适用于老高考旧教材2024版高考数学二轮复习压轴大题抢分练2理（附解析）

这是一份适用于老高考旧教材2024版高考数学二轮复习压轴大题抢分练2理（附解析），共2页。试卷主要包含了已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。

1.(本题满分12分)(2023河南郑州二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0),O为坐标原点,焦点在直线2x+4y-1=0上.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)过点(4,0)作动直线l与抛物线C交于M,N两点,直线OM,ON分别与圆(x-1)2+y2=1交于点P,Q两点(异于点O),设直线OM,ON斜率分别为k1,k2.
①求证:k1·k2为定值;
②求证:直线PQ恒过定点.
2.(本题满分12分)(2023江西南昌二模)已知函数f(x)=aex-x-a(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)证明:对任意a∈(0,1),存在正数b使得aeb=a+b,且2ln a+b<0.
抢分练2
1.(1)解 易知直线2x+4y-1=0与x轴交于(,0),
即焦点坐标为(,0),
所以,p=1,
则抛物线方程为y2=2x.
(2)证明①设直线MN方程为x=my+4,M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程组得y2-2my-8=0,所以y1y2=-8,又所以=4x1x2=64,即x1x2=16,则k1·k2==-
②设直线PQ方程为x=ty+n,P(x3,y3),Q(x4,y4),联立方程组得(t2+1)y2+2t(n-1)y+n2-2n=0,所以y3+y4=-,y3y4=,k1·k2==-
整理得=-,n=,所以直线PQ过定点(,0).
2.(1)解f'(x)=aex-1,若a≤0,则f'(x)<0,则函数在R上单调递减,若a>0,令f'(x)=0,得x=-lna,当x<-lna时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x>-lna时,f'(x)>0,f(x)单调递增,综上,当a≤0时,f(x)在R上单调递减,当a>0时,f(x)在(-∞,-lna)上单调递减,在(-lna,+∞)上单调递增.
(2)证明 由(1)可知,当00,且f(x)在(-∞,-lna)上单调递减,在(-lna,+∞)上单调递增,因为f(0)=0,所以f(-lna)<0.
因为f(-2lna)=+2lna-a,设h(x)=+2lnx-x(0h(1)=0,即f(-2lna)>0,由零点存在性定理知∃x0∈(-lna,-2lna),使得f(x0)=0,取b=x0,则aeb=a+b,又b=x0∈(-lna,-2lna),即b<-2lna,所以2lna+b<0.