适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习考点突破练1三角函数的图象与性质(附解析)
展开1.(2023广西南宁一模)已知sin2α=cs α-1,则sin(α+)=( )
A.1B.-1C.2D.-
2.(2023天津,5)已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=2,一个周期为4,则f(x)的解析式可能为( )
A.sin(x)B.cs(x)
C.sin(x)D.cs(x)
3.(2023辽宁丹东一模)=( )
A.-sin 5-cs 5
B.sin 5-cs 5
C.-sin 5+cs 5
D.sin 5+cs 5
4.(多选题)(2023河北邢台模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示,则( )
A.A=4B.ω=2C.φ=D.k=1
5.(2023全国甲,理10)已知函数f(x)的图象由函数y=cs的图象向左平移个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为( )
A.1B.2C.3D.4
6.(2023山东沂水一中模拟)函数f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的图象如图所示,图中阴影部分的面积为6π,则φ=( )
A.-B.-C.D.
7.(多选题)已知函数f(x)=cs(2x+)的图象为C,则( )
A.图象C关于直线x=对称
B.图象C关于点(,0)中心对称
C.将y=cs 2x的图象向左平移个单位长度可以得到图象C
D.若把图象C向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)是奇函数
8.已知直线x=和x=是函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)图象的两条相邻的对称轴,则满足条件的一个φ的值是 .
9.(2023山东济南一模)已知函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0)在区间[0,]上的值域为[-,1],则ω的取值范围为 .
10.(2023河北衡水中学校考)已知角θ终边上有一点(cs-sin,-cs-sin),则tan θ= .
11.(2023江苏南京师大附中模拟)已知函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<),将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,若g(x)为偶函数,则函数f(x)在区间[0,]上的值域为 .
12.已知函数f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图,f(x)的图象的对称轴方程为x=,k∈Z,则f()= .
二、关键能力提升练
13.(2023广东汕尾模拟)函数f(x)=Acs(ωx+φ)(ω>0,-<φ<)的部分图象如图中实线所示,图中圆C与f(x)的图象交于M,N两点,且点M在y轴上,则下列说法中正确的是( )
A.函数f(x)的最小正周期是
B.函数f(x)在区间()内单调递减
C.函数f(x)的图象关于点(,0)成中心对称
D.将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称
14.(多选题)(2023湖北4月调研)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>0,|φ|<),T为f(x)图象的最小正周期,满足f()=f(),且f(x)在区间(0,π)内恰有两个极值点,则有( )
A.φ=-
B.函数y=f(x+)为奇函数
C.<ω≤
D.若ω∈N*,则直线y=x-为f(x)图象的一条切线
15.(多选题)(2023湖南长沙模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)在区间[0,π]上有且仅有4条对称轴,则下列四个结论正确的是( )
A.f(x)在区间(0,π)上有且仅有3个不同的零点
B.f(x)的最小正周期可能是
C.ω的取值范围是[)
D.f(x)在区间(0,)上单调递增
16.(2021全国甲,理16)已知函数f(x)=2cs(ωx+φ)的部分图象如图所示,则满足条件f(x)->0的最小正整数x为 .
三、核心素养创新练
17.(多选题)(2023浙江绍兴高三期末)主动降噪耳机工作的原理是:先通过微型麦克风采集周围的噪声,然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声.设噪声声波曲线函数为f(x),降噪声波曲线函数为g(x),已知某噪声的声波曲线f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.f(x)=-g(x)
B.f(x)=2sin(2x+)
C.g(x)的单调递减区间为[+kπ,+kπ](k∈Z)
D.函数f(x)的图象可以由函数g(x)的图象向右平移π个单位长度得到
18.(2023河北保定一模)有一街边旧房拆除后,打算改建成矩形花圃ABCD,中间划分出直角三角形MPQ区域种玫瑰,直角顶点M在边AB上,且距离A点5 m,距离B点6 m,且P,Q两点分别在边BC和AD上.已知BC=8 m,则玫瑰园的最小面积为( )
A.30 m2B.15 m2C.30 m2D.15 m2
考点突破练1 三角函数的图象与性质
1.B 解析 ∵sin2α=1-cs2α,∴1-cs2α=csα-1,即cs2α+csα-2=0,∴(csα-1)(csα+2)=0,解得csα=1或csα=-2(舍去).故sin(α+)=-csα=-1.
2.B 解析 由题意可得,函数y=sin(x)和y=cs(x)的最小正周期为=4,函数y=sin(x)和y=cs(x)的最小正周期为=8,故排除C,D;又sin(×2)=0,cs(×2)=-1,所以直线x=2为函数y=cs(x)图象的对称轴.故选B.
3.A 解析 由题得,=|sin5+cs5|.
又<5<,则cs5>0>sin5,且|cs5|<|sin5|,
所以=-(sin5+cs5)=-sin5-cs5.
4.BD 解析 由图象知,函数f(x)=Asin(ωx+φ)+k的最大值为3,最小值为-1,所以A=2,k=1,故A错误,D正确;
由图象,可得T=2×()=π,所以=π,所以ω=2,故B正确;
因为A=2,k=1,ω=2,
则f(x)=2sin(2x+φ)+1.
又f(-)=3,所以2sin[2×(-)+φ]+1=3,
即sin(-+φ)=1.又因为0<φ<π,所以φ=,
所以f(x)=2sin(2x+)+1,故C错误.故选BD.
5.C 解析 由题意知,f(x)=cs[2]=cs=-sin2x.在平面直角坐标系中画出函数y=-sin2x与y=x-的大致图象,如图所示.
由图可知,两函数图象有3个交点.故选C.
6.A 解析 如图所示,区域①和区域③面积相等,故阴影部分的面积即为矩形ABCD的面积.由题可得AB=3,
设函数f(x)的最小正周期为T,则AD=T,
由题意可得3T=6π,解得T=2π,故=2π,解得ω=,即f(x)=tan(x+φ).由图可知,f(x)的图象过点(,-1),
即tan(+φ)=tan(+φ)=-1.
∵φ∈(-),则+φ∈(-),
∴+φ=-,解得φ=-.
7.AC 解析 当x=时,f(x)=cs(2×)=-1,则图象C关于直线x=对称,故A正确;
当x=时,f(x)=cs(2×)=-≠0,故图象C不关于点(,0)中心对称,故B不正确;
将y=cs2x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=cs[2(x+)]=cs(2x+)的图象,故C正确;
若把图象C向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,
则g(x)=cs(2x+)=cs(2x+),而g(0)=cs=-≠0,故g(x)不是奇函数,故D错误.
8.(答案不唯一) 解析 由题可知,,解得ω=2.
当x=时,2×+φ=+kπ,k∈Z,得φ=-+kπ,k∈Z,当k=1时,φ=.
9.[] 解析 当x∈[0,]时,ωx-∈[-ω-].∵f(x)在区间[0,]上的值域为[-,1],∴ω-,解得≤ω≤,即ω的取值范围为[].
10. 解析 由题得,cs=cs()=-sin,sin=sin()=cs,
则tanθ=>0,
tan2θ=,tanθ=.
11.[-,2] 解析 将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到g(x)=2sin[2(x-)+φ]=2sin(2x-+φ)的图象.
又g(x)为偶函数,所以-+φ=+kπ,k∈Z,解得φ=+kπ,k∈Z.因为|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=2sin(2x-).
因为x∈[0,],则2x-∈[-],
所以sin(2x-)∈[-,1],则f(x)∈[-,2].
12.-1 解析 因为函数f(x)的对称轴方程为x=,k∈Z,则两相邻对称轴之间的距离是最小正周期的一半,当k=0时,x=,当k=1时,x=,所以,解得ω=4.
由题图可知,4×+φ=2kπ+,k∈Z,所以φ=2kπ+,k∈Z.又0<φ<π,所以φ=.
因为函数f(x)的图象经过点(0,1),则Acs=1,所以A=2,故f(x)=2cs(4x+),则f()=2cs(4×)=-2cs=-1.
13.B 解析 由对称性可知点C的横坐标为,
所以T=,所以T=π,故A错误;
题图中函数图象的最高点为(,A),整理得(,A).因为T==π,解得ω=2,
所以f()=Acs(+φ)=A,即cs(+φ)=1.
因为-<φ<,所以φ=-,
所以f(x)=Acs(2x-).
令2kπ≤2x-≤2kπ+π,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
当k=0时,可得≤x≤,所以函数f(x)在区间()内单调递减,故B正确;
令2x-+kπ,解得x=,k∈Z,
所以函数的对称中心为(,0),k∈Z,令,解得k=∉Z,故C错误;
将f(x)=Acs(2x-)的图象向左平移个单位长度,得到y=Acs[2(x+)-]=Acs(2x+)=-Asin2x的图象,该图象不关于y轴对称,故D错误.
14.BCD 解析 因为f()=f(),T=,所以sin(π+φ)=sin(+φ),则π+φ=+φ+2kπ(不符合题意,舍去)或π+φ++φ=2(kπ+),
故φ=kπ-,而|φ|<,则φ=-,故A错误;
y=f(x+)=sin(ωx),而sin(-ωx)+sin(ωx)=0,所以函数f(x+)是奇函数,故B正确;
由f(x)=sin(ωx-)在区间(0,π)内恰有两个极值点,根据正弦函数的图象及性质可得<ωπ-,则<ω≤,故C正确;
当ω∈N*时,由选项C可得ω=2,即f(x)=sin(2x-),则f'(x)=2cs(2x-),
当x=0时,f'(0)=1,f(0)=-,则直线y=x-是f(x)=sin(2x-)图象的一条切线,故D正确.故选BCD.
15.BC 解析 由函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0),令ωx+=kπ+,k∈Z,则x=,k∈Z.
因为函数f(x)在区间[0,π]上有且仅有4条对称轴,
即0≤≤π有4个整数k符合.
由0≤≤π,得0≤≤1,即0≤3k+1≤3ω,
则k=0,1,2,3,即1+3×3≤3ω<1+3×4,则≤ω<,
故C正确.
因为x∈(0,π),ωx+∈(,ωπ+),则ωπ+∈[),当ωπ+∈[,4π)时,f(x)在区间(0,π)上有且仅有3个不同的零点;
当ωπ+∈[4π,)时,f(x)在区间(0,π)上有且仅有4个不同的零点,故A错误.
对于B,周期T=,由≤ω<,则,
所以
又≤ω<,所以∈[).又,所以f(x)在区间x∈(0,)上不一定单调递增,故D错误.故选BC.
16.2 解析 由图可知,f(x)的最小正周期T==π,∴ω=2.∵f=2,∴2cs=2,
∴φ=-+2kπ,k∈Z.
∴f(x)=2cs.∴f=f=0,f=f=2cs()=1.
由(f(x)-1)(f(x)-0)>0,得f(x)<0或f(x)>1.
结合图象可知,满足f(x)>1的离y轴最近的正数区间为,无整数;
f(x)<0的离y轴最近的正数区间为,最小正整数x=2.
17.AB 解析 对于A,由已知得,
g(x)=Asin[-(ωx+φ)]=-Asin(ωx+φ)=-f(x),
∴f(x)=-g(x).故选项A正确.
对于B,由图象知,,解得ω=2.
∵f()=Asin(2×+φ)=0,且x=在f(x)的单调递减区间上,∴2×+φ=+φ=2kπ+π,k∈Z,则φ=2kπ+,k∈Z.
∵|φ|<,∴φ=.
又f(0)=Asin=1,解得A=2,∴f(x)=2sin(2x+).故选项B正确.
对于C,由B可知,
g(x)=2sin[-(2x+)]=-2sin(2x+),
由-+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
∴g(x)的单调递减区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z.故选项C错误.
对于D,将函数g(x)的图象向右平移π个单位长度,得y=-2sin[2(x-π)+]=-2sin(2x+-2π)=-2sin(2x+)≠f(x),故选项D错误.故选AB.
18.A 解析 如图所示,
设∠BMP=θ,则∠AMQ=-θ,∠AQM=θ,所以MP=,MQ=,
则S△MPQ=MP·MQ==15=15=15(tanθ+).
又P,Q两点分别在边BC和AD上,
所以BP=6tanθ∈[0,8],AQ=∈[0,8],
所以tanθ∈[].
因为tanθ+≥2=2,当且仅当tanθ=,即tanθ=1时,等号成立,所以S△MPQ=15(tanθ+)≥30,即S△MPQ的最小值为30m2.
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