浙江省台州市八校联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

这是一份浙江省台州市八校联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸.等内容，欢迎下载使用。

考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4．考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 集合，，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】由交集的运算直接求解.
【详解】集合，，所以.
故选：A.
2. 已知，则（ ）
A. 3B. 2C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出，进而求出的值.
【详解】由函数解析式可得，所以.
故选：B.
3. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称命题的否定，可得答案.
【详解】由全称命题的否定知原命题的否定为：，．
故选：C.
4. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断.
【详解】对于A项，函数是奇函数，但是在和上单调递减，
在定义域上不具有单调性，错误；
对于B项，函数在R上单调递增，但是，而，
故不是奇函数，错误；
对于C项，设，因为，且定义域为R，
所以函数是偶函数，错误；
对于D项，函数图象如图：
故既是奇函数又是增函数，正确.
故选：D.
5. 已知，，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的单调性判断求解.
【详解】，，开口向上，对称轴为，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得最小值为，
结合对称性，当时，函数取得最大值为5，
所以的取值范围为.
故选：C.
6. 下列结论正确的是（ ）
A. 当且时，的最小值为2
B. 当时，的最小值为2
C. 当时，的最小值为2
D. 当时，的最小值为2
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式求解最值，逐项判断即可.
【详解】对于A，当时，，当且仅当即时，等号成立，
但是，所以，故A错误；
对于B，，当且仅当即时，等号成立，
但是，所以，故B错误；
对于C，当时，，从而的最小值为2错误，即C错误；
对于D，当时，，当且仅当即时，等号成立，
即的最小值为2，故D正确.
故选：D.
7. 不等式的解集为，则下列选项正确的为（ ）
A.
B.
C. 不等式的解集为
D. 不等式的解集为或
【答案】D
【解析】
分析】赋值法可解AB，消去参数可解CD.
【详解】记，因为
所以，故A错误；
因为
所以，故B错误；
由题知和2是方程的两个实根，
所以，且
解得
故或，C错误；
或，D正确；
故选：D.
8. 设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得.
【详解】因为函数的定义域为，满足，
且当时，，
当，时，，
则，
当，时，，
则，
当，时，，
则，
作出函数的大致图象，
对任意，都有，设的最大值为，
则，所以，解得或，
结合图象知m的最大值为，即的取值范围是.
故选：C.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．每小题各有四个选项，有多个选项正确，请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑）
9. 下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据常见集合的表示，以及集合与元素之间的关系注意判断即可.
【详解】对于A，因为不是自然数，所以A错误；对于B，因为0不是正整数，所以B正确；
对于C，因为不是有理数，所以C正确；对于D，因为不是有理数，所以D正确.
故选：BCD.
10. 已知， ，，则下列不等式一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】先根据已知条件判断出；再利用不等式的性质进行判断即可得出答案.
【详解】， ，
.
对于选项A，因为，，由不等式性质得，故选项A正确；
对于选项B，因为，所以.又因为，由不等式性质得，故选项B错误；
对于选项C，因为，由不等式性质得，故选项C正确；
对于选项D，因为，所以.又因为，由不等式性质得，故选项D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数在上单调递减，且为奇函数，，则满足的值可能为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】ABC
【解析】
【分析】把转化为，利用函数的单调性结合二次不等式求解即可.
【详解】等价于，
因为函数在上单调递减，且为奇函数，，所以，
所以，又，所以，解得，
结合选项知：，符合题意，，不符合题意.
故选：ABC
12. 已知函数满足对任意，都有成立，则实数的值可能为（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】AB
【解析】
【分析】由题意可知函数在定义域上单调递减，由分段函数的单调性可运算求得答案.
【详解】由对任意，，可得函数在定义域上单调递减，
则，即，
.
故选：AB.
非选择题部分
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数的定义域为______．
【答案】##
【解析】
【分析】据二次根式和分式的意义可得.
【详解】由知，得，故定义域为
故答案为：
14. 已知，则“”是“函数为偶函数”的______条件.（填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”或“既不充分也不必要”）
【答案】充要
【解析】
【分析】根据二次函数的对称性结合充分条件、必要条件概念判断即可.
【详解】因为函数为偶函数，所以函数图象关于y轴对称，
所以，所以，
所以“”是“函数为偶函数”的充要条件.
故答案为：充要
15. 已知当时，关于的不等式有解，则的最大值为______.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】分离参数，转化为求解函数的最值问题，利用基本不等式求解即可.
【详解】关于的不等式在有解，即在有解，
也即在有解，记，，则，
因为，所以，当且仅当即时等号成立，
所以，即的最大值为.
故答案为：
16. 用表示，两个数中的最大值，设函数，若恒成立，则的最大值是______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据定义，得到分段函数，再求的最小值即可求解.
【详解】因，由，得或，
则，
当时，当时，单调递减，则，
综上，时，，
则恒成立，即，解得，
则的最大值是3.
故答案为：3
四、解答题（共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知集合，.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出集合B的补集，然后利用交集运算求解即可；
（2）由得，列不等式组求解即可.
【小问1详解】
当时，，所以或，
又，所以.
【小问2详解】
因为，所以，
又，，
则，解得，
所以实数m的取值范围为.
18. （1）已知，，比较，的大小并说明原因；
（2）已知，，且，求的最小值．
【答案】（1），理由见解析；（2）3
【解析】
【分析】（1）作差法比较大小即可求解.
（2）将中的1替换为，结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题可知
∵，∴．
（2）由题可知
当且仅当，即时，等号成立，
∴当时，的最小值为3
19. 已知二次函数对应方程的解分别为1和3，且．
（1）求函数的解析式；
（2）解关于的不等式．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）二次函数可设为两根式或一般式，代入即可求解.
（2）整理为，求出两根，根据两根大小关系结合图像即可求解.
【小问1详解】
法一：由已知可设，
又∵， ，
， ，
法二：设，
由题，可知，解的，
，∴；
小问2详解】
由（1）知，∴，
所以，，
当，即，无解，
当，即，则，
当，即，则，
综上，当，无解，当，，当，.
20. 下表为某市居民用水阶梯水价表（单位：元/立方米）．
（1）试写出用户所交水费为（元）与用水量为（立方米）的函数关系式；
（2）若某户居民一年交水费1110元，求其中水资源费和污水处理费分别为多少？
【答案】（1）
（2）水资源费为315元，污水处理费为294元．
【解析】
【分析】（1）根据水价表可写出函数解析式；
（2）由水费计算了用水量，再得水资源费和污水处理费．
【小问1详解】
当时，，
当时，，
当时，，
综上：.
【小问2详解】
当，，当，，
所以当居民水费为1110时，用水量满足，解得：，
由，，
所以：该居民水资源费为315元，污水处理费为294元．
21. 已知函数是定义在上的奇函数．
（1）求实数和的值；
（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；
（3），求的取值范围．
【答案】（1）
（2）函数在上单调递减，证明见解析
（3）．
【解析】
【分析】（1）定义域关于原点对称即可求解；
（2）应用定义法证明单调性；
（3）应用奇函数不等式转化为，结合单调性即可求解.
【小问1详解】
由题已知，解得；
则，经验证满足，
则
【小问2详解】
由（1）知，定义域为，
函数在上单调递减，理由如下：
，且，，
则
∵，∴，，，，
∴，即，∴函数在上单调递减．
【小问3详解】
∵为奇函数，，
∴，
又由（2）知在上单调递减，
∴，解得．
22. 已知函数，，
（1）当时，解不等式；
（2）若任意，都有成立，求实数的取值范围；
（3）若，，使得不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）作差后解一元二次不等式即可.
（2）解法一：构造函数，分类讨论求解二次函数最小值，然后列不等式求解即可；
解法二：分离参数，构造函数，利用基本不等式求解最值即可求解；
（3）把问题转化为，利用动轴定区间分类讨论即可求解.
【小问1详解】
当时，，
所以，所以，所以的解集为.
【小问2详解】
若对任意，都有成立，即在恒成立，
解法一：设，，对称轴，由题意，只须，
①当，即时，在上单调递增，所以，符合题意，所以；
②当，即时，在上单调递城，在单调递增，
所以，解得且，
所以.
综上，.
解法二：不等式可化为，即，设，，
由题意，只须，，
当且仅当即时等号成立，则，
所以，即.
【小问3详解】
若对任意，存在，使得不等式成立，
即只需满足，，
，对称轴，在递减，在递增，
，，，对称轴，
①即时，在递增，恒成立；
②即时，在递减，在递增，
，，所以，故；
③即时，在递减，，，
所以，解得，综上：.
【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立（有解）问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数单调性、基本不等式求解最值是解决问题的关键.
阶梯
户年用水量（立方米）
水价
其中
自来水费
水资源费
污水处理费
第一阶梯
0～180（含）
5.00
2.1
1.5
1.4
第二阶梯
180～260（含）
7.00
4.1
第三阶梯
260以上
9.00
6.1