新疆阿图什市克孜勒苏柯尔克孜自治州第一中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析）

这是一份新疆阿图什市克孜勒苏柯尔克孜自治州第一中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析），共19页。
一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设直线的倾斜角为，根据直线方程求得斜率，然后利用求解.
【详解】设直线的倾斜角为，
因为直线方程为，
所以直线的斜率为，
所以，
因为，
所以.
故选：B
2. 已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案.
【详解】设圆心，则，
化简得，
所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
所以，所以，
当且仅当在线段上时取得等号，
故选：A.
【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.
3. 已知空间四点，，，共面，则（ ）
A. 0B. 2C. 4D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据四点共面推出向量共面，再根据共面向量定理列式可求出结果.
【详解】因为，，，，
所以，，
因为空间四点，，，共面，
所以、、共面，
所以存在实数使得，
所以，
所以，解得.
故选：D
4. 已知圆过，，三点，则圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设圆的方程为，解方程组即得解.
【详解】设圆的方程为，
由题意得，
解得，，．
圆的方程是．
故选：D．
【点睛】方法点睛：求圆的方程，一般利用待定系数法，先定式（一般式和标准式），再定量.
5. 如图，在平行六面体中，点M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到，即可求解.
【详解】由题意，根据空间向量的运算法则，可得
.
故选：A.
6. 若过点的直线与以点为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先在直角坐标系中作出三点，再求出的斜率，进而求出对应的倾斜角，结合图象可知直线的倾斜角的取值范围.
【详解】如图所示，设的倾斜角为，的倾斜角为，则所求直线的倾斜角的取值范围为，
易得，，
又因为，所以，
所以所求直线的倾斜角的取值范围为.
故选：A.

7. 若圆与圆相切，则实数的取值集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将圆的方程化为标准式，即可求出圆心坐标与半径，再分两圆相内切与外切两种情况讨论，分别得到方程，解得即可；
【详解】解：圆，即圆，圆心为，半径，
圆，即，圆心为，半径；
当两圆相外切，则圆心距等于半径之和，，解得或，
当两圆相内切，则圆心距等于半径之差，，解得或，
综上可得；
故选：D
8. 已知点P，A，B，C在同一个球的球表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PB=，BC=，PC=，则该球的表面积为（ ）
A. 6πB. 8πC. 12πD. 16π
【答案】A
【解析】
【分析】
首先利用补体，将三棱锥补体在长方体中，然后根据条件求长方体的外接球的半径和该球的表面积.
【详解】如图，三棱锥补体在长方体中，三棱锥的外接球就是补体后长方体的外接球，长方体的外接球的直径
，
即，
则该球的表面积.
故选：A
【点睛】本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为，那么外接球的直径，（2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立的方程.
二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 在上的投影向量为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据向量平行、垂直的坐标表示可判断AC；直接求向量的模可判断B；分别求出在上的投影和与同向的单位向量，然后根据投影向量的定义计算可判断D.
【详解】因为
所以，
所以，A正确；
因为，，所以B正确；
，因为，所以与不平行，故C错误；
在上的投影，与同向的单位向量为，
所以在上的投影向量为，D正确.
故选：ABD
10. 下列选项正确的是（ ）
A. 过点且和直线垂直的直线方程是
B. 若直线的斜率，则直线倾斜角的取值范围是
C. 若直线与平行，则与的距离为
D. 已知点，则点关于原点对称点的坐标为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，结合直线垂直的性质，即可求解，对于B，结合直线斜率与倾斜角的关系，即可求解，对于C，结合直线平行的性质，即可求解，对于D，根据已知条件，结合点对称的性质，即可求解．
【详解】对于A，设与直线垂直的直线方程为：，
把点代入，解得，过点，且与直线垂直直线方程是，故正确；
对于B，，且，，当，时，，当时，，直线倾斜角的取值范围是，故错误；
对于C，若直线与平行，则，解得，
故与的距离是：，故正确；
对于D，点A关于原点对称点的坐标为，故正确．
故选：ACD．
11. 过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线的方程．
【详解】根据题意知圆的圆心为，半径，
若切线的斜率不存在，此时切线的方程为，符合题意；
若切线的斜率存在，设切线方程为，即，
则有，解可得，所以切线方程为，
综上可知，切线方程为或.
故选：BC．
12. 已如函数，则以下结论正确的是（ ）
A. 函数y＝f（x）存在极大值和极小值B.
C. 函数y＝存在最小值D. 对于任意实数k，方程＝kx最多有3个实数解
【答案】BC
【解析】
【分析】利用导数证明函数在x＝－3处取得极小值，也是最小值，没有极大值，A错误，C正确；利用函数的单调性证明B正确；证明＝kx有4个实数解，故D错误.
【详解】解：，当x＞－3时，，函数单调递增，当x＜－3时，，函数单调递减，函数在x＝－3处取得极小值，也是最小值，没有极大值，A错误，C正确；
当x＞－3时，函数单调递增，且，所以，B正确：
由＝kx得有一零点x＝0，令，则，如图，当x＞0或x＜－2时，，函数单调递增，当－2＜x＜0时，，函数单调递减，又，h（0）＝0，当时，与y＝k有3个交点，此时＝kx有4个实数解，故D错误，
故选：BC.
三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 在正方体中，二面角的余弦值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设正方体棱长为1，则，，，，，，，．
设平面和平面的法向量分别为和，
则，取，得，
，取，得，
则，
显然二面角是钝二面角，所以其余弦值为．
故答案为：
14. 已知点分别是圆及直线上的动点，是坐标原点则最小值为_____.
【答案】1
【解析】
【分析】因为，表示圆上的点到直线上点的距离，要求最小值，则转化为圆上的点到直线的距离，为此最小值即为圆心到直线的距离减去半径，所以再求圆心到直线的距离即可.
【详解】因为，表示两点间的距离，
又因为分别是圆及直线上的动点，
所以的最小值为圆心到直线的距离减半径，
圆心到直线的距离
所以圆上的点到直线的最小值为
所以最小值为1
故答案为：1
【点睛】本题主要考查了向量模的几何意义和直线与圆的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
15. 中，A为动点，，且满足，则A点的轨迹方程为______．
【答案】.
【解析】
【分析】根据正弦定理和椭圆的定义进行求解即可.
【详解】根据正弦定理，由，
所以点A点的轨迹是以，为焦点的椭圆，不包括两点，
由，
所以A点的轨迹方程为，
故答案为：.
16. 已知空间向量，，那么在上的投影向量为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量的数量积的概念与几何意义，结合投影向量的计算方法，即可求解.
【详解】由题意，空间向量，，
可得，
所以在上的投影向量为，
故答案为：.
四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知圆内有一点，过点P作直线l交圆C于A，B两点.
（1）当P为弦的中点时，求直线l的方程；
（2）若直线l与直线平行，求弦的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意，，求出直线l的斜率，利用点斜式即可求解；
（2）由题意，利用点斜式求出直线l的方程，然后由点到直线的距离公式求出弦心距，最后根据弦长公式即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，圆心，P为弦的中点时，由圆的性质有，又，
所以，
所以直线l的方程为，即；
【小问2详解】
解：因为直线l与直线平行，所以，
所以直线方程为，即，
因为圆心到直线的距离，又半径，
所以由弦长公式得.
18. 如图，已知，，，，，，，，为空间的个点，且，，，，，，．
（1）求证：，，，四点共面，，，，四点共面；
（2）求证：平面平面；
（3）求证：．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用空间向量共面定理即可求证；
（2）由空间向量线性运算可得，由空间向量共线定理可证明，再由线面平行的判定定理可得平面，同理可证明平面，由面面平行的判定定理即可求证；
（3）由（2）知，再利用空间向量的线性运算即可求证.
【小问1详解】
因为，，
所以，，共面，即，，，四点共面．
因为，，
所以，，共面，即，，，四点共面．
【小问2详解】
连接，，
，所以，
又因为平面，平面，所以平面．
因为，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为与相交，所以平面平面．
【小问3详解】
由（2）知，所以．
19. 已知直线，．
（Ⅰ）若，求，间的距离；
（Ⅱ）求证：直线必过第三象限．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
【分析】（Ⅰ）根据，求出参数，再根据平行线间的距离公式求出距离；
（Ⅱ）求出直线恒过定点，该定点在第三象限即可．
详解】（Ⅰ）若，直线，，
则有，求得，故直线即：，
故，间的距离为．
（Ⅱ）证明：直线，即，
必经过直线和直线的交点，而点在第三象限，
直线必过第三象限．
【点睛】两直线平行求参数时，要注意检验直线是否有重合的情况.
20. 如图，在三棱锥中，底面是等腰直角三角形，，，，分别为棱，，的中点，且，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析（2）．
【解析】
【分析】（1）推导出，，，由此能证明平面．
（2）推导出平面，，平面，以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．
【详解】（1）证明：，，分别为棱，，的中点，
，，，
，，即，
，，
，，，平面，
平面．
（2）解：由（1）知平面，，平面，
又是等腰直角三角形，是中点，，
以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，
则
则
设平面的法向量，，，
则，取，得，，，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
【点睛】
本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21. 国家主席习近平指出：中国优秀传统文化有着丰富的哲学思想、人文精神、教化思想、道德理念等，可以为人们认识和改造世界提供有益启迪.我们要善于把弘扬优秀传统文化和发展现实文化有机统一起来，在继承中发展，在发展中继承.《九章算术》作为中国古代数学专著之一，在其“商功”篇内记载：“斜解立方,得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.刘徽注解为：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云”. 鳖臑，是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称.在四面体中，PA⊥平面ACB.
（1）如图1，若D、E分别是PC、PB边的的中点，求证：DE平面ABC；
（2）如图2，若，垂足为C，且，求直线PB与平面APC所成角大小；
（3）如图2，若平面APC⊥平面BPC，求证：四面体为鳖臑.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用线面平行判定定理去证明DE平面ABC；（2）先作出直线PB与平面APC所成角，再去求其大小即可解决；（3）先证明平面APC，进而得到四面体四个面均为直角三角形，则四面体为鳖臑.
【小问1详解】
由D、E分别是PC、PB边的的中点，可得，
又平面ABC，平面ABC
则DE平面ABC
【小问2详解】
由PA⊥平面ACB，平面ABC，可得
又，,平面APC，平面APC
则平面APC，则为直线PB与平面APC所成角.
又，可得
则中，，，则
则直线PB与平面APC所成角为
【小问3详解】
在中，过点A作于G，
又平面APC⊥平面BPC，平面APC平面BPC
则平面BPC，又平面PBC，则，
由PA⊥平面ACB，平面ABC，可得
又，平面APC，平面APC
则平面APC，又平面APC，平面APC
则,，则为直角三角形
又为直角三角形，则四面体为鳖臑.
22. 在平面直角坐标系xOy中，圆C：
（1）若圆C与x轴相切，求实数a的值；
（2）若M，N为圆C上不同的两点，过点M，N分别作圆C的切线，若与相交于点P，圆C上异于M，N另有一点Q，满足，若直线：上存在唯一的一个点T，使得，求实数a的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据圆的一般方程求得圆心和半径，结合圆与轴相切求得的值.
（2）求得的轨迹方程，结合直线：上一存在唯一点，使得列方程，解方程求得的值.
【详解】（1）圆的方程可以化为：，
所以圆心，半径为2，
因为圆与轴相切，所以，所以.
（2）因为点在圆上，且，
所以，
因为分别是圆的切线，
所以，即点在以为圆心，为半径的圆上，
所以点的轨迹方程为，
设，，
由得，
所以，即，所以，
因为直线：上一存在唯一点，使得，
所以只有一组解，
所以，所以
【点睛】本小题主要考查圆的方程，考查直线和圆的位置关系，属于中档题.