初中数学北师大版九年级上册3 反比例函数的应用课后练习题

这是一份初中数学北师大版九年级上册3 反比例函数的应用课后练习题，共14页。

知识点1 利用反比例函数解决实际问题
1.【教材变式·P159T2】(2021湖北宜昌中考)某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压p(单位:kPa)是气体体积V(单位:m3)的反比例函数:p=mV(m为常数),能够反映两个变量p和V函数关系的图象是( )
A B C D
2.【教材变式·P158做一做T1】(2023安徽萧县一模)一个亮度可调节的台灯,其灯光亮度的改变,可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现.已知闭合电路的电流I(A)与电路的电阻R(Ω)是反比例函数关系,下图是该台灯的电流I与电阻R的函数图象,该图象经过点P(1 100,0.2).根据图象可知,下列说法正确的是( )
A.I与R的函数关系式是I=220R(R>0)
B.当R=100时,I=5
C.当R>1 100时,I>0.2
D.当电阻R越大时,该台灯的电流I也越大
3.(2022江西上饶广丰期末)某校科技小组进行野外考察,利用铺垫木板的方式通过了一片湿地.当人和木板对湿地的压力一定时,人和木板对湿地的压强p(Pa)是木板面积S(m2)的反比例函数,其图象如图.点A在反比例函数图象上,坐标是(8,30),当压强p(Pa)是4 800 Pa时,木板面积为 m2.
4.(2023陕西西安期末)电灭蚊器的电阻y(kΩ)随温度x(℃)变化的大致图象如图所示,通电后温度由室温10 ℃上升到30 ℃时,电阻与温度成反比例函数关系,且在温度达到30 ℃时,电阻下降到最小值,随后电阻随温度升高而增加,电阻y(kΩ)与温度x(℃)之间的函数关系式为y=415x-6(x≥30).
(1)当10≤x<30时,求y与x之间的关系式;
(2)电灭蚊器在使用过程中,x在什么范围内时,电阻不超过5 kΩ?
知识点2 反比例函数与一次函数的综合运用
5.(2023山西晋中月考)反比例函数y=-2x的图象与一次函数y=2x的图象( )
A.没有交点 B.有一个交点C.有两个交点 D.有三个交点
6.(2022山东东营中考)如图,一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=k2x的图象相交于A,B两点,点A的横坐标为2,点B的横坐标为-1,则不等式k1x+bA.-12 B.x<-1或02 D.-17.【数形结合思想】如图,平行于y轴的直尺(一部分)与双曲线y=kx(x>0)交于点A和C,与x轴交于点B和D,点A和B的刻度分别为5 cm和
2 cm,直尺的宽度为2 cm,OB=2 cm.(注:平面直角坐标系内一个单位长度为1 cm)
(1)点A的坐标为 ;
(2)求双曲线y=kx的解析式;
(3)若经过A,C两点的直线解析式为y=mx+b,请直接写出关于x的不等式mx+b-kx<0的解集.
8.(2023湖南隆回期末)如图,已知一次函数y=ax+b与反比例函数y=kx的图象在第一、三象限的交点分别为A(5,1),B(-2,m),连接OA,OB.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)求△AOB的面积.
能力提升全练
9.【一题多解】(2022湖南怀化中考,10,★★☆)如图,直线AB交x轴于点C,交反比例函数y=a-1x(a>1)的图象于A、B两点,过点B作BD⊥y轴,垂足为点D,若S△BCD=5,则a的值为( )
A.8 B.9 C.10 D.11
10.(2022江苏扬州中考,8,★★☆)某市举行中学生党史知识竞赛,如图,用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率y(该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值)与该校参加竞赛人数x的情况,其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上,则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
11.(2023河北平泉期末,27,★★☆)如图,一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=6x(x>0)的图象交于A(m,6),B(3,n)两点.
(1)求一次函数的解析式;
(2)根据图象,直接写出使kx+b<6x成立的x(x>0)的取值范围;
(3)求△AOB的面积.
12.(2023山东新泰期末,21,★★☆)如图,一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于A、B两点,其中点A的坐标为(-2,3),点B的横坐标为6.
(1)求这两个函数的解析式;
(2)根据图象,直接写出满足k1x+b-k2x>0的x的取值范围;
(3)连接OA,OB,点P在直线AB上,且S△AOP=14S△BOP,求点P的坐标.
13.【新情境·环境保护】(2022山东枣庄中考,22,★★☆)为加强生态文明建设,某市环保局对一企业排污情况进行检测,结果显示:所排污水中硫化物的浓度超标,即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L,环保局要求该企业立即整改,在15天内(含15天)排污达标,整改过程中,所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示,其中线段AC表示前3天的变化规律,第3天时硫化物的浓度降为4.5 mg/L.当x≥3时,所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系:
(1)在整改过程中,当0≤x<3时,求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式;
(2)在整改过程中,当x≥3时,求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式;
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天内(含15天)不超过最高允许的1.0 mg/L?为什么?
素养探究全练
14.【模型观念】(2021广东深圳中考)探究:是否存在一个新矩形,使其周长和面积为原矩形的2倍、12、k倍?
(1)若该矩形为正方形,是否存在一个正方形,使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍? (填“存在”或“不存在”).
(2)继续探究,是否存在一个矩形,使其周长和面积都为长为3,宽为2的矩形的2倍?同学们有以下思路:
①设新矩形的长和宽分别为x、y,则依题意得x+y=10,xy=12,联立x+y=10,xy=12得x2-10x+12=0,再探究根的情况.根据此方法,请你探究是否存在一个矩形,使其周长和面积都为原矩形的12.
②如图,也可用反比例函数与一次函数证明:已知l1:y=-x+10,l2:y=12x,那么,
a.是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍? (填“存在”或“不存在”);
b.请探究是否有一新矩形的周长和面积为原矩形的12,若不存在,用图象表达;
c.请直接写出当结论成立时k的取值范围: .
答案全解全析
基础过关全练
1.B ∵气球内气体的气压p(单位:kPa)是气体体积V(单位:m3)的反比例函数:p=mV(m为常数),根据实际意义可知V,p都大于零,∴选项B中的函数图象能够反映两个变量p和V的函数关系.故选B.
2.A 选项A,设反比例函数的解析式为I=kR,
把(1 100,0.2)代入得k=1 100×0.2=220,则I=220R,故此选项符合题意;
选项B,当R=100时,I=220100=2.2,故此选项不合题意;
选项C,当R>1 100时,I<0.2,故此选项不合题意;
选项D,当电阻R越大时,该台灯的电流I越小,故此选项不合题意.
故选A.
解析 设反比例函数的解析式为p=kS,
将(8,30)代入,得30=k8,解得k=240,∴p=240S,
当p=4 800时,4 800=240S,解得S=0.05,
所以当压强p(Pa)是4 800 Pa时,木板面积为0.05 m2,故答案为0.05.
4.解析 (1)设y与x之间的关系式为y=mx.
∵函数图象过点(10,6),∴m=xy=10×6=60.
∴当10≤x<30时,y与x之间的关系式为y=60x.
(2)在y=60x中,令y=5,解得x=12;
在y=415x-6中,令y=5,解得x=4114.
故当12≤x≤4114时,电阻不超过5 kΩ.
5.A ∵反比例函数y=-2x的图象位于第二、四象限,一次函数y=2x的图象过第一、三象限,∴两图象没有交点.故选A.
6.A 观察函数图象可知,当-12时,一次函数y1=k1x+b的图象在反比例函数y2=k2x的图象的下方,∴不等式k1x+b<0或x>2,故选A.
7.解析 (1)(2,3).
(2)将A点坐标代入y=kx中,得3=k2,∴k=6,∴双曲线的解析式为y=6x.
(3)∵直尺的宽度为2 cm,∴BD=2 cm,
∴OD=OB+BD=4 cm,
∴点C的横坐标为4.
由图象可知,关于x的不等式mx+b-kx<0的解集是04.
8.解析 (1)∵点A(5,1)在反比例函数y=kx的图象上,∴k=5×1=5,∴反比例函数的表达式为y=5x.∵点B(-2,m)在反比例函数的图象上,∴-2m=5,∴m=-52,∴B-2,-52,把点A,B的坐标代入y=ax+b得5a+b=1,-2a+b=-52,解得a=12,b=-32,∴一次函数的表达式为y=12x-32.
(2)设直线AB与x轴的交点为C,令y=0,则12x-32=0,解得x=3,∴C(3,0),∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×3×1+12×3×52=32+154=214.
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9.D 解法一:设点B的坐标为m,a-1m,∵S△BCD=5,且a>1,∴12×m×a-1m=5,解得a=11,故选D.
解法二:连接BO,因为BD⊥y轴,所以BD∥x轴,
所以S△BOD=S△BCD=12|k|=12|a-1|=5,解得a=11或a=-9,
因为a>1,所以a=11.故选D.
10.C 由题意知xy=该校成绩优秀人数.
过甲点、丙点作x轴的垂线,交反比例函数图象于点A、点B.因为点A、点B和乙点、丁点在反比例函数图象上,所以xAyA=xByB=乙、丁学校优秀人数.观察图象可知x甲y甲xByB,所以丙学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多,故选C.
11.解析 (1)∵点A(m,6),B(3,n)在反比例函数y=6x的图象上,∴6m=6,63=n,
∴m=1,n=2,即A(1,6),B(3,2).∵点A(1,6),B(3,2)在一次函数y=kx+b的图象上,∴6=k+b,2=3k+b,解得k=-2,b=8,∴一次函数的解析式为y=-2x+8.
(2)根据图象可知,使kx+b<6x成立的x(x>0)的取值范围是03.
(3)分别过点A、B作AE⊥x轴,BC⊥x轴,垂足分别是E、C点.设直线AB交x轴于D点.在y=-2x+8中,令y=0,则-2x+8=0,解得x=4,∴D(4,0).∵A(1,6),B(3,2),∴AE=6,BC=2,
∴S△AOB=S△AOD-S△BOD=12×4×6-12×4×2=8.
12.解析 (1)∵一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于A(-2,3),
∴k2=-2×3=-6,3=-2k1+b①,∴反比例函数的解析式为y=-6x,
∵点B的横坐标为6,∴点B(6,-1),∴-1=6k1+b②,
①-②得4=-8k1,解得k1=-12,
将k1=-12代入①得1+b=3,∴b=2,
∴一次函数的解析式为y=-12x+2.
(2)由图象可得当x<-2或00.
(3)设一次函数的图象与y轴交于点C,
在y=-12x+2中,当x=0时,y=2,∴C(0,2).
∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=12×2×2+12×2×6=8,S△AOC=12×2×2=2.
分两种情况:
①如图1,当P在线段AB上时,
∵S△AOP=14S△BOP,∴S△AOP=15S△AOB=15×8=85,
∴S△POC=2-85=25,∴12×2×|xP|=25,
∴xP=-25(舍正),∴点P的坐标为-25,115;
②如图2,当点P在线段BA的延长线上时,
∵S△AOP=14S△BOP,∴S△AOP=13S△AOB=13×8=83,
∴S△POC=2+83=143,∴12×2×|xP|=143,∴xP=-143(舍正),
∴点P的坐标为-143,133.
综上所述,点P的坐标为-25,115或-143,133.
13.解析 (1)设线段AC的函数表达式为y=kx+b,∴b=12,3k+b=4.5,
∴k=-2.5,b=12,∴当0≤x<3时,硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为y=-2.5x+12.
(2)∵3×4.5=5×2.7=6×2.25=9×1.5=13.5,∴y是x的反比例函数,
∴当x≥3时,硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为y=13.5x.
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天内(含15天)不超过最高允许的1.0 mg/L,理由如下:当x=15时,y=13.515=0.9,∵13.5>0,∴当x≥3时,y随x的增大而减小,∴该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天内(含15天)不超过最高允许的1.0 mg/L.
素养探究全练
14.解析 (1)由题意得,给定正方形的周长为8,面积为4,若存在新正方形满足条件,则新正方形的周长为16,面积为8,对应的边长为4和22,不符合题意,∴不存在新正方形的周长和面积是边长为2的正方形的2倍.故答案为不存在.
(2)①设新矩形的长和宽分别为x、y,则依题意得x+y=2.5,xy=3,联立x+y=2.5,xy=3得2x2-5x+6=0,
∵Δ=(-5)2-4×2×6=-23<0,∴此方程无解,
∴不存在新矩形使其周长和面积都为原矩形的12.
②a.从图象来看,函数y=-x+10和函数y=12x的图象在第一象限有两个交点,也即题目中的方程组有解,
∴存在新矩形,使其周长和面积都是原矩形的2倍.故答案为存在.
b.之前已证明不存在新矩形使其周长和面积为原矩形的12.
如图,从图象来看,函数y=-x+2.5和函数y=3x的图象在第一象限没有交点,∴不存在新矩形,使其周长和面积是原矩形的12.
c.设新矩形的长和宽分别为x、y,则依题意得x+y=5k,xy=6k,
联立x+y=5k,xy=6k得x2-5kx+6k=0,∴Δ=(-5k)2-4×1×6k=25k2-24k,
当Δ≥0,即25k2-24k≥0时,方程有实数根,
∵k>0,∴25k-24≥0,解得k≥2425,
∴当k≥2425时,存在新矩形的周长和面积均为原矩形的k倍.故答案为k≥2425.
时间x(天)
3
5
6
9
…
硫化物的浓度y(mg/L)
4.5
2.7
2.25
1.5
…