浙江省浙北G2联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

这是一份浙江省浙北G2联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了全卷分试卷和答卷， 若直线与圆C等内容，欢迎下载使用。

命题：湖州中学 审题：嘉兴一中
考生须知：
1.全卷分试卷和答卷.试卷4页，答卷4页，共8页.满分150分，考试时间120分钟.
2.本卷的答案必须做在答卷的相应位置上，做在试卷上无效.
3.请用钢笔或水笔将班级､姓名､试场号､座位号分别填写在答卷的相应位置上.
4.本试题卷分选择题和非选择题两部分.
试卷
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系即可得出．
【详解】解:设直线的倾斜角为，
将直线的方程变为，
所以直线的斜率，
即，
又因为，
所以．
故选：D．
2. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点Q的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由点关于平面对称点的横，纵，竖坐标的关系求解即可.
【详解】点关于平面对称点，横坐标，竖坐标不变，纵坐标变为原来的相反数
则对称点
故选：D
【点睛】本题主要考查了求关于坐标平面对称点的坐标，属于基础题.
3. 下列方程是圆的切线方程的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：已知圆的圆心为，半径为1，圆心只有到直线的距离为1，即此直线与圆相切．故选C．
考点：直线与圆的位置关系．
4. 已知的内角的对边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由正弦定理角化边，再利用余弦定理可得答案.
【详解】因为，
所以，由正弦定理得，
即，
由余弦定理得．
因为，
所以．
故选：B.
5. 平行六面体中，，，，，则线段的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据，根据向量数量积定义和运算律可求得，由此可得结果.
【详解】
，
，
，即线段的长度为.
故选：D.
6. 已知分别是椭圆的左､右两个焦点，若该椭圆上存在点满足，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，分别是椭圆：的左、右两个焦点，求得m的范围，当点位于短轴端点时，取最大值，要使上存在点满足，则的最大值大于或等于，从而可得答案.
【详解】解：由，分别是椭圆：的左、右两个焦点，
则，当点位于短轴端点时，取最大值，
要使上存在点满足，则的最大值大于或等于，
即点位于短轴端点时，大于或等于，
则，解得．
故选：A.
7. 如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，.若E是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】以为基底表示出，利用向量夹角公式计算出异面直线与所成角的余弦值.
【详解】设，则构成空间的一个基底，
，
，
.
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A
【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的求法，属于中档题.
8. 已知为双曲线的右焦点，过点的直线分别交两条渐近线于两点.若，且，则该双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股关系确定进而可得，结合与渐近线的倾斜角的倍角关系求解.
【详解】
不妨设的倾斜角为锐角，
因为，所以，所以渐近线的倾斜角取值范围为，
所以
,
所以，
所以，
又因为，所以，
在直角三角形中，,
设直线的斜率为，
所以，所以，解得或（舍），
所以，所以该双曲线的离心率为，
故选：A.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 若直线与圆C：相交于A，B两点，则的长度可能等于（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】CD
【解析】
【分析】首先找到直线所过定点，根据直线所截圆的弦长公式求出弦长的取值范围，进而求出的长度可能的取值.
【详解】已知直线恒过点，圆的圆心坐标为，半径.
当直线经过圆心时，所得弦长最大，；
当直线与所在直线垂直时，所得弦长最小，，
因此可得：，故的长度可能等于4或5.
故选：CD
10. 若是空间的一个基底，则下列向量组可以作为空间的基底的是（ ）
A. 、、B. 、、
C. 、、D. 、、
【答案】BC
【解析】
【分析】利用空间向量基底的概念判断可得出结论.
【详解】因为是空间的一个基底，
对于A选项，，则、、共面，A不满足；
对于B选项，假设、、共面，则存在、，
使得，
所以，、、共面，矛盾，假设不成立，
所以，、、可以构成空间中的一组基底，B满足；
对于C选项，假设、、共面，
则存、，使得，
因为是空间的一个基底，则，该方程组无解，
所以，假设不成立，故、、可以构成空间中的一组基底，C满足；
对于D选项，因为，则、、共面，D不满足.
故选：BC.
11. 已知为椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，则（ ）
A. 的最小值为
B. 周长的最小值为16
C. 的最大值为9
D. 直线与的斜率之积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据椭圆的标准方程及椭圆的定义和椭圆的几何性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由椭圆的方程，可得，则，
对于A中，因为经过椭圆的交点，由椭圆的性质，可得通径最短，
其中通径长为，所以的最小值为，所以A正确；
对于B中，根据椭圆的对称性，可得，
由椭圆的定义可得，
又由过原点的直线交得椭圆的弦长中，短轴长最短，其中短轴长为，
所以周长的最小值为，所以B正确；
设椭圆的长轴的两个端点分别为，由椭圆
根据椭圆的性质，可得，此时直线的斜率为，
因为直线斜率不为，所以，所以C不正确；
设，则，
则在的斜率都存时，可得，
则，所以D正确.
故选：ABD.

12. 如图，直三棱柱中，，，．点P在线段上（不含端点），则（ ）
A. 存点P，使得
B. 的最小值为有
C. 面积的最小值为
D. 三棱锥与三棱锥的体积之和为定值
【答案】ACD
【解析】
【分析】以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
写出各点坐标，其中点坐标，可设（），即可得出.
对于A选项，要使，即，得到关于的方程，解方程即可；
对于B选项，将和沿展开，连接，的最小值即的长度，利用锐角三角函数和两角和的余弦公式求出，再由余弦定理即可得到；
对于C选项，设（），利用向量的夹角公式求得，由同角三角函数的平方关系得到，代入三角形面积公式：，结合二次函数的性质讨论最值即可；
对于D选项，利用等体积法得，即可求解.
【详解】由题意得，，即，
又在直三棱柱中，底面，平面，平面，
，，则以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系.
因为，，所以，，，，，，，则，，
设（），则，解得，，，
所以，
对于A选项，，，
要使，即，解得，
当，即在中点时，，故A选项正确；
对于B选项，如图所示，将和沿展开，如图所示，
连接交于点，可知，当点与点重合时取得最小值，
由题意得，，，，，，
所以，，，，
则，
在中，由余弦定理得，
，则，
所以的最小值为，故B选项错误；
对于C选项，，，设（），
则，即，
所以，
则，
因为，所以当时，取得最小值，故C选项正确；
对于D选项，
，故D选项正确，
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题考查了立体几何中的动点的相关线段的位置关系、线段长度、面积和体积的最值问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理及转化思想的应用.
解答本题关键在于建立空间直角坐标系，利用空间向量法解决空间的中的相关问题，同时对于转化思想的应用，利用两点之间线段最短求距离的最值，本题中B选项， 将和沿展开，利用两点之间的线段最短，，求解即可.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 双曲线的渐近线方程是__________．
【答案】
【解析】
【详解】根据双曲线的渐近线公式得到
故答案为.
14. 若直线与直线平行，则与间的距离是__________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用两直线平行求出实数的值，再利用平行线间的距离公式可求得与间的距离.
【详解】因为直线与直线平行，则，解得，
所以，直线的方程可化为，直线的方程可化为，
因此，与间的距离是.
故答案为：.
15. 如图，正四棱柱中，设，点在线段上，且，则直线与平面所成角的正弦值是__________.
【答案】##
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出线面角的正弦值.
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，
则，
令，则，故，
设直线与平面所成角大小为，
则，
故答案为：
16. 若对任意，直线与圆：均无公共点，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得出圆心到直线的距离，化简为，解不等式即可得出答案.
【详解】圆：的圆心，，
由题意，圆心到直线的距离，
所以，或，
即或对任意恒成立，
即对任意恒成立，所以，
所以，解得：．
故答案为：.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17 已知直线过点.
（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；
（2）若直线分别与轴的正半轴，轴的正半轴交于、两点，为原点.若的面积为，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）与直线垂直的直线的方程可设为，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可得出直线的方程；
（2）设直线的方程为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出直线的方程.
【小问1详解】
解：与直线垂直的直线的方程可设为，
将点的坐标代入直线的方程得，解得，
所以直线的方程为.
【小问2详解】
解：设直线的方程为，
由题意可的，解的，
所以直线的方程为，即.
18. 在平面直角坐标系中，圆过点，且圆心在上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若点为圆上任意一点，且点的坐标为，求线段的中点的轨迹方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设圆心坐标，由，可构造方程求得圆心坐标和半径，由此可得圆的方程；
（2）设，，结合中点坐标公式，利用点坐标表示出点坐标，代入圆方程即可得到所求轨迹方程.
【小问1详解】
因为在上，所以设圆心，
又因为圆过点，
所以，
得：，则半径，
所以圆的标准方程为.
【小问2详解】
设中点，因为线段的中点，点的坐标为，
则，因为点为圆上任意一点，
所以代入，化简得：.
所以线段的中点的轨迹方程为：.
19. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期及其所有的对称轴；
（2）求函数在区间上的最小值.
【答案】（1），（）
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用降幂公式及辅助角公式变形，进一步计算即可；
（2）结合函数解析式，求出变量范围，找到最小值点，进行计算即可.
【小问1详解】
由题意得
所以.
又得，，
故所有的对称轴为（）.
【小问2详解】
由，得，
所以当即时，.
20. 已知双曲线的右焦点，离心率为.
（1）求双曲线的方程；
（2）过点直线与双曲线交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.
【答案】20. ；
21. 证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据焦点坐标，离心率列出方程组，求出，即可写出双曲线方程.
（2）先根据题意可判断直线AB的斜率存在且不为0,结合过点设出直线方程；再与双曲线方程联立得到两根之和、两根之积；最后表示出，结合韦达定理化简即可证明结果.
【小问1详解】
由题意得，解得，所以双曲线的方程为.
【小问2详解】
由题意得直线AB的斜率存在且不为0.设直线方程为，，.
联立，消去得，
所以.
，
又，
.
21. 如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，且，，，，，是正三角形.
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
分析】（1）取中点，连接，，，利用线线垂直证明线面垂直；
（2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用坐标法求面面夹角.
【小问1详解】
取的中点，连接，，，
是正三角形，，
在直角梯形中，，，
，
是正三角形，
，
又，
平面，而平面，
；
【小问2详解】
以为原点，，所在直线为轴，轴建立如图所示空间直角坐标系.
则，，，，
设
由题意可得，，故，解得，
所以，
则，，
设平面的法向量，则，
令，则，
，，
平面的法向量，则，
令，则，
，
平面与平面所成角的余弦值为.
22. 已知椭圆的长轴长为，过坐标原点的直线交椭圆于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交椭圆于点
（1）求椭圆的标准方程；
（2）证明：是直角三角形；
（3）求面积的最大值.
【答案】22. ；
23. 证明见解析； 24.
【解析】
【分析】（1）根据长轴长求出a，结合求出b，即可求得椭圆的标准方程；
（2）分别求出，并得到，进而得到即可得证；
（3）分别求出，写出面积后利用均值不等式求解.
【小问1详解】
，
设椭圆的标准方程为，，
则
，则，
所以椭圆的标准方程为：
【小问2详解】
设，所以，，
，所以，所以是直角三角形
【小问3详解】
直线，代入，
得：，所以
又，所以，
则
因为在上，所以
又，故
令，所以，当且仅当时取等.
所以面积的最大值为.