适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习考点突破练3三角函数与解三角形（附解析）

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(1)若ω=1,求函数f(x)的最小正周期;
(2)若y=f(x)的图象在区间(0,)内有且仅有一条对称轴,求f()的取值范围.
2.(2023福建福州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知.
(1)证明:A=B;
(2)若D为BC的中点,从①AD=4,②cs C=,③CD=2这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立.
3.(2023山东潍坊模拟)如图,P为半圆(AB为直径)上一动点,OA⊥OB,OA=,OB=1,记∠BAP=θ.
(1)当θ=15°时,求PO的长;
(2)当△APO周长最大时,求θ.
4.(2023湖南长沙模拟)如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足+tan B=.
(1)求A;
(2)在△ABC所在平面上存在点E,连接BE,CE,若EC=AC,∠ACE=∠A,∠EBC=30°,BC=2,求△ABC的面积.
5.某城建部门欲沿河边规划一个三角形区域建设市民公园.如图,MN为该城区内河段的一部分,现有两种设计方案,方案一的设计为△AMN区域,方案二的设计为△BMN区域,经测量,AM=AN=700米,BM=500米,BN=800米,∠A=∠B.
(1)求MN的长度.
(2)若市民公园建设每平方米的造价为80元,不考虑其他因素,要使费用较低,该选哪个方案?说明理由,并求出造价为多少?(参考数据:≈1.732)
6.(2023浙江湖州、衢州、丽水二模)在锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足-1=,且A≠C.
(1)求证:B=2C;
(2)已知BD是∠ABC的平分线,若a=4,求线段BD长度的取值范围.
考点突破练3 三角函数与解三角形
1.解 (1)f(x)=sinωxcsωx+cs2ωx-sin2ωx+sin2ωx+cs2ωx=sin(2ωx+).
由ω=1,得f(x)=sin(2x+),则T==π.
(2)由x∈(0,),得2ωx+∈(ω+),
因为y=f(x)的图象在区间(0,)内有且仅有一条对称轴,所以ω+,解得<ω≤.
因为f()=sin(ω+),且ω+,所以≤sin(ω+)≤1,所以f()的取值范围是[,1].
2.(1)证明 已知,由余弦定理可得,即.
又由正弦定理,得csA=csB.
因为A,B均为△ABC中内角,所以A=B.
(2)解 在△ABC中,A=B,D为BC的中点,如图所示.
①②⇒③
由(1)知,AC=BC,
则AC=2CD.在△ACD中,csC=,解得CD=2.
①③⇒②
由(1)知,AC=BC,则AC=2CD=4,所以在△ACD中,
csC=.
②③⇒①
由(1)知,AC=BC,则AC=2CD=4.在△ACD中,由余弦定理,得AD2=AC2+CD2-2AC·CDcsC=16+4-2×4×2×=16,所以AD=4.
3.解 (1)在△ABO中,OA⊥OB,OA=,OB=1,则AB=2,
∴∠BAO=30°,∠ABO=60°,且O在以AB为直径的圆上,
∴∠APO=60°.
在△APO中,∠PAO=45°,OA=,
由正弦定理,得,解得OP=.
(2)在△APO中,∠APO=60°,OA=,
由余弦定理,得OA2=PA2+PO2-2PA·POcs∠APO,即PA2+PO2-PA·PO=3,
∴(PA+PO)2-3PA·PO=3,∴3PA·PO=(PA+PO)2-3≤3()2,当且仅当PA=PO=时,等号成立,
∴(PA+PO)2≤12,∴PA+PO≤2.
故当PA=PO时,△APO周长最大,此时∠PAO=60°,
∴θ=60°-30°=30°.
4.解 (1)在△ABC中,由+tanB=,
得c=acsB-asinB.
由正弦定理,得sinC=sinAcsB-sinAsinB.
因为sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B),
因此sin(A+B)=sinAcsB-sinAsinB,
即csAsinB=-sinAsinB,
而0°故csA=-sinA,
显然csA≠0,则tanA=-,故A=120°.
(2)令∠ABC=α,四边形内角和为360°,由(1)的结论知,E=90°-α.在△ABC中,由正弦定理得,,
则AC=sinα.
在△BCE中,,则EC=.
又EC=AC,则4sinα=,即2sin2α=1,
得sin2α=.
因为A=120°,A+α+∠ACB=180°,则0<α<60°,故2α=30°,即α=15°.
又sinα=sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cs30°-cs45°sin30°=,
因此AC=sinα=.又∠ACB=45°,
所以△ABC的面积S△ABC=AC·BCsin45°=×2×.
5.解 (1)在△AMN中,由余弦定理得csA=.
在△BMN中,由余弦定理得
csB=.
由∠A=∠B,得csA=csB,
故,解得MN=700,故MN的长度为700米.
(2)方案二的设计符合要求.理由如下:
因为S△AMN=·AM·AN·sinA=245000sinA,
S△BMN=·BM·BN·sinB=200000sinB.又sinA=sinB,所以S△AMN>S△BMN.
故选择方案二的设计,建设市民公园的费用较低.
因为AM=AN=MN=700米,所以△AMN是等边三角形,则∠A=∠B=60°,
所以S△BMN=·BM·BN·sinB=100000≈173200平方米,所以总造价为80×173200=13856000元.
故方案二符合要求,最低造价为13856000元.
6.(1)证明 由题意得,,即.由正弦定理得,b2=c2+ac.
由余弦定理得b2=a2+c2-2accsB,
所以c=a-2ccsB,即sinC=sinA-2sinCcsB,
故sinC=sin(B+C)-2sinCcsB,
整理得sinC=sin(B-C).
又△ABC为锐角三角形,则C∈(0,),B∈(0,),B-C∈(-),所以C=B-C,即B=2C.
(2)解 在△BCD中,由正弦定理得,,所以,所以BD=.
因为△ABC为锐角三角形,且B=2C,
所以解得故因此线段BD的长度的取值范围为(,2).