河南省濮阳市范县2023届九年级上学期期中阶段性评价数学试卷(含解析)

这是一份河南省濮阳市范县2023届九年级上学期期中阶段性评价数学试卷(含解析)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知函数是二次函数，则m等于（ ）
A．±2B．2C．﹣2D．
3．下列抛物线中，过原点的抛物线是（ ）
A．y＝x2﹣1B．y＝（x+1）2C．y＝x2+xD．y＝x2﹣x﹣1
4．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A'B'C，连接AA'，若∠1＝25°．则∠BAA'的度数是（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
5．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝a（x+1）2+k（a＞0）上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
6．若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第（ ）象限．
A．四B．三C．二D．一
7．某梨园2020年产量为1000吨，预计2022年产量为1440吨，求该梨园梨产量的年平均增长率，设该梨园梨产量的年平均增长量为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．1440（1﹣x）2＝1000B．1440（1+x）2＝1000
C．1000（1﹣x）2＝1440D．1000（1+x）2＝1440
8．已知二次函数y＝x2+x+c的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的方程x2+x+c＝0的两实数根分别是（ ）
A．1和﹣1B．1和﹣2C．1和2D．1和3
9．若函数y＝x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（ ）
A．b＜1B．b＞1C．0＜b＜1D．b＜1且b≠0
10．如图，抛物线y1＝（x+1）2+1与y2＝a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：
①a＝；②AC＝AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y1＞y2
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．写出一个二次项系数为1，且一个根是3的一元二次方程 ．
12．菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣14x+48＝0的两实根，则菱形的面积为 ．
13．已知抛物线y＝a（x+1）2+k（a＞0）经过点（﹣4，y1），（1，y2），则y1 y2（填“＞”，“＝”，或“＜”）．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣6x+17上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为 ．
15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO＝45°，则∠B的度数为 ．
三、解答题（8题，共75分）
16．解方程
（1）x2+4x﹣5＝0
（2）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）
17．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2．
18．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
19．已知抛物线的顶点为（1，4），与y轴交点为（0，3）
（1）求该抛物线的解析式，并画出抛物线的草图（无需列表，要求标出抛物线与坐标轴的交点坐标）．
（2）观察图象，写出当y＜0时，自变量x的取值范围．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16，求线段OE的长．
21．已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．
（1）如图①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是（至少说出两种）： 或者 ．
（2）如图②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．
22．某花木公司在20天内销售一批鲜花．其中，该公司的鲜花批发部日销售量y1（万朵）与时间x（x为整数，单位：天）部分对应值如表所示．
另一部分鲜花在淘宝网销售，网上销售日销售量y2（万朵）与时间x（x为整数，单位：天）关系如图所示．
（1）请你从所学过的一次函数、二次函数中确定哪种函数能表示y1与x的变化规律，写出y1与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）观察鲜花网上销售量y2与时间x的变化规律，写出销售量y2与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（3）设该花木公司日销售总量为y万朵，写出y与时间x的函数关系式，并判断第几天日销售总量y最大，并求出此时最大值．
23．阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB＝2，AC＝4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．
小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．
（1）请你回答：AP的最大值是 ．
（2）参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，等腰Rt△ABC．边AB＝4，P为△ABC内部一点，请写出求AP+BP+CP的最小值长的解题思路．
提示：要解决AP+BP+CP的最小值问题，可仿照题目给出的做法．把△ABP绕B点逆时针旋转60，得到△A′BP′．
①请画出旋转后的图形
②请写出求AP+BP+CP的最小值的解题思路（结果可以不化简）．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．
解：A、不是中心对称图形，本选项错误；
B、不是中心对称图形，本选项错误；
C、不是中心对称图形，本选项错误；
D、是中心对称图形，本选项正确．
故选：D．
2．
解：∵函数是二次函数，
∴m2﹣2＝2，且m+2≠0，
∴m＝2，
故选：B．
3．
解：A、y＝x2﹣1中，当x＝0时，y＝﹣1，不过原点；
B、y＝（x+1）2中，当x＝0时，y＝1，不过原点；
C、y＝x2+x中，当x＝0时，y＝0，过原点；
D、y＝x2﹣x﹣1中，当x＝0时，y＝﹣1，不过原点；
故选：C．
4．
解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，
∴AC＝A′C，
∴△ACA′是等腰直角三角形，
∴∠CA′A＝∠A′AC＝45°，
∴∠CA′B′＝∠CA′A﹣∠1，
＝45°﹣25°
＝20°＝∠BAC，
∴∠BAA′＝∠BAC+∠A′AC
＝20°+45°
＝65°，
故选：C．
5．
解：∵抛物线抛物线y＝a2（x+1）2+k（a＞0）的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
而A（﹣2，y1）离直线x＝﹣1的距离最近，C（2，y3）点离直线x＝﹣1最远，
∴y1＜y2＜y3．
故选：C．
6．
解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，
∴Δ＜0，
∴Δ＝4﹣4（﹣m）＝4+4m＜0，
∴m＜﹣1，
∴m+1＜1﹣1，即m+1＜0，
m﹣1＜﹣1﹣1，即m﹣1＜﹣2，
∴一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第一象限，
故选：D．
7．
解：设该梨园梨产量的年平均增长量为x，
根据题意得：1000（1+x）2＝1440．
故选：D．
8．
解：y＝x2+x+c，
﹣＝﹣，
即二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣，
设二次函数y＝x2+x+c的图象与x轴的另一个交点的横坐标是a，
∵二次函数y＝x2+x+c的图象与x轴的一个交点为（1，0），
∴1﹣（﹣）＝﹣﹣a，
解得：a＝﹣2，
∴关于x的方程x2+x+c＝0的两实数根分别是1和﹣2，
故选：B．
9．
解：∵函数y＝x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，
∴抛物线与x轴有两个交点，与y轴有一个交点，且与x轴、y轴的交点不能为（0，0），
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，且b≠0，
即（﹣2）2﹣4b＞0且b≠0，
解得：b＜1且b≠0，
故选：D．
10．
解：∵抛物线y1＝（x+1）2+1与y2＝a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），
∴3＝a（1﹣4）2﹣3，
解得：a＝，故①正确；
过点E作EF⊥AC于点F，
∵E是抛物线的顶点，
∴AE＝EC，E（4，﹣3），
∴AF＝3，EF＝6，
∴AE＝＝3，AC＝2AF＝6，
∴AC≠AE，故②错误；
当y＝3时，3＝（x+1）2+1，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
故B（﹣3，3），D（﹣1，1），
则AB＝4，AD＝BD＝2，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴③△ABD是等腰直角三角形，正确；
∵（x+1）2+1＝（x﹣4）2﹣3时，
解得：x1＝1，x2＝37，
∴当37＞x＞1时，y1＞y2，故④错误．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．
解：根据题意，设该一元二次方程为：（x+b）（x+a）＝0；
∵该方程的一个根是3，
∴该一元二次方程可以是：x（x﹣3）＝0．
即x2﹣3x＝0
故答案是：x2﹣3x＝0．
12．
解：x2﹣14x+48＝0
x＝6或x＝8．
所以菱形的面积为：（6×8）÷2＝24．
菱形的面积为：24．
故答案为：24．
13．
解：抛物线y＝a（x+1）2+k（a＞0，a，k为常数）的对称轴为直线x＝﹣1，
所以点（﹣4，y1），（1，y2），到直线x＝﹣1的距离分别为5和2，
所以y1＞y2．
故答案为：＞．
14．
解：∵y＝x2﹣6x+17＝（x﹣3）2+8，
∴抛物线的顶点坐标为（3，8）．
∴AC的最小值为8．
∴BD的最小值为8．
故答案为：8．
15．
解：连接OA，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC＝45°，
∴∠AOC＝180°﹣∠ACO﹣∠OAC＝90°，
∴∠B＝∠AOC＝45°，
故答案为：45°．
三、解答题（8题，共75分）
16．
解：（1）因式分解得（x+5）（x﹣1）＝0，
∴x+5＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣5，x2＝1；
（2）3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x﹣2）＝0，
∴x﹣2＝0或3x﹣2＝0，
∴x1＝2，x2＝．
17．
解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，A1（﹣2，﹣4）、B1（﹣1，﹣1）、C1（﹣4，﹣3）；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求
18．
【解答】（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0，
则k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：∵Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，
∴a2＝b2+c2，
则9＝（b+c）2﹣2bc，
9＝（k+2）2﹣2×2k，
解得：k＝，
由b+c＝2+k＝2+（不可能取负数），
故△ABC的周长C＝5+．
19．
解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
将点（0，3）代入，得a+4＝3．
解得a＝﹣1，
抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，其函数图象如下：
（2）由函数图象知，y＜0时x的范围即为抛物线位于x轴下方部分对应的x的范围，
∴x＜﹣1或x＞3．
20．
解：连接OD，如图所示：
∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，
∴E为CD的中点，又CD＝16，
∴CE＝DE＝CD＝8，又OD＝AB＝10，
∵CD⊥AB，∴∠OED＝90°，
在Rt△ODE中，DE＝8，OD＝10，
根据勾股定理得：OE2+DE2＝OD2，
∴OE＝＝6，
则OE的长度为6．
21．
解：（1）①∠BAE＝90°，②∠EAC＝∠ABC，
理由是：①∵∠BAE＝90°，
∴AE⊥AB，
∵AB是直径，
∴EF是⊙O的切线；
②∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∵∠EAC＝∠ABC，
∴∠BAE＝∠BAC+∠EAC＝∠BAC+∠ABC＝90°，
即AE⊥AB，
∵AB是直径，
∴EF是⊙O的切线；

（2）EF是⊙O的切线．
证明：作直径AM，连接CM，
则∠ACM＝90°，∠M＝∠B，
∴∠M+∠CAM＝∠B+∠CAM＝90°，
∵∠CAE＝∠B，
∴∠CAM+∠CAE＝90°，
∴AE⊥AM，
∵AM为直径，
∴EF是⊙O的切线．
22．
解：（1）由图表数据观察可知y1与x之间是二次函数关系，
设y1＝ax2+bx+c（a≠0），
则，
解得，
故y1与x函数关系式为y1＝﹣x2+5x（0≤x≤20）；
（2）销售8天后，该花木公司采用了降价促销（或广告宣传）的方法吸引了淘宝买家的注意力，日销量逐渐增加；
当0≤x≤8，设y＝kx，
∵函数图象经过点（8，4），
∴8k＝4，
解得k＝，
所以，y＝x，
当8＜x≤20时，设y＝mx+n，
∵函数图象经过点（8，4）、（20，16），
∴，
解得，
所以，y＝x﹣4，
综上，y2＝；
（3）当0≤x≤8时，
y＝y1+y2
＝x﹣x2+5x
＝﹣（x2﹣22x+121）+
＝﹣（x﹣11）2+，
∵抛物线开口向下，x的取值范围在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
∴当x＝8时，y有最大值，y最大＝﹣（8﹣11）2+＝28；
当8＜x≤20时，y＝y1+y2＝x﹣4﹣x2+5x，
＝﹣（x2﹣24x+144）+32，
＝﹣（x﹣12）2+32，
∵抛物线开口向下，顶点在x的取值范围内，
∴当x＝12时，y有最大值为32，
∴该花木公司销售第12天，日销售总量最大，最大值为32万朵．
23．
解：（1）∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，
∴∠A′BA＝60°，A′B＝AB，AP＝A′C
∴△A′BA是等边三角形，
∴A′A＝AB＝BA′＝2，
在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，
则当点A′A、C三点共线时，A′C＝AA′+AC，
即AP＝6，
即AP的最大值是：6；
故答案是：6．
（2）①旋转后的图形如图1；
②如图2，
∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB＝BC．
以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A1P1B．则A1B＝AB＝BC＝4，PA＝P1A1，PB＝P1B＝P1P，
∴PA+PB+PC＝P1A1+P1P+PC．
∵当A1、P1、P、C四点共线时，（P1A+P1B+PC）最短，即线段A1C最短，
∴A1C＝PA+PB+PC，
∴A1C长度即为所求．
过A1作A1D⊥CB延长线于D．
∵∠A1BA＝60°（由旋转可知），
∴∠A1BD＝30°．
∵A1B＝4，
∴A1D＝2，BD＝2
∴CD＝4+2；
在Rt△A1DC中，A1C＝＝＝2+2．
时间x（天）
0
4
8
12
16
20
销量y1（万朵）
0
16
24
24
16
0