( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，为上一点，且，又的面积为，那么的长是
( )
A. B. C. D.
10.如图，点是内一点，，，点关于直线的对称点为点，关于直线的对称点为点，连接，分别交、于点、，连接、，下列结论：；时，的周长为；；，其中正确的是
( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共7小题，共21分）
11.的平方根为____．
12.在，，，，，，，等数中，无理数有_____个．
13.把按四舍五入法精确到的近似值是___．
14.若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为________．
15.如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为_____．
16.如图所示， ，为、的平分线的交点，于，且，，则与之间的距离等于____．
17.如图，已知中，，，平分，交于点，，，垂足分别为点、，若，则_____．
三、解答题（本大题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.本小题分
如图，，，，，则的面积为_____．
19.本小题分
计算：
；
．
20.本小题分
求下列式子的的值．
；
．
21.本小题分
方格纸中每个小方格都是边长为的正方形．
在图中确定格点，使为等腰三角形．如果有多个点，请分别以点，，编号
在图中，请用无刻度的直尺找出一个格点，使平分不写画法，保留画图痕迹
22.本小题分
中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”中，，若，，请你利用这个图形解决下列问题：
试说明；
如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，求的值．
23.本小题分
如图，在中，，边的垂直平分线交的外角的平分线于点，垂足为，于点，于点，连接．
求证：；
若，，求的长．
24.本小题分
如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，且．
求证：；
若，：：，求的长．
25.本小题分
如图，在中，，于点，交于点，且．
求证：平分；
如图，过作于点．
求证：；
若，，则线段的长为_______．
26.本小题分
如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的内好线，称这个三角形为内好三角形．
如图，是等腰锐角三角形，，的角平分线交于点，且是的一条内好线，则___________度；
如图，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点求证：是的一条内好线；
如图，已知是内好三角形，且，为钝角，则所有可能的的度数为___________直接写答案．
27.本小题分
已知：把和按如图摆放点与点重合，点、、在同一条直线上，，，，，，如图，从图的位置出发以的速度沿向匀速移动，在移动的同时，点从的顶点出发，以的速度沿向点匀速移动，当的顶点移动到边上时，停止移动，点也随之停止移动．与相交于点，连接，设移动时间为
解答下列问题：
用含的代数式表示线段______；
当为何值时，点在的平分线上？
当为何值时，点在线段的垂直平分线上？
连接，当时，求四边形的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【详解】解：、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2.【答案】
【解析】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，且比原数的整数位少一位；取精确度时，需要精确到哪位就数到哪位，然后根据四舍五入的原理进行取舍．
【详解】．
故选：．
【点睛】本题主要考查了科学记数法与有效数字，注意对一个数进行四舍五入时，若要求近似到个位以前的数位时，要对这个数用科学记数法表示．
3.【答案】
【解析】【分析】根据勾股定理逆定理以及三角形内角和定理逐一判断即可．
【详解】解：，，
，
为直角三角形，故A不符合题意；
，，，
，
是直角三角形，故B不符合题意；
，
即，
是直角三角形，故C不符合题意；
，
，
不是直角三角形，故D符合题意，
故选：．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】根据题意得出，进而利用表示出一个实数的整数部分，即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
故选A．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，正确得出无理数最接近的有理数是解题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】根据无理数和实数的定义逐个判断即可．
【详解】解：、数轴上的点与实数一一对应，故A选项正确，符合题意；
B、无理数是无限不循环小数，例如，故B选项错误，不符合题意；
C、无限循环小数是无限小数，也是有理数，故C选项错误，不符合题意；
D、没有最小的实数，故D选项错误，不符合题意，
故选：．
【点睛】本题考查了实数与无理数的定义及实数与数轴的关系，牢记无理数的定义是解题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】延长原长方形的边，然后根据两直线平行，内错角相等可得，根据翻折变换的性质可得，从而得到，再根据等角对等边可得，从而得解．
【详解】解：如图，延长原长方形的边，
长方形的对边平行，
，
由翻折变换的性质得，，
，
，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟记翻折变换的性质和平行线的性质是解题的关键，难点在于作出辅助线．
7.【答案】
【解析】【分析】过点作于，根据角平分线的性质可得，再根据即可求出的长．
【详解】
如图，过点作于，
平分，，
，
，
，
，
解得．
故选：
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，熟练掌握这一性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求得的度数，再由三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，，的度数，找出规律即可求解．
【详解】解：，，
；
，
；
同理得：，，，
一般地，第个等腰三角形的底角的度数是，
第个等腰三角形的底角度数是，
故选：．
【点睛】本题考查了图形和数式规律探究，等腰三角形的性质、三角形内角和以及三角形外角的性质等知识，找出规律是解题的关键．
9.【答案】
【解析】【分析】根据中，，可证是的高，然后利用三角形面积公式求出的长，再利用勾股定理即可求出的长．
【详解】在中，，
，即是的高，
的面积为，，
，
，
，
故选B．
【点睛】本题考查的是勾股定理，此题的突破点是利用三角形面积公式求出的长．
10.【答案】
【解析】【分析】根据轴对称的性质可得，由此可得，再根据等腰三角形的性质可得，当时，则，根据等边三角形的判定与性质可得，再根据垂直平分线的性质可得，由此可得的周长，根据三角形三边关系可得，最后根据四边形的内角和可得，进而可得，再根据等边对等角可得，由此可得．
【详解】解：点关于直线的对称点为点，关于直线的对称点为点，
、分别垂直平分，
，
，
，
，故正确；
当时，则，
又，
为等边三角形，
，
、分别垂直平分，点、分别在、上，
，
的周长，故正确；
，
，
，故正确；
如图，，
，
又，
，
在中，，
，
，
，故正确，
综上所述，正确的有，
故选：．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关图形的判定与性质是解决本题的关键．

11.【答案】
【解析】【分析】根据立方根的定义可知的立方根是，而的平方根是，由此就求出了这个数的平方根．
【详解】解：的立方等于，
的立方根等于．
的平方根是，
故答案为．
【点睛】本题考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，的立方根式．
12.【答案】
【解析】【分析】根据无理数的概念求解即可．
【详解】解：在所列实数中，无理数有，，，，这个数，
故答案为：
【点睛】此题要熟记无理数的概念及形式，初中范围内学习的无理数有：，等，开方开不尽的数，以及像有这样规律的数．
13.【答案】
【解析】【分析】根据题意“精确到”把千分位上的数字进行四舍五入即可．
【详解】解：把按四舍五入法精确到的近似值是．
故答案为．
【点睛】本题考查近似数和有效数字，明确精确位数，再根据精确位数的后一位四舍五入．
14.【答案】
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解．
【详解】解：由题意得：
，解得，
故答案为：．
【点睛】跟他考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
15.【答案】
【解析】【分析】过点作于点，由四边形是长方形和折叠知，再用平行线的性质和勾股定理即可求解．
【详解】解：过点作于点，
过点作于点，
四边形是长方形
四边形是长方形
设，
由折叠知，
，
在中，
，
解得，
，，
，
又，
，
，
的面积为；
故答案为：
【点睛】此题考查了折叠的性质、长方形的性质以及勾股定理，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用．
16.【答案】．
【解析】【分析】过点作于，交于，根据角平分线的性质和平行线的性质解答可得解．
【详解】如图，过点作于，交于，
，
，
是的平分线，，，，
，
是的平分线，，，
，
，
即与之间的距离是．
故答案为．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，平行线间的距离的定义，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
17.【答案】
【解析】【分析】过点作，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到答案．
【详解】解：过点作，如图，
平分，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
18.【答案】
【解析】【分析】过点作，交延长线于点，首先证明，由全等三角形的性质可得，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如下图，过点作，交延长线于点，

，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积公式等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
19.【答案】

【解析】【分析】根据算术平方根、零指数幂、负指数幂的性质计算即可；
根据负指数幂、立方根、绝对值的性质计算即可．
【详解】解：原式
解：原式
【点睛】本题考查了实数的运算，熟知运算法则是解题的关键．

20.【答案】
【解析】【分析】根据平方根的性质即可化简求解；
根据立方根的性质即可化简求解．
【详解】解：
．
【点睛】此题主要考查平方根、立方根的应用，解题的关键是熟知实数的性质化简各方程求解．
21.【答案】见解析
见解析

【解析】【分析】根据等腰三角形的定义作出图形即可．
取格点，连接，取的中点，连接，点即为所求．
【详解】解：如图，
，；，；，；，；
，，，即为所求．
解：如图，点即为所求．
是等边三角形，
是对边的中线，垂线，是的角平分线，
点即为所求．
【点睛】本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
22.【答案】证明见解析

【解析】【分析】根据大正方形面积小正方形面积四个直角三角形面积计算即可；
由图可得到和的值，代入，即可得到结论．
【详解】证明：大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为，
；
解：由图可知，，，
，
的值为．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的变形应用．解题的关键在于明确与面积的关系．
23.【答案】见解析；．
【解析】【分析】连接，根据垂直平分线和角平分线的性质可先证明≌，即可求证；
证明≌，再利用线段的和差即可求解．
【详解】证明：如图所示，连接，
是的外角平分线，，，
，
垂直平分，
，
在与中
≌ ，
．
解：，，，
在与中
≌，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、线段的垂直平分线定理和角平分线性质等知识点，添加适当的辅助线，利用中垂线的性质构造三角形全等是解题的关键．
24.【答案】见解析；
【解析】【分析】利用线段垂直平分线的性质可得，然后利用勾股定理逆定理可得结论；
首先确定的长，进而可得的长，再利用勾股定理进行计算即可．
【详解】证明：连接，
的垂直平分线分别交、于点、，
，
，
，
，
是直角三角形，且；
解：，：：，
，，
，
．
【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
25.【答案】见解析；见解析；．
【解析】【分析】首先根据等腰三角形的性质得到，然后根据等角的余角相等得到，即可证明平分；
过作于，首先根据角平分线的性质定理得到，然后根据同角的余角相等得到，利用证明≌，根据全等三角形的性质得到，即可证明；
首先根据勾股定理求出的长度，然后证明≌，根据全等三角形对应边相等得到，设，在中利用勾股定理列方程求出，即可得到的长度，最后在中利用勾股定理即可求出的长．
【详解】证明：如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
证明：如图，过作于，
平分，，
，
，，
，
，
，
在与中，
≌，
，
；
解：，，，
，，
≌，
，
，
≌，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，勾股定理的运用，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是根据题意正确作出辅助线以及熟练掌握以上各知识．
26.【答案】
证明过程见解析
或或或

【解析】【分析】由等腰三角形的性质得出，设，则，在中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可；
只要证明，是等腰三角形即可；
当是内好线时，分三种情形讨论，当是内好线时，，根据等腰三角形性质即可解决问题，当为内好线时，不合题意．
【详解】，
，
平分，
，
是的一条内好线，
和是等腰三角形，
，
，，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
，
故答案为：．
证明：是线段的垂直平分线，
，即是等腰三角形，
，
，
，
，即是等腰三角形，
是是一条内好线．
是内好线时，
如图当时，
则，
如图当，时，
则，
如图，当时，
则，
当时，为锐角，不合题，舍去，
为内好线时，
如图，当，时，
则，
综上或或或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定．灵活使用等腰三角形性质与三角形内角和定理与三角形外角定理是解题关键，根据等腰三角形顶角顶点分类讨论是难点．
27.【答案】

【解析】【分析】利用勾股定理求出的值，根据计算即可；
若点在的平分线上，作于点，由题意可知，则，证明，易得，，在中利用勾股定理列式求解，即可获得答案；
根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，分别表示出的值，列式计算即可获得答案；
连接，首先求得，由题意可知当时，，，，然后由，，计算即可．
【详解】解：在中，
，，，
，
由题意．
故答案为：；
如下图，若点在的平分线上，作于点，
根据题意可得，，则，
，，平分，
，，
又，
，
，
，
在中，则有，
即，
解得，
当为时，点在的平分线上；
如下图，
点在线段的垂直平分线上，
，
，，
，
，
，
由题意可知，，
，，
，
，
解得，
即当时，点在线段的垂直平分线上；
如下图，连接，
，，，
，
当时，，，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、角平分线的性质定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、三角形面积公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．