江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了 直线的倾斜角是， 已知直线，则间的距离为， 抛物线的准线方程是， 已知曲线，以下说法正确的是， 已知圆，圆，圆，圆，直线，则等内容，欢迎下载使用。

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出直线的斜率，可得出该直线的倾斜角.
【详解】直线的斜率为，因此，该直线的倾斜角为，故选C.
【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，解题的关键就是求出直线的斜率，同时要熟悉直线的倾斜角和斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.
2. 已知直线，则间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行直线的距离公式可得.
【详解】将直线方程化为，
由平行直线的距离公式得.
故选：C
3. 点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A. 4B. 3C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】写出渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得.
【详解】双曲线中，，且焦点在x轴上，
所以渐近线方程为，即，
由对称性可知，点到两条渐近线的距离相等，
不妨求点到的距离，得.
故选：B
4. 抛物线的准线方程是
A. x=1B. x=-1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程．
【详解】解：整理抛物线方程得，∴p＝
∵抛物线方程开口向上，
∴准线方程是y＝﹣
故答案为C．
【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程和简单性质．属基础题．
5. 已知双曲线(，)的右焦点为，若过点且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线与双曲线的位置关系，结合图形，得到直线的斜率与双曲线的渐近线的斜率的关系，求得结果.
【详解】已知双曲线(，)的右焦点为，若有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，
∴，离心率，∴.
故选：A.
【点睛】该题考查的是有关直线与双曲线的位置关系的问题，解决该题的关键是结合图形，得到其斜率所满足的关系，属于基础题目．
6. 设是椭圆的上顶点，点在上，则的最大值为（ ）
A. 16B. 4C. 3D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】设得，利用，配方后利用的范围可得答案.
【详解】，设，则，所以，
，
因为，所以当时，有最大值为.
故选：B.
7. 已知椭圆，过点的直线与椭圆相交于两点，且是线段的中点，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，则由题意可得，，两式相减化简结合斜率公式可求得结果.
【详解】设，因为是线段的中点，所以，
因为在椭圆上，所以，
两式相减得，
，即，
所以直线的斜率，
故选：A
8. 若存在实数使得直线与圆无公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】根据直线和圆的位置关系求得正确答案.
【分析】圆，即，
由，解得或，
直线，即，
所以直线过，要使直线和圆没有公共点，
则点在圆外，即，
综上所述，的取值范围是.
故选：D
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知曲线，以下说法正确的是（ ）
A. 若，则是椭圆，其焦点在轴上
B. 若，则是两条直线
C. 若，则是双曲线，其渐近线方程为
D. 若，则是圆，其半径为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据，结合椭圆的标准方程即可判断A；时，方程化为，即可判断B；根据条件结合双曲线标准方程以及双曲线渐近线方程可判断C；结合圆的方程判断D.
【详解】对于A，若，则化为，
则，则是椭圆，其焦点在x轴上，A错误；
对于B，若，即为，即，
即是两条直线，B正确；
对于C，若，不妨设，则化为，
则表示焦点在x轴上的双曲线，，
故其渐近线方程为；
同理当，则化为，
则表示焦点在y轴上的双曲线，，
故其渐近线方程为；
综合知是双曲线，其渐近线方程为，C正确；
对于D，若，则即为，
则是圆，其半径为或，D错误，
故选：BC
10. 已知圆，圆，圆，圆，直线，则（ ）
A. 与圆都外切的圆的圆心轨迹是双曲线的一支
B. 与圆外切､内切的圆的圆心轨迹是椭圆
C. 过点且与直线相切的圆的圆心轨迹是抛物线
D. 与圆都外切的圆的圆心轨迹是一条直线
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据几何关系确定，A正确，，B正确，根据抛物线定义知C正确，确定，得到D错误，得到答案.
【详解】对选项A：设圆心为，半径为，则，，故，
圆心轨迹是双曲线的一支，正确；
对选项B：设圆心为，半径为，则，，故，
圆心轨迹是椭圆，正确；
对选项C：设圆心为，半径为，故到定点和定直线的距离相等为，
圆心轨迹是抛物线，正确；
对选项D：设圆心为，半径为，则，，故，
在两圆外，圆心轨迹两条射线，错误；
故选：ABC.
11. 瑞士数学家欧拉(Euler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点A(－4,0)，B(0,4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标可以是（ ）
A. (2,0)B. (0,2)C. (－2,0)D. (0,－2)
【答案】AD
【解析】
【分析】由已知求出垂直平分线方程，与欧拉线方程联立求得外心坐标，从而得到圆的方程，设，根据三角形的重心在欧拉线上，再与圆的方程联立即可求出的坐标．
【详解】，，的垂直平分线方程为，
又外心在欧拉线上，
联立，解得三角形的外心为，
又，
外接圆的方程为．
设，则三角形的重心在欧拉线上，即．
整理得．
联立，解得或．
所以顶点的坐标可以是，
故选：AD．
12. 已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于点两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 为中点
【答案】BCD
【解析】
【分析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误.
【详解】如下图所示：
分别过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、.
抛物线的准线交轴于点，则，
由于直线的斜率为，其倾斜角为，
轴，，由抛物线的定义可知，，
则为等边三角形，
，则，
设，，由，则，可得 ，
所以 ，
,解得
所以,所以B正确.
，得，
A选项错误；
所以,满足,所以C正确.
而,所以D正确.
故选：BCD
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答题卡相应的位置上.
13. 点A(4,5)关于直线l的对称点为B(－2,7)，则l的方程为_______
【答案】3x－y＋3＝0
【解析】
【分析】先求出A、B的中点，再求AB的斜率，求出中垂线的斜率，然后用点斜式求出直线方程．
【详解】对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线，
A、B的中点坐标(1,6)，AB的斜率为：
中垂线斜率为：3
则l的方程为：y−6=3(x−1)即：3x−y+3=0
故答案为：3x−y+3=0
【点睛】本题主要考查直线垂直斜率之间的关系，考查了直线的点斜式方程的应用，属于基础题.
14. 设椭圆，双曲线的离心率为，且，则__________.
【答案】##
【解析】
【详解】根据离心率公式得到，解得答案.
【分析】，即，解得.
故答案为：.
15. 分别为双曲线左右焦点，为双曲线左支上的任意一点，若最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由双曲线定义，变形后由基本不等式得最小值，从而得，再利用双曲线中的范围有，由此结合可得离心率的范围．
【详解】是左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点，
所以，代入，
得，
当且仅当时取等号，即，
又点是双曲线左支上任意一点，所以，
即：.
故答案为：．
16. 椭圆的弦满足，记坐标原点在的射影为，则到直线的距离为1的点的个数为__________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据给定条件，求出点的轨迹方程，再结合直线与这个轨迹的位置关系求解即得.
【详解】椭圆的弦满足，即有
设，则，，
于是，解得，同理，
则，即，
由原点在的射影为，得，而，
因此，即点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，方程为，
圆心到直线的距离，显然此直线与圆相交，
垂直于直线的圆的直径端点到直线距离分别为，
于是圆上到直线的距离为1的点有4个，
所以到直线的距离为1的点的个数为4.
故答案为：4
【点睛】思路点睛：涉及用椭圆上的动点处理问题时，可以借助正余弦函数设出此点坐标，再利用三角函数关系求解.
三､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 在平面直角坐标系中，矩形的一边在轴上，另一边在轴上方，且，，其中，如图所示．
（1）若为椭圆的焦点，且椭圆经过两点，求该椭圆的方程；
（2）若为双曲线的焦点，且双曲线经过两点，求双曲线的方程．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据为焦点和椭圆定义得，求得，；利用求得，进而得到椭圆方程；（2）根据为焦点和双曲线定义得，求得，；利用求得，进而得到双曲线方程.
【详解】（1）为椭圆的焦点，且椭圆经过两点
根据椭圆的定义：
，
椭圆方程为：
（2）为双曲线的焦点，且双曲线经过两点，
根据双曲线的定义：
，
双曲线方程为：
【点睛】本题考查利用椭圆、双曲线定义求解椭圆、双曲线的标准方程问题，属于基础题.
18. 在平面直角坐标系中，设命题直线与平行；命题：圆与圆相交.若命题､命题中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】求出命题p、p为真时的取值范围，再根据命题p、q中有且只有一个为真命题，分p真q假和p假q真时两种情况，求出实数m的取值范围．
【详解】解：命题为真：由题意得，或，检验符合，
命题为真：，圆相交，
所以或，
因为命题、命题中有且只有一个为真命题，
若真假，则：，解得，
若假真，则：，
解得：，
综上：实数的取值范围是.
19. 已知椭圆的右焦点F，左、右准线分别为l1：x＝－m－1，l2：x＝m＋1，且l1、l2分别与直线y＝x相交于A、B两点．
（1）若离心率为，求椭圆的方程；
（2）当时，求椭圆离心率的取值范围．
【答案】（1）＋y2＝1.（2）
【解析】
【分析】（1）由准线方程，焦点坐标可求得的值，从而利用离心率可得到m的关系式，求得m，进而得到值，确定椭圆方程；（2）将A，B，F坐标代入向量中可得到关于m的不等式，得到m的范围，将离心率用m表示可求得离心率范围
【详解】（1）由已知，得c＝m，＝m＋1，
从而＝m（m＋1），＝m．
由e＝，得b＝c，从而m＝1．
故a＝，b＝1，得所求椭圆方程为．
（2）易得A（－m－1，－m－1），B（m＋1，m＋1），
从而＝（2m＋1，m＋1），＝（1，m＋1），
故＝2m＋1＋（m＋1）2＝＋4m＋2＜7，得0＜m＜1．
由此离心率
故所求的离心率取值范围为．
20. 有一块以点O为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O点百米的D点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D修一条笔直小路交草坪圆周于A、B两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA､OB，其中小路的宽度忽略不计.
（1）若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；
（2）过再做一条与垂直的笔直小路交草坪圆周于两点，求四点构成的四边形面积的最大值.
【答案】（1）（百米）
（2）6
【解析】
【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合圆的几何性质求得小路的最短长度.
（2）先求得四边形面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最大值.
【小问1详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，则，
小路的长度为，因为为定值，故只需要最小即可.
作，垂足为，记，
则，
又，故，
此时点为中点.
故小路的最短长度为（百米）.
【小问2详解】
设到的距离为，设到的距离为，
由垂径定理可得，
所以，
当且仅当时，四边形面积的最大值6.
21. 已知抛物线经过点.
（1）求抛物线的方程及其准线方程；
（2）设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于两点，直线分别交直线于点和点，求证：以为直径的圆经过定点.
【答案】（1），
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将点的坐标代入抛物线方程可求出，从而可求出抛物线方程和准线方程；
（2）设直线的方程为，代入抛物线方程化简，利用根与系数关系，表示出直线方程，表示出点和点的坐标，设，由可求得结果.
【小问1详解】
由抛物线经过点，得
所以抛物线的方程为，其准线方程为.
【小问2详解】
抛物线的焦点为，设直线的方程为.
由，得.
设，则.
直线的方程为，令，得，同理.
由抛物线的对称性可得若以为直径的圆过定点，则定点必在轴上.
设，则，
所以.
令，即，得或.
综上，以为直径的圆经过轴上的定点和.
【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线与圆的位置关系，第（2）问解题的关键是根据题意表示出直线方程，从而可表示出点和点的坐标，设，再由化简计算可得结论，考查计算能力，属于较难题.
22. 已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，且过点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知为直线上任一点，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，过的实轴右顶点作垂直于轴的直线与直线分别交于两点，点的纵坐标分别为，求的值.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）设双曲线，将点代入计算即可求解；
（2）设，，求出m、n的表达式并分别联立双曲线方程，利用可得、，即是方程的解，根据韦达定理表示出，代入化简计算即可求解.
【小问1详解】
设双曲线，过点，代入坐标可得，
所以双曲线C的标准方程为；
【小问2详解】
设，，
所以，
即，
则，
化简可得：，同理可得：；
所以均是方程的解；
所以，
，
，
故
.