适用于老高考旧教材2024版高考数学二轮复习考点突破练3三角函数与解三角形理（附解析）

这是一份适用于老高考旧教材2024版高考数学二轮复习考点突破练3三角函数与解三角形理（附解析），共4页。试卷主要包含了已知函数f=sin x+sin，设函数f=cs+sin2x等内容，欢迎下载使用。

(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若是函数y=f(x)-f(x+φ)(φ>0)的一个零点,求φ的最小值.
2.(2023辽宁辽阳一模)已知函数f(x)=4sin(ωx+)(ω>0)在[,π]上单调递减.
(1)求ω的最大值;
(2)若f(x)的图象关于点(,0)中心对称,且f(x)在[-,m]上的值域为[-2,4],求m的取值范围.
3.(2023陕西西安八校联考二)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cs A=,cs B=.
(1)求C的值;
(2)若a+b=12,求△ABC的面积.
4.(2020全国Ⅱ,理17)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C.
(1)求A;
(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.
5.如图所示,遥感卫星发现海面上有三个小岛,小岛B位于小岛A北偏东75°距离60海里处,小岛B北偏东15°距离(30-30)海里处有一个小岛C.
(1)求小岛A到小岛C的距离;
(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C,求游船航行的方向.
6.(2023新高考Ⅱ,17)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为,D为BC的中点,且AD=1.
(1)若∠ADC=,求tan B;
(2)若b2+c2=8,求b,c.
7.(2023四川乐山一模)设函数f(x)=cs(2x+)+sin2x.
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期;
(2)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为△ABC的面积.若f()=-,且b=,求cs Acs C+S的最大值.
8.(2023四川内江一模)已知函数f(x)=sin x·cs x-cs2x+,x∈R.
(1)已知f(x)=-,求cs(4x-)的值;
(2)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(C)=1,c=3,若向量m=(-1,sin A)与n=(sin B,2)垂直,求△ABC的周长.
考点突破练3 三角函数与解三角形
1.解(1)∵f(x)=sinx+sin(x+)=sinx+sinx+csx=sinx+csx=sin(x+),∴f(x)的最小正周期为2π.
(2)由题设y=f(x)-f(x+φ)=sin(x+)-sin(x++φ),由是该函数零点可知,sin()-sin(+φ)=0,即sin(+φ)=故+φ=+2kπ,k∈Z或+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=2kπ,k∈Z或φ=+2kπ,k∈Z.∵φ>0,∴φ的最小值为
2.解(1)由条件知x∈[,π],则ωx+[,πω+],由正弦函数的性质可知[,πω+]⊆[+2kπ,+2kπ],k∈Z,∴ω∈[1+12k,+12k],k∈Z.又有π-,∴0<,当k=0时,1符合题意;当k≥1时,ω>,不符合题意,∴ω的最大值为
(2)∵f(x)的图象关于点(,0)中心对称,+=kπ(k∈Z),即ω=(k∈Z).由(1)得1,∴ω=,则f(x)=4sin(x+),当x∈[-,m]时,x+[-m+].∵f(x)在[-,m]上的值域为[-2,4],∴sin(x+)∈[-,1],则m+,解得m,
∴m的取值范围是[].
3.解(1)由题意得A,B,C∈(0,π),又csA=,csB=,∴sinA=,sinB=,∴csC=cs[π-(A+B)]=-cs(A+B)=-csAcsB+sinAsinB=-=-,∴C=
(2)由正弦定理,得,即,解得c=4,∴由正弦定理,得a=8.∴△ABC的面积为S△ABC=acsinB=8×4=8
4.解(1)由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2=AC·AB.①
由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcsA.②
由①②得csA=-
因为0(2)由正弦定理及(1)得=2,从而AC=2sinB,AB=2sin(π-A-B)=3csB-sinB.
故BC+AC+AB=3+sinB+3csB=3+2sin(B+).又05.解(1)在△ABC中,AB=60,BC=30-30,∠ABC=180°-75°+15°=120°,根据余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cs∠ABC=602+(30-30)2-2×60×(30-30)·cs120°=5400.AC=30,∴小岛A到小岛C的最短距离是30海里.
(2)由正弦定理,得,,解得sin∠ACB=在△ABC中,∵BC6.解(1)(方法一 正弦定理+余弦定理)
由题意可知S△ABC=acsinB=,故acsinB=2①
在△ABD中,有,由∠ADC=,得∠ADB=,所以,故csinB=②
将②式代入①式,得a=4.
在△ADB中,由余弦定理得AB2=c2=AD2+BD2-2AD·BDcs,即c2=12+22-2×1×2=7,得c=
在△ABD中,csB=>0,故B,则sinB=,tanB=
(方法二 余弦定理)
因为AD为△ABC的中线,所以S△ABC=2S△ADC=21×sina=,故a=4.在△ADC中,由余弦定理知b2=12+22-2×1×2×cs=3.在△ABD中,c2=AB2=12+22-2×1×2×cs=7.在△ABC中,csB=>0,故B,有sinB=,tanB=
(2)(方法一)在△ABC中,由,得|2=(||2+||2+2).由余弦定理得2=||2+||2-||2.故||2=(2||2+2||2-||2),即AD2=(b2+c2)-a2,得a=2由S△ABC=bcsinA和b2+c2-a2=2bccsA,得S△ABC=(b2+c2-a2)tanA,得tanA=-<0,故A,有A=又因为S△ABC=bcsinA,所以bc=4.由b2+c2=8和bc=4,得b=c=2.
(方法二 几何法)
过点A作AH⊥BC交BC于点H(图略).在△ABC,△ABD中,由余弦定理得csB=,解得a2=2(b2+c2)-4.将b2+c2=8代入a2=2(b2+c2)-4中得a=2S△ABC=BC·AH=2AH=,则AH=1.又因为AD=1,所以点H与点D重合,即AD为边BC的中垂线,所以b=c==2.
7.解(1)f(x)=cs(2x+)+sin2x=cs2x-sin2x+sin2x,∴函数f(x)的最大值为,最小正周期为π.
(2)由(1)得f(x)=sin2x,∵f=sinB=-,∴sinB=B为锐角,∴B=,∴a=2sinA,c=2sinC.∴S=acsinB=ac=sinAsinC.
csAcsC+S=(csAcsC+sinAsinC)=cs(A-C).当A=C=时,原式有最大值csAcsC+S的最大值为
8.解(1)∵f(x)=sinxcsx-cs2x+sin2x-=sin(2x-),又f(x)=-,∴sin(2x-)=-,
∴cs(4x-)=1-2sin2(2x-)=1-2
(2)由(1)得f(C)=sin(2C-)=1,则2C-+2kπ,k∈Z,∴C=+kπ,k∈Z,又0