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适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习压轴大题抢分练1（附解析）
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这是一份适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习压轴大题抢分练1（附解析），共3页。试卷主要包含了已知双曲线C，证明，设P,Q,等内容，欢迎下载使用。
1.(12分)(2023湖南邵阳二模)已知双曲线C:=1(00)的右顶点为A,左焦点F(-c,0)到其渐近线bx+ay=0的距离为2,斜率为的直线l1交双曲线C于A,B两点,且|AB|=.
(1)求双曲线C的方程.
(2)过点T(6,0)的直线l2与双曲线C交于P,Q两点,直线AP,AQ分别与直线x=6相交于M,N两点,试问:以线段MN为直径的圆是否过定点?若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
2.(12分)(2023新高考Ⅱ,22)(1)证明:当0(2)已知函数f(x)=cs ax-ln(1-x2),若x=0是f(x)的极大值点,求a的取值范围.
抢分练1
1.解 (1)∵双曲线C的左焦点F(-c,0)到双曲线C的一条渐近线bx+ay=0的距离d==b,而d=2,∴b=2.
∴双曲线C的方程为=1(0依题意直线l1的方程为y=(x-a).
联立
消去y整理得(36-a2)x2+2a3x-a2(a2+36)=0,
依题意36-a2≠0,Δ>0,设点A,B的横坐标分别为xA,xB,
则xAxB=.∵xA=a,∴xB=.
∴|AB|=|xA-xB|=|xA-xB|=,∴|xA-xB|=8,即|a-|=8,
∵0∴双曲线C的方程为=1.
(2)过定点.依题意直线l2的斜率不等于0,设直线l2的方程为x=my+6.
由消去x整理得(4m2-9)y2+48my+108=0,
∴4m2-9≠0,Δ1>0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则y1+y2=,y1y2=.
易知x1≠3,则直线AP的方程为y=(x-3),令x=6得y=,∴M(6,).同理可得N(6,).
由对称性可知,若以线段MN为直径的圆过定点,则该定点一定在x轴上,
设该定点为R(t,0),则=(6-t,),=(6-t,),
故=(6-t)2+=(6-t)2+=(6-t)2+
=(6-t)2+=(6-t)2-12=0.
解得t=6-2或t=6+2.故以线段MN为直径的圆过定点(6-2,0)和(6+2,0).
2.(1)证明 设h(x)=sinx-x,x∈[0,1],则h'(x)=csx-1≤0对∀x∈[0,1]恒成立,且仅在x=0时有h'(0)=0,
所以函数h(x)在[0,1]上单调递减.
所以对∀x∈(0,1),有h(x)又因为h(0)=0,所以sinx-x<0恒成立.
所以sinx则g'(x)=csx+2x-1.令G(x)=csx+2x-1,则G'(x)=-sinx+2>0对∀x∈[0,1]恒成立,
所以g'(x)在x∈[0,1]上单调递增,且因为g'(0)=1+0-1=0,所以对∀x∈[0,1],g'(x)≥0恒成立,且仅在x=0时有g'(0)=0,所以函数y=g(x)在[0,1]上单调递增.
所以对∀x∈(0,1),有g(x)>g(0)恒成立.又因为g(0)=0,
所以sinx+x2-x>0对∀x∈(0,1)恒成立.
所以x-x2综上可知,x-x2(2)解 若a≠0,当0(ⅰ)若a>0,有a2x-a3x2(ⅱ)若a<0,有a2x+a3x2证明:(ⅰ)当a>0时,由(1)知ax-a2x2(ⅱ)当a<0时,由(1)知-ax-(-ax)2asin(-ax)>-a2x,即a2x+a3x2因为f(x)=csax-ln(1-x2),x∈(-1,1),所以f'(x)=-asinax-=-asinax+,满足f'(0)=-asin0+0=0.因为f'(-x)=asinax-=-f'(x),
所以函数f'(x)为奇函数.
①若a=0,则f'(x)=.
当x∈(-1,0)时,f'(x)<0;
当x∈(0,1)时,f'(x)>0.
故x=0是函数f(x)的极小值点,不符合题意.
②若a∈(,+∞),则当0≤xa2x-a3x2.
所以f'(x)<-a2x+a3x2+=x.
令F1(x)=+a3x-a2,0≤x则F'1(x)=+a3>0,故当0≤x所以存在t1>0,使得F1(x)在(0,t1)上恒小于0,
此时f'(x)又因为函数f'(x)是奇函数,所以在(-t1,0)内有f'(x)>0.
因此函数f(x)在(-t1,0)内单调递增,在(0,t1)内单调递减,所以x=0是函数f(x)的极大值点.
③若a∈(-∞,-),
则当0≤x所以f'(x)<-a2x-a3x2+=x.
令F2(x)=-a3x-a2,则F'2(x)=-a3>0,
故当0又因为F2(0)=2-a2<0,
所以存在t2>0,使得F2(x)在(0,t2)上恒小于0,
此时f'(x)又因为函数f'(x)是奇函数,所以在(-t2,0)内有f'(x)>0.
因此函数f(x)在(-t2,0)内单调递增,在(0,t2)内单调递减,所以x=0是函数f(x)的极大值点.
④若a∈[-],
则当0≤x所以f'(x)=-asinax+-a2x=x≥x>x(2-2)=0.
此时,与x=0是函数f(x)的极小值点矛盾.
综上可知,实数a的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞).
1.(12分)(2023湖南邵阳二模)已知双曲线C:=1(0
(1)求双曲线C的方程.
(2)过点T(6,0)的直线l2与双曲线C交于P,Q两点,直线AP,AQ分别与直线x=6相交于M,N两点,试问:以线段MN为直径的圆是否过定点?若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
2.(12分)(2023新高考Ⅱ,22)(1)证明:当0
抢分练1
1.解 (1)∵双曲线C的左焦点F(-c,0)到双曲线C的一条渐近线bx+ay=0的距离d==b,而d=2,∴b=2.
∴双曲线C的方程为=1(0
联立
消去y整理得(36-a2)x2+2a3x-a2(a2+36)=0,
依题意36-a2≠0,Δ>0,设点A,B的横坐标分别为xA,xB,
则xAxB=.∵xA=a,∴xB=.
∴|AB|=|xA-xB|=|xA-xB|=,∴|xA-xB|=8,即|a-|=8,
∵0
(2)过定点.依题意直线l2的斜率不等于0,设直线l2的方程为x=my+6.
由消去x整理得(4m2-9)y2+48my+108=0,
∴4m2-9≠0,Δ1>0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则y1+y2=,y1y2=.
易知x1≠3,则直线AP的方程为y=(x-3),令x=6得y=,∴M(6,).同理可得N(6,).
由对称性可知,若以线段MN为直径的圆过定点,则该定点一定在x轴上,
设该定点为R(t,0),则=(6-t,),=(6-t,),
故=(6-t)2+=(6-t)2+=(6-t)2+
=(6-t)2+=(6-t)2-12=0.
解得t=6-2或t=6+2.故以线段MN为直径的圆过定点(6-2,0)和(6+2,0).
2.(1)证明 设h(x)=sinx-x,x∈[0,1],则h'(x)=csx-1≤0对∀x∈[0,1]恒成立,且仅在x=0时有h'(0)=0,
所以函数h(x)在[0,1]上单调递减.
所以对∀x∈(0,1),有h(x)
所以sinx
所以g'(x)在x∈[0,1]上单调递增,且因为g'(0)=1+0-1=0,所以对∀x∈[0,1],g'(x)≥0恒成立,且仅在x=0时有g'(0)=0,所以函数y=g(x)在[0,1]上单调递增.
所以对∀x∈(0,1),有g(x)>g(0)恒成立.又因为g(0)=0,
所以sinx+x2-x>0对∀x∈(0,1)恒成立.
所以x-x2
所以函数f'(x)为奇函数.
①若a=0,则f'(x)=.
当x∈(-1,0)时,f'(x)<0;
当x∈(0,1)时,f'(x)>0.
故x=0是函数f(x)的极小值点,不符合题意.
②若a∈(,+∞),则当0≤x
所以f'(x)<-a2x+a3x2+=x.
令F1(x)=+a3x-a2,0≤x
此时f'(x)
因此函数f(x)在(-t1,0)内单调递增,在(0,t1)内单调递减,所以x=0是函数f(x)的极大值点.
③若a∈(-∞,-),
则当0≤x
令F2(x)=-a3x-a2,则F'2(x)=-a3>0,
故当0
所以存在t2>0,使得F2(x)在(0,t2)上恒小于0,
此时f'(x)
因此函数f(x)在(-t2,0)内单调递增,在(0,t2)内单调递减,所以x=0是函数f(x)的极大值点.
④若a∈[-],
则当0≤x
此时,与x=0是函数f(x)的极小值点矛盾.
综上可知,实数a的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞).
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