适用于老高考旧教材2024版高考数学二轮复习考点突破练5数列求和方法及综合应用理（附解析）

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(1)求证:数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{bn+2n}的前n项和.
2.(2023山西晋中二模)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1.
(1)求证:数列{an+1}为等比数列;
(2)求数列{}的前n项和Tn.
3.(2023云南红河二模)已知等差数列{an}的公差d>0,a1=2,其前n项和为Sn,且 .
在①a1,a3,a11成等比数列;②=3;③-3an+1=+3an这三个条件中任选一个,补充在横线上,并回答下列问题.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=1+(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和T2n.
4.(2023山东淄博高三一模)已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3×2n-1(n∈N*).
(1)判断数列{}是否为等差数列,并说明理由;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
5.(2023江西九江二模)已知公差不为零的等差数列{an}中,a1+a5=8,且a2,a5,a11成等比数列,记bn=(-1)n+1·.求:
(1){an}的通项公式;
(2){bn}前n项和的最值.
6.(2023新高考Ⅱ,18)已知{an}为等差数列,bn=记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和,S4=32,T3=16.
(1)求{an}的通项公式;
(2)证明:当n>5时,Tn>Sn.
考点突破练5 数列求和方法及综合应用
1.(1)证明 由题可知an>0,∴bn>0=2,且b1=a1+a2=2,∴{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列.
(2)解 由(1)知,bn=2n,则bn+2n=2n+2n.设{bn+2n}的前n项和为Sn,则Sn==2n+1+n2+n-2.
2.(1)证明∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1).又a1=1,∴a1+1=2≠0,∴{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列.
(2)解 由(1)知an+1=2n,∴an=2n-1,,∴Tn=+…+=1-
3.解(1)若选择条件①.因为a1,a3,a11成等比数列,所以=a1a11,即(a1+2d)2=a1×(a1+10d),整理得2d2=3a1d.又d>0,解得d=3,所以数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=3n-1.若选择条件②.因为=3,所以=3,解得d=3,所以数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=3n-1.若选择条件③.因为-3an+1=+3an,所以=3an+1+3an,即(an+1-an)(an+1+an)=3(an+1+an).因为a1=2,d>0,所以an+1+an≠0,所以an+1-an=3=d,则数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=3n-1.
(2)由(1)知an=3n-1.
(方法一)T2n=b1+b2+…+b2n-1+b2n=(1-a1)+(a2+1)+…+(1-a2n-1)+(a2n+1)=-(a1+a3+…+a2n-1)+n+(a2+a4+…+a2n)+n
=-[2n+6]+[5n+6]+2n=5n.
(方法二)T2n=b1+b2+…+b2n-1+b2n=(1-a1)+(a2+1)+…+(1-a2n-1)+(a2n+1)
=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a2n-a2n-1)+n+n=3n+2n=5n.
4.解(1)数列{}是等差数列,理由如下:
因为,所以数列{}是以为首项,以为公差的等差数列.
(2)由(1)知数列{}的通项公式为+(n-1)(3n-1),则an=(3n-1)·2n-2(n∈N*),
所以Sn=2×2-1+5×20+8×21+…+(3n-4)×2n-3+(3n-1)×2n-2,①
所以2Sn=2×20+5×21+8×22+…+(3n-4)×2n-2+(3n-1)×2n-1,②
①-②得-Sn=1+3×(20+21+…+2n-2)-(3n-1)×2n-1=1+3-(3n-1)×2n-1=-2+(4-3n)·2n-1,则Sn=2+(3n-4)·2n-1.
5.解(1)∵a1+a5=8,∴a3=a1+2d=4.
∵a2,a5,a11成等比数列,=a2a11,即(a1+4d)2=(a1+d)(a1+10d),化简得a1d-2d2=0.由解得(舍去),
∴an=2+(n-1)×1=n+1.
(2)由(1)可知bn=(-1)n+1=(-1)n+1×().设{bn}的前n项和为Sn,
∴Sn=()-()+…+(-1)n()+(-1)n+1()=+(-1)n+1
当n为奇数时,Sn=,{Sn}是递减数列,当n为偶数时,Sn=,{Sn}是递增数列,∴S2≤Sn<,∴{bn}前n项和的最大值为S1=,最小值为S2=
6.(1)解 设等差数列{an}的公差为d.由bn=得b1=a1-6,b2=2a2=2(a1+d),b3=a3-6=a1+2d-6.则由S4=32,T3=16,得
解得所以an=a1+(n-1)d=2n+3.
(2)证明 由(1)可得Sn==n2+4n.当n为奇数时,Tn=a1-6+2a2+a3-6+2a4+a5-6+2a6+…+an-2-6+2an-1+an-6=(-1+14)+(3+22)+(7+30)+…+[(2n-7)+(4n+2)]+2n-3=[-1+3+…+(2n-7)+(2n-3)]+[14+22+…+(4n+2)]=当n>5时,Tn-Sn=-(n2+4n)=>0,所以Tn>Sn.当n为偶数时,Tn=a1-6+2a2+a3-6+2a4+a5-6+2a6+…+an-1-6+2an=(-1+14)+(3+22)+(7+30) +…+[(2n-5)+(4n+6)]=[-1+3+…+(2n-5)]+[14+22+…+(4n+6)]=
当n>5时,Tn-Sn=-(n2+4n)=>0,所以Tn>Sn.
综上可知,当n>5时,Tn>Sn.