适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习考点突破练17导数的简单应用（附解析）

这是一份适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习考点突破练17导数的简单应用（附解析），共5页。试卷主要包含了必备知识夯实练，关键能力提升练，核心素养创新练等内容，欢迎下载使用。

1.(2023河北衡水二中模拟)曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x+y+2=0垂直,则a=( )
A.B.-C.D.-
2.(2023江西鹰潭模拟)函数y=+ln x的单调递增区间为( )
A.(0,2)B.(0,1)
C.(2,+∞)D.(1,+∞)
3.(2023河南郑州模拟)已知函数f(x)=ln(ax)+的最小值为2,则f的值为( )
A.e-1B.e
C.2+D.e+1
4.已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为( )
A.a>b>cB.a>c>b
C.b>a>cD.b>c>a
5.(多选题)(2022新高考Ⅰ,10)已知函数f(x)=x3-x+1,则( )
A.f(x)有两个极值点
B.f(x)有三个零点
C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心
D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
6.(多选题)(2023新高考Ⅱ,11)若函数f(x)=aln x+(a≠0)既有极大值也有极小值,则( )
A.bc>0B.ab>0
C.b2+8ac>0D.ac<0
7.(2023陕西汉中二模)设函数f(x)=ln x-k(x-),若函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,则k的取值范围是 .
8.(2023湖北武汉模拟)已知函数f(x)=,x∈,则函数f(x)的最小值为 .
二、关键能力提升练
9.(2021新高考Ⅰ,7)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则( )
A.ebC.010.(2022全国甲,理12)已知a=,b=cs,c=4sin,则( )
A.c>b>aB.b>a>c
C.a>b>cD.a>c>b
11.(2023山东烟台二模)已知函数f(x)的定义域为R,其导函数为f'(x),且满足f'(x)+f(x)=e-x,f(0)=0,则不等式(e2x-1)f(x)A.B.
C.(-1,1)D.(-1,e)
12.(2021新高考Ⅰ,15)函数f(x)=|2x-1|-2ln x的最小值为 .
13.(2023全国乙,理16)设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)单调递增,则a的取值范围是 .
14.(2023浙江金华模拟)若存在直线l既是曲线y=x2的切线,也是曲线y=aln x的切线,则实数a的最大值为 .
三、核心素养创新练
15.(2023新疆乌鲁木齐二模)晶胞是构成晶体的最基本的几何单元,是结构化学研究的一个重要方面,在如图1所示的体心立方晶胞中,原子A与B(可视为球体)的中心分别位于正方体的顶点和体心,且原子B与8个原子A均相切,已知该晶胞的边长(图2中正方体的棱长)为2,则当图1中所有原子(8个A原子与1个B原子)的体积之和最小时,原子A的半径为 .
图1
图2
考点突破练17 导数的简单应用
1.A 解析 由题设知,曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线的斜率k=,又因为y'=2a·e2ax,所以y'|x=0=2a=,解得a=.
2.D 解析 函数的定义域为(0,+∞).
y=+lnx=x++lnx,则y'=1-.
令y'>0,解得x>1,所以函数的单调递增区间为(1,+∞).
3.B 解析 显然a≠0,若a<0,则x<0,不合题意,故a>0,则定义域为(0,+∞),
f'(x)=a·,令f'(x)=0,解得x=1,
当0当x>1时,f'(x)>0,此时f(x)单调递增,
故当x=1时,f(x)min=f(1)=lna+1=2,解得a=e,
则f(x)=ln(ex)+,则f=ln+e=e.
4.C 解析 因为a=,b=,c=,所以构造函数f(x)=,所以f'(x)=,由f'(x)=>0,得0e,所以f(x)=在(e,+∞)上单调递减.因为a=f(4),b=f(e),c=f(9),9>4>e,所以b>a>c.故选C.
5.AC 解析 由题意得f'(x)=3x2-1,令f'(x)>0,得x>或x<-,令f'(x)<0,得-所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,所以x=±是极值点,故A正确;
因为f=1+>0,f=1->0,f(-2)=-5<0,所以函数f(x)在上有一个零点,当x≥时,f(x)≥f>0,
即函数f(x)在上无零点,
综上所述,函数f(x)有一个零点,故B错误;
令h(x)=x3-x,该函数的定义域为R,h(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-h(x),
则h(x)是奇函数,(0,0)是h(x)图象的对称中心,将h(x)的图象向上平移一个单位长度得到f(x)的图象,
所以点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心,故C正确;
令f'(x)=3x2-1=2,可得x=±1,又f(1)=f(-1)=1,
当切点为(1,1)时,切线方程为y=2x-1,当切点为(-1,1)时,切线方程为y=2x+3,故D错误.故选AC.
6.BCD 解析 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=.因为函数f(x)既有极大值也有极小值,所以g(x)=ax2-bx-2c在区间(0,+∞)上有两个不同的零点,即一元二次方程ax2-bx-2c=0有两个不同的正实数根,
设为x1,x2,所以
所以b2+8ac>0,且ab>0,ac<0,bc<0,
所以A不正确,B,C,D正确.故选BCD.
7. 解析 ∵f(x)定义域为(0,+∞),f'(x)=-k,f(x)在(0,+∞)上是减函数,
∴f'(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,∴k≥,x>0.
∵,x>0,x+≥2=2,当且仅当x=1时取等号.
∴0<,∴k≥,即k的取值范围是.
8. 解析 因为f(x)=,所以f'(x)=.
记g(x)=2+2sinx-csx,x∈,
则g'(x)=2csx+sinx,因为x∈,
所以g'(x)=2csx+sinx>0,
所以g(x)=2+2sinx-csx在上单调递增,
所以g(x)≥g(0)=2-1=1>0,所以f'(x)>0在上恒成立,所以f(x)=上单调递增,故当x=0时,函数f(x)有最小值且最小值为f(0)=.
9.D 解析 设切点(x0,y0),因为y'=ex,所以切线的斜率k=,则切线方程为y-(x-x0).因为切线过点(a,b),所以b-(a-x0),即方程(a-x0+1)-b=0有两个解.设g(x)=ex(a-x+1)-b,则g'(x)=ex(a-x),令g'(x)=0,解得x=a,所以g(x)在区间(-∞,a)内单调递增,在区间(a,+∞)内单调递减,且当x→+∞时,g(x)→-∞,当x→-∞时,g(x)→-b,所以g(a)>0,-b<0,得ea>b>0.故选D.
10.A 解析 因为a==1-,构造函数h(x)=1-x2-csx,x∈,则h'(x)=-x+sinx,令g(x)=h'(x),则g'(x)=-1+csx≤0,所以g(x)在上单调递减,g(x)≤g(0)=0,即h'(x)≤0,则h(x)在上单调递减,所以h=a-bx>0,所以>1,即bb>a.故选A.
11.C 解析 由f'(x)+f(x)=e-x,得exf'(x)+exf(x)=1,得[exf(x)]'=1.可设exf(x)=x+m,m为实数,
当x=0时,由f(0)=0,得m=0,所以f(x)=xe-x,(e2x-1)f(x)因为g(-x)=-xe-x+xex=g(x),故g(x)为偶函数,
g'(x)=ex+xex+xe-x-e-x,当x≥0时,xex+xe-x≥0,ex-e-x≥0,故g'(x)=ex+xex+xe-x-e-x≥0,所以g(x)在区间[0,+∞)上单调递增.因为g(1)=e-e-1,所以当x≥0时,g(x)=xex-xe-x又因为g(x)为偶函数,故g(x)12.1 解析 f(x)=
当x>时,f'(x)=2-,令f'(x)=0,则x=1,所以当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
所以函数f(x)在区间内的最小值为f(1)=1;
当01.综上,f(x)min=f(1)=1.
13.[,1) 解析 由题意得f'(x)=ax·lna+(1+a)x·ln(1+a).易知f'(x)不恒为0.
∵f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴f'(x)=ax·lna+(1+a)x·ln(1+a)≥0在(0,+∞)上恒成立.
∴(1+)x≥-在(0,+∞)上恒成立,
∴-≤1,∴ln(1+a)≥ln,即1+a≥,
∴a2+a-1≥0,∴a≤或a≥.
又a∈(0,1),∴a∈[,1).
14.2e 解析 由题意知两曲线y=x2与y=alnx(x>0)存在公切线,当a=0时,两曲线为y=x2与y=0(x>0),不合题意;
y=x2的导数为y'=2x,y=alnx的导数为y'=,
设公切线与y=x2相切的切点为(n,n2),与曲线y=alnx相切的切点为(m,alnm),则切线方程为y-n2=2n(x-n),即y=2nx-n2,切线方程也可写为y-alnm=(x-m),即y=x-a+alnm,故=a-alnm,即=1-lnm,即=m2(1-lnm)有解,令g(x)=x2(1-lnx),x>0,则g'(x)=2x(1-lnx)+x2=x(1-2lnx),令g'(x)=0,得x=,当00,当x>时,g'(x)<0,故g(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减,故g(x)的最大值为g()=,
故,所以a≤2e,即实数a的最大值为2e.
15. 解析 因为题图2的正方体的棱长为2,则该正方体的体对角线长为2=6,设A原子的半径为r,B原子的半径为R,依题意,2r+2R=6,即R=3-r,00,因此函数f(r)在上单调递减,在上单调递增,即当r=时,f(r)取得最小值,所以8个A原子与1个B原子的体积之和最小时,原子A的半径为.