初中数学24.2直角三角形的性质一课一练
展开一、单选题
1.直角三角形的两条直角边分别为6和8,则该直角三角形斜边上的中线长为( )
A.5B.4C.3D.6
2.如图,中,,分别是,的中点,点在上,且,若,,则的长为( )
A.3B.4C.5D.6
3.如图,等边三角形中,D、E分别为、边上的点,,与交于点F,于点G,则的值为( )
A.1B.C.D.2
4.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O,E是边AD的中点,过点E作EF⊥BD,EG⊥AC,点F,G为垂足,若AC=10,BD=24,则FG的长为( )
A.B.8C.D.
5.如图所示,DE为△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB=90°,若AB=6,BC=8,则EF的长为( )
A.1B.2C.1.5D.2.5
6.已知直角三角形角所对的直角边长为4,则斜边的长为( )
A.4B.6C.8D.12
7.如图,将含有角的直角三角板按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中,在x轴上,若,将三角板绕原点O逆时针旋转,每秒旋转,则第2023秒时,点B的对应点的坐标为( )
A.B.C.D.
8.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线,,的长是,则乘电梯从点到点上升的高度是( )
A.B.C.D.
9.如图,是菱形边上的高,将绕着点顺时针旋转120°到的位置,若五边形面积为,则的长度为( )
A.5B.C.10D.
10.如图,,,点,在线段上,且满足,点在射线上,且,则满足上述条件的点有( )
A.1个B.2个C.3个D.3个以上
二、填空题
11.如图,在中,,,,点P是边上的一个动点,点D在边AC上,且,则的最小值为 .
12.如图,在中,,,垂足为,平分交于点,过点作,垂足为,过点作,交于点,若,则 .
13.如图,△ABC中,∠B=45°,∠C=75°,AB=4,D为BC上一动点,过D作DE⊥AC于点E,作DF⊥AB于点F,连接EF,则EF的最小值为 .
14.已知一个直角三角形的两条直角边分别为5、12,那么这个直角三角形斜边上的中线长为 .
15.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB于E,交AC于F,过点O作OD⊥AC于D.下列三个结论:
①∠BOC=90°+∠A;
②设OD=m,AE+AF=n,则;
③EF不能成为△ABC的中位线.
其中正确的结论是 .
16.如图,是等边三角形,若,则 cm
17.如图,,P为内一点,平分,垂直平分,交于F、G,Q为射线上一动点,连接,若的最小值为3,则的长为 .
18.由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图2,衣架杆,若衣架收拢时,,如图1,若衣架打开时,,则此时,两点之间的距离扩大了 .
19.如图,已知,B为上一点,于A,四边形为正方形,P为射线上一动点,连接,将绕点C顺时针方向旋转得,连接,若,则的最小值为 .
20.如图所示,底边BC为2,顶角A为120°的等腰△ABC中,DE垂直平分AB于D,则△ACE的周长为 .
三、解答题
21.小明在学习矩形这一节时知道“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,由此引发的思考,这个定理的逆命题成立吗?猜想:“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形为直角三角形”.通过探究,小明发现这个猜想也成立,以下是小明的证明过程:
(1)请根据小明的思路完成下列填空
已知:如图1,在中,点是的中点,连接,且.
求证:为直角三角形.
证明:由条件可知,,
则______,.
又∵______,
∴_____.
则为直角三角形.
(2)爱动脑筋的小明又想出了两种不同的证明思路:
证法一:如图2,延长至点,使,连接、.
证法二:如图3,分别取、边的中点、,连接、、,则、、为的中位线.
请你选择其中一种,把证明过程补充完整.
22.如图,菱形ABCD中,E,F分别为AD,AB上的点,且AE=AF,连接EF并延长,交CB的延长线于点G,连接BD.
(1)求证:四边形EGBD是平行四边形;
(2)连接AG,若∠FGB=30°,GB=AE=1,求AG的长.
23.如图,已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE.连接BD交AE于M,连接CE交AB于N,BD与CE交点为F,连接AF.
(1)如图1,求证:BD⊥CE;
(2)如图1,求证:FA是∠CFD的平分线;
(3)如图2,当AC=2,∠BCE=15°时,求CF的长.
24.如图,四边形是平行四边形,,以为边向下作等边,F是上一点,,连接,作且与交于点G,连接.
(1)求证:;
(2)若,试判断,的数量关系,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,若,求平行四边形的面积
25.如图,在中,,,,将绕点B顺时针旋转60°得到,连接,.求证:.
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