湖北省黄石市四区联考2024届九年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省黄石市四区联考2024届九年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了下列函数中，是二次函数的是，抛物线的顶点坐标是，二次函数，如图，二次函数等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分试题卷和答题卡两部分；考试时间120分钟；满分120分．
2．考生在答题前请阅读答题卡中的“注意事项”，然后按要求答题．
3．所有答案均须做在答题卡相应区域，做在其他区域无效．
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．将方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．2，1，3B．2，-1，3C．2，-3，-1D．2，-3，1
2．下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．一元二次方程用配方法变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，把绕点顺时针旋转某个角度得到，，，则旋转角等于（ ）
A．110°B．70°C．40°D．20°
6．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
7．某小区计划在一块长、宽的长方形空地上修建三条同样宽的道路（如图），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的赛为，则下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．二次函数（）的图象过点，方程的解为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
9．如图，二次函数（）图象的对称轴为直线，下列结论：①；②；③；（4）若为任意实数，则有．其中正确的结论的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
10．如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转90°，得到，延长交于点，连接．下列结论：①，②四边形是正方形，③若，则；其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②C．②③D．①③
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．已知点与点是关于原点的对称点，则____________．
12．有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了___________个人．
13．将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的新图象函数的表达式为____________．
14．已知，，都是实数，且，那么____________．
15．已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表：则当时，的取值范围是____________．
16．如图，在平面直角坐标系中，，将线段绕点进行旋转，，取中点，，连接，已知点的坐标为，那么将线段绕点的旋转过程中，的最小值为____________．
三、解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
18．（8分）如图，是等边三角形，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转60°得到，连接、．
（1）求证：；
（2）若，，求的周长．
19．（8分）在平面直角坐标系中如图所示．
（1）请画出关于原点对称的，并写出，的坐标；
（2）将向右平移6个单位得到，请画出；
（3）与关于点成中心对称，请直接写出点的坐标．
20．（8分）已知关于的方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的一个根为，求的值及方程的另一根．
21．（10分）数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
【观察探究】：
（1）写出该函数的一条性质：___________；
（2）方程的解为：___________；
（3）若方程有四个实数根，则的取值范围是___________；
【拓展延伸】：
（1）将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象，请画出平移后的图象；
（2）观察平移后的图象，当时，直接写出自变量的取值范围___________．
22．（9分）农户销售某农产品，经市场调查发现：若售价为6元/千克，日销售量为40千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就㺂少2千克．现设售价为元/千克（且为正整数）．
（1）若某日销售量为24千克，求该日产品的单价；
（2）若政府将销售价格定为不超过18元/千克．设每日销售㬵为元，求关于的函数表达式，并求的最大值和最小值；
（3）市政府每日给农户补跕元后（为正整数），发现最大日收入（日收入=销售额+政府补贴）还是不超过450元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于440元，请直接写出所有符合题意的的值．
23．（9分）如图，是等腰直角三角形，，，是射线上的一动点，将绕点逆时针旋转90°得到，连接，．
图1图2备用图
（1）如图1，是__________三角形．
（2）如图2，猜出之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）在点移动过程中，当时，求的长．
24．（12分）如图，抛物线经过点，与轴交于A，B两点，连接为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点Q．
（1）直接写出的值以及，的坐标：__________，A（__________，__________），B（__________，__________）；
（2）过点作，垂足为点，设点的坐标为，试求的最大值；
（3）试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
九年级数学参考答案
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．C 2．A 3．B 4．B 5．D
6．C 7．C 8．B 9．C 10．A
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．1 12．15 13． 14．1 15． 16．
三、解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）【解答】解：（1）∵，化简得：，
∴或，解得，；
（2）解：∵，∴，，，
∴，
∴，解得，．
18．【解答】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，．
∵是由绕点逆时针旋转60°得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵和都是等边三角形，
∴，，
∴的周长为．
19．（8分）解：（1）如图，的图形如图所示，，．
（2）如图，的图形如图所示．
（3）连接、，它们的交点即为点P，
∵与关于点P成中心对称，
∴由图可知，点P的坐标为（3，0）．
20．（8分）（1）证明：由于是一元二次方程，，
无论k取何实数，总有，，
所以方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：把代入方程，有，
整理，得．解得，此时方程可化为．
解此方程，得，．所以方程的另一根为．
21．（10分）
【观察探究】：
①函数图象关于y轴对称；
②或或；
③；
【拓展延伸】：
①
②
22．（9分）解（1）售价为元/千克（且为正整数），则提价元，故销售量为千克，根据题意，得，解得，
故该日产品的单价为14元/千克．
（2）设售价为元/千克（且为正整数），销售额为元，则提价元，
故销售量为千克，
∴，∴，
∵，且对称轴右侧，y随的增大而减小，到对称轴距离越大，函数值越小，且13-6=7，18-13=5，
∴时，取得最大值，且最大值为338元，
∴时，取得最小值，且最小值为240元，
，的最大338元，的最小240元．
（3）由题意得：，由二次函数的对称性可知的取值为11，12，13，14，15，
∴时，元∴或15时，元，
∴或14时，元，
且：，∴，
∵是正整数，∴的值为110或111或112．
23．（9分）【详解】（1）∵将绕点逆时针旋转90°得到，
∴，，
∴是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角
（2），
证明如下：
∵将绕点逆时针旋转90°得到，∴，，
∵，
∴，即，
在和中，，∴，∴，
∵，，∴，，∴；
（3）∵，，∴，
在和中，，∴，
∴，，∴，
∵，∴，
∴，
如图1，当D在B的左边时，
∴；
∴，
∵，
解得：．
如图2，当D在B的右边时，
当时，∴，
由（2）可得：；解得．
综上所述：的长为或．
24．（12分）
解︰（l）将代入得，
∴，∴，
令得，解得，，
∴，，
故答案为：；-3，0；4，0；
（2）∵，∴令得，
∴，，
而有，
∴，为等腰直角三角形，
∴，
∵轴，∴，
∵，∴是等腰直角三角形，
∴，∴，
∴取最大值即是取最大值，
由，可得解析式为，
∵，
∴，，
∴，
∴时，最大值为，
∴的最大值为．
（3）∵，，，
∴，，，
以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况：
①时，，解得（此时Q与C重合，舍去）或，
∴，
②时，，解得或（此时不在线段上，舍去），
∴，
③时，，解得（此时不在线段上，舍去），
综上所述，以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，或．…
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