适用于老高考旧教材2024版高考数学二轮复习压轴大题抢分练3理（附解析）

这是一份适用于老高考旧教材2024版高考数学二轮复习压轴大题抢分练3理（附解析），共2页。试卷主要包含了已知椭圆C，已知函数f=ln x-ax+a等内容，欢迎下载使用。
1.(本题满分12分)(2023江西上饶二模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率e=,点F1,F2为椭圆C的左、右焦点且经过点F1(-c,0)的最短弦长为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点F1分别作两条互相垂直的直线l1,l2,且l1与椭圆交于不同两点A,B,l2与直线x=c交于点P,若=λ,且点Q满足=λ,求|PQ|的最小值.
2.(本题满分12分)(2023山东沂水一中模拟预测)已知函数f(x)=(x+1)ln x-ax+a(a∈R).
(1)若a=2,试判断f(x)的单调性,并证明你的结论;
(2)设0f(x)+a(3x-1)-(x+1)ln x-ln(x+1).
抢分练3
1.解(1)由题意,
解得a2=4,b2=3,
所以椭圆的方程为=1.
(2)由(1)得F1(-1,0),若直线l1的斜率为0,则l2:x=-1与直线x=1无交点,不满足条件.设直线l1:x=my-1,若m=0,则λ=1,则不满足=,所以m≠0.设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0),由得(3m2+4)y2-6my-9=0,y1+y2=,y1y2=,因为即
则-y1=λy2,y1-y0=λ(y2-y0),所以λ=-,解得y0==-,则x0=my0-1=-4,即Q(-4,-),直线l2:x=-y-1,当x=1时,y=-2m,所以P(1,-2m),所以|PQ|=5,当且仅当m=或m=-时等号成立,所以|PQ|的最小值为5.
2.证明(1)若a=2,则f(x)=(x+1)lnx-2x+2(x>0),f'(x)=lnx+-2=lnx+-1(x>0),令φ(x)=f'(x),则φ'(x)=,令φ'(x)>0,解得x>1;令φ'(x)0,∴ex>x+1.
又0ax+1≥ax+a,可得F'(x)=aeax+-2a>a2(x+1)+-2a≥2-2a=0,当且仅当x+1=,等号成立;则F(x)在(0,+∞)上单调递增,可得F(x)>F(0)=0.故eax-2ax+ln(x+1)-1>0,即证.