2023-2024学年江苏省连云港市东海县高一上学期期中数学试题(含解析 )

展开

这是一份2023-2024学年江苏省连云港市东海县高一上学期期中数学试题(含解析 )，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M=-1,1,3,5,N=-2,1,2,3,5，则M∩N=( )
A. {-1,1,3 }B. {1,2,5 }C. {1,3,5 }D. φ
2.不等式x-12( )
A. {x|1C. {x|-43.已知函数f(x)=x+2,x≤0,x+1x,(x>0),则f(f(a))=2，则a=( )
A. 0或1B. -1或1C. 0或-2D. -2或-1
4.已知实数a，b，c满足c( )
A. aca-c>0B. cb2acD. cb-a<0
5.定义在R上的偶函数fx满足：对任意的x1,x2∈0,+∞,x2-x1fx2-fx1<0,(x1≠x2)，下列判断正确的是
( )
A. f3C. f36.已知f(x)= x+1+ 3-x，则函数g(x)=f(x+1)x-1的定义域是
( )
A. [-2,1)∪(1,2]B. [0,1)∪(1,4]C. [0,1)∪(1,2]D. [-1,1)∪(1,3]
7.已知a、b、m是正数，“ab+ma+m”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.存在函数fx满足：对任意x∈R都有
( )
A. fx=x+1xB. fx+1=x2
C. fx2=x+1D. fx2+2x=x+1
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.某校高一年级组织趣味运动会，有跳远、球类、跑步三项比赛，一共有28人参加比赛，其中有16人参加跳远比赛，有8人参加球类比赛，有14人参加跑步比赛，同时参加跳远和球类比赛的有3人，同时参加球类和跑步比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则( )
A. 同时参加跳远和跑步比赛的有4人B. 仅参加跳远比赛的有8人
C. 仅参加跑步比赛的有7人D. 同时参加两项比赛的有10人
10.下列命题正确的是( )
A. “∃x0∈R，x02+a-1x0+1<0”的否定为“∀x0∉R，x02+a-1x0+1≥0”
B. 若xy>0，1x+2y=1，则2x+y的最小值为8
C. 函数fx=2x的减区间是-∞,0∪0,+∞
D. 二次函数fx=x2-4x的零点是x1=0，x2=4
11.函数f(x)=xx2+a的图象可能是
( )
A. B.
C. D.
12.定义在0,+∞的函数fx满足如下条件：①fxy=fxy+fyx；②当x>1时，fx>0.则下列说法正确的是
( )
A. f1=0
B. 当0C. fx在0,1上单调递减
D. 不等式2-xfx-2≥xfx的解集为2, 2+1
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.3lg32+932+lg52+2lg2= ．
14.已知fx是R上的奇函数，且x>0时，fx=x2-2x-1，则x<0时，fx=_________．
15.若函数f(x)=x2+2ax+3,x≤1-x+1,x>1是R上的减函数，则实数a的取值范围是___________．
16.已知A=a1+a2+⋯+an，(ai∈N*,i=1,2,⋯,n,n≥2)，且a1⋅a2⋯anmax=108，则n= ，A= ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
已知集合A={x|x2-ax+3=0}，
(1)若1∈A，求实数a的值
(2)若集合B={x|2x2-bx+b=0}，且A∩B=3，求A∪B
18.(本小题12.0分)
已知 a-1 a= 5，求下列各式的值．
(1)a+a-1
(2)a32+a-32a12+a-12
(3)a32-a-32a-a-1
19.(本小题12.0分)
解关于x的不等式mx2+(2m-1)x-2>0(m∈R).
20.(本小题12.0分)
如图，一份纸质宣传单的排版面积(矩形ABCD)为P，它的左右两边留有宽为a的空白，上下两边留有宽为2a的空白．
(1)若AB=20cm，BC=30cm，且该宣传单的面积不超过1000cm2，求a的取值范围；
(2)若a=2cm，P=800cm2，当边AB多长时，纸的用量最少？
21.(本小题12.0分)
已知函数fx=2x2+axx2+b是定义在R上的偶函数，且f1=1．
(1)求实数a､b的值，并用定义法证明函数fx在0,+∞上是增函数；
(2)解关于t的不等式ft-1-ft<0．
22.(本小题12.0分)
对任意实数a、b，记Fa,b=b,a≥ba,a(1)当x∈-2,1时，恒有hx=fx，求实数m的取值范围；
(2)求hx在0,6上的最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】根据交集的定义，直接运算求解即可．
解：∵M=-1,1,3,5,N=-2,1,2,3,5，
∴M∩N={1,3,5 }
故选：C
2.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式的解法，是基础题．
把不等式化为x2-3x-4<0，求出解集即可．
解：不等式x-12即x-4x+1<0，
解得-1所以不等式的解集为{x|-1故选：B．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查分段函数求函数的值，属于难题．
根据解析式，讨论x的范围，代入分段函数求解即可．
【解答】
解：当x⩽0时，f(x)=x+2⩽2，若f(f(a))=2，则fa=0，所以a+2=0，解得a=-2；
当x>0时，f(x)=1x+x⩾2 1x·x=2，(当且仅当x=1时等号成立)，若f(f(a))=2，则fa=1，所以a+2=1，解得a=-1．
故选：D．
4.【答案】C
【解析】【分析】由已知可得a>0,c<0，然后利用不等式的性质逐个分析判断即可
解：因为实数a，b，c满足c所以a>0,c<0，
对于A，因为a>c，所以a-c>0，因为ac<0，所以aca-c<0，所以 A错误，
对于B，若a>b>0，则a2>b2，因为c<0，所以ca2对于C，因为b>c,a>0，所以ab>ac，所以 C正确，
对于D，因为b0，所以 D错误，
故选：C
5.【答案】A
【解析】【分析】利用函数的奇偶性与单调性一一判定即可．
解：由x2-x1fx2-fx1<0可知，
当x1fx1，当x1>x2时，fx2即fx在0,+∞上单调递减，
又fx是偶函数，所以f3故选：A
6.【答案】A
【解析】【分析】先求出f(x)的定义域，结合分式函数分母不为零求出g(x)的定义域．
解：∵f(x)= x+1+ 3-x，∴x+1≥03-x≥0,∴-1≤x≤3,∴f(x)的定义域为x∈-1,3．
又∵g(x)=f(x+1)x-1，∴-1≤x+1≤3x-1≠0,∴-2≤x≤2且x≠1
∴g(x)=f(x+1)x-1的定义域是[-2,1)∪(1,2]．
故选：A
7.【答案】C
【解析】【分析】利用作差法得出ba>b+ma+m的等价条件，即可得出结论．
解：由ba-b+ma+m=ba+m-ab+ma+mb+m=ma+mb+mb-a>0，
因为a、b、m是正数，则ma+mb+m>0，
可得ba>b+ma+m等价于b-a>0，等价于a所以，“ab+ma+m”的充要条件．
故选：C．
8.【答案】D
【解析】【分析】根据函数的定义一一判断即可．
解：对于A：函数fx=x+1x的定义域为x|x≠0，故 A错误；
对于B：令x+1=1，解得x=-2或x=0，所以f1的值不唯一，故 B错误；
对于C：令x2=1，解得x=1或x=-1，所以f1的值不唯一，故 C错误；
对于D：fx2+2x=x+1= x2+2x+1，
令t=x2+2xt≥-1，则ft= t+1t≥-1，
所以fx= x+1x≥-1，故 D正确；
故选：D
9.【答案】ACD
【解析】【分析】根据已知条件作出韦恩图即可求解
解：设同时参加跳远和跑步比赛的有x人，由题意画出韦恩图，如图，
则13-x+3+2+x+3+11-x=28，解得x=4，故 A正确；
仅参加跳远比赛的人数为13-4=9，故 B错误；
仅参加跑步比赛的人数为11-4=7，故 C正确；
同时参加两项比赛的人数为3+3+4=10，故 D正确；
故选：ACD
10.【答案】BD
【解析】【分析】利用存在量词命题的否定可判断A选项；将代数式2x+y与1x+2y相乘，展开后利用基本不等式可判断B选项；利用反比例函数的单调性可判断C选项；利用函数零点的定义可判断D选项．
解：对于A选项，“∃x0∈R，x02+a-1x0+1<0”的否定为“∀x0∈R，x02+a-1x0+1≥0”，A错；
对于B选项，若xy>0，1x+2y=1，则x>0，y>0，
所以，2x+y=1x+2y2x+y=4+4xy+yx≥4+2 4xy⋅yx=8，
当且仅当4xy=yx1x+2y=1x>0,y>0时，即当x=2y=4时，等号成立，
故2x+y的最小值为8，B对；
对于C选项，函数fx=2x的减区间是-∞,0、0,+∞，C错；
对于D选项，解方程x2-4x=0，解得x1=0，x2=4，
所以，二次函数fx=x2-4x的零点是x1=0，x2=4，D对．
故选：BD．
11.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查了函数图象的识别，属中档题．
对a分类讨论，分别求得对应函数的定义域、判断奇偶性即可得解．
【解答】
解：由题可知，函数f(x)= xx2+a，
若a=0，则f(x)=xx2=1x，
定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，选项C中的图象符合;
若a>0，不妨取a=1，则f(x)= xx2+1，函数定义域为R，且是奇函数，
当x=0时，f(0)=0，当x≠0时，函数可化为f(x)=1x+1x，
则f(x)在(-∞,-1)，(1,+∞)上单调递减，在(-1,0)，(0,1)上单调递增，选项B中的图象符合;
若a<0，不妨取a=-1，
则f(x)= xx2-1，定义域为{x|x≠±1}，且是奇函数，
当x=0时，f(0)=0，当x≠0时，f(x)=1x-1x，
则f(x)在(-∞,-1)，(-1,0)，(0,1)，(1,+∞)上单调递减，选项A中的图象符合．
故不可能是选项D．
故选ABC．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】利用赋值法结合抽象函数的单调性与一元二次不等式的解法一一判定即可．
解：令x=y=1，则由题意可得f1=f11+f11⇒f1=0，即 A正确；
令xy=1，即y=1x，则由题意可得f1=fx1x+f1xx=0⇒1xf1x=-xfx，
因为x>1时，fx>0，所以x>1时有0<1x<1,1xf1x=-xfx<0，
即f1x<0，所以0令0fx2-fx1=fx1⋅x2x1-fx1=fx1x2x1+fx2x1x1-fx1=x1-x2x2fx1+1x1fx2x1
结合AB选项结论，可知x2x1>1⇒fx2x1>0，x1-x2x2<0,fx1<0，
所以fx2-fx1>0，即fx在0,1上单调递增，故 C错误；
对于不等式2-xfx-2≥xfx，显然x>2才有意义，
原式可化为fxx-2+fx-2x≤0，即fxx-2≤0，
由上可知0故选：ABD
13.【答案】30
【解析】【分析】
本题考查对数的运算法则的应用，是基础题．
根据指数与对数的运算即可得解．
【解答】
解： 3lg32+932+lg52+2lg2=2+33+lg(52×22)=2+27+1=30 ．
故答案为：30．
14.【答案】-x2-2x+1
【解析】【分析】当x<0时，求出f-x的表达式，再利用奇函数的定义可求出fx在x<0时的表达式．
解：当x<0时，-x>0，则f-x=-x2-2⋅-x-1=x2+2x-1，
又因为函数fx是R上的奇函数，则当x<0时，fx=-f-x=-x2-2x+1．
故答案为：-x2-2x+1．
15.【答案】-2,-1
【解析】【分析】根据二次函数性质，结合已知分段函数的性质有-a≥11+2a+3≥0，即可求参数范围．
解：由y=x2+2ax+3开口向上且对称轴为x=-a，又f(x)在R上的减函数，
所以-a≥11+2a+3≥-1+1=0⇒-2≤a≤-1，即实数a的取值范围是-2,-1．
故答案为：-2,-1
16.【答案】5；13
【解析】【分析】在正整数a1,a2,⋯,an的和一定时，由a1a2⋯an最大为22×33得ai中最大者与最小者之差不超过1，再分析推理求解即可．
解：依题意，不妨令a1≤a2≤⋯≤an，由于a1+a2+⋯+an=A,ai∈N*，
而a1a2⋯an最大为22×33，则ai中最大者与最小者之差不超过1，
若ai=a1(i∈N*,i≤n)，则a1n=108=22×33，而a1∈N*，显然a1不存在，
因此ai不全相等，由22×33知，不同取值的 ai只有2个，假设有m个a1，则有n-m个a1+1，
于是a1a2⋯an≤a1m(a1+1)n-m，显然a1m(a1+1)n-ma1m+1(a1+1)n-m-1=a1+1a1>1，
要使a1a2⋯an最大，则a1个数尽可能少，a1+1个数尽可能多，
若a1取1个，a1a2⋯an≤a1(a1+1)n-1=22×33，此时不存在正整数a1，
若a1取2个，a1a2⋯an≤a12(a1+1)n-2=22×33，解得a1=2,n=5，A=2+2+3+3+3=13，
所以n=5,A=13．
故答案为：5；13
17.【答案】解：(1)
因为1∈A，故可得1-a+3=0，解得a=4．
故实数a的值为4．
(2)
因为A∩B=3，故3是方程x2-ax+3=0的根，
则9-3a+3=0，解得a=4，此时x2-4x+3=0，
即x-1x-3=0，解得x=1或x=3，故A=1,3；
又3是方程2x2-bx+b=0的根，
则18-3b+b=0，解得b=9，此时2x2-9x+9=0，
即2x-3x-3=0，解得x=3或x=32，故B=3,32；
故A∪B=1,3,32．

【解析】【分析】(1)根据1是方程x2-ax+3=0的根，代值计算即可；
(2)根据3是x2-ax+3=0和2x2-bx+b=0的根，代值求得a,b，再求得集合A,B以及其并集即可．
18.【答案】解：(1)
由 a-1 a= 5，可知a>0，
因为a12-a-122=a+a-1-2=5，故a+a-1=7
(2)
a32+a-32a12+a-12=a12+a-12a-1+a-1a12+a-12=a-1+a-1=6
(3)
由(1)知a+a-1=7，所以a12+a-122=a+a-1+2=9
又因为a12+a-12>0，所以a12+a-12=3
所以a32-a-32a-a-1=a12-a-12a+1+a-1a12+a-12a12-a-12=a+1+a-1a12+a-12=83

【解析】【分析】(1)根据指数幂的运算，结合完全平方公式即可求解，
(2)根据指数幂的运算，结合立方和的公式即可化简求解，
(3)由立方差的公式，化简即可求解．
19.【答案】解：当m=0时，不等式为-x-2>0，解得x<-2；
当m≠0时，不等式变形为(mx-1)(x+2)>0，
①若m<-12，则-2②若m=-12，(x+2)2<0，所以x∈⌀，
③若-12④若m>0，则x>1m或x<-2．
综上所述，当m<-12时，x∈-2,1m；
当m=-12时，x∈⌀；
当-12当m=0时，x∈(-∞,-2)；
当m>0时，x∈-∞,-2∪1m,+∞．

【解析】【分析】本小题主要考查含参数分类讨论一元二次不等式的解法，属于中档题．
当m=0时，变为一元一次不等式来求解；当m≠0时，对m进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法，求得不等式的解集．
20.【答案】(1)
解：由宣传单的面积不超过1000cm2可得：20+2a30+4a≤1000，
化简得2a2+35a-100≤0⇒2a-5a+20≤0，
解得-20≤a≤52，又a>0，所以0(2)
解：设AB=xcm，则BC=800xcm，设宣传单的面积为S，
则S=x+4800x+8=8x+3200x+832≥832+2 8x⋅3200x=1152，
当且仅当8x=3200xx>0，即x=20时取等号．
所以当AB长为20cm，才能使纸的用量最少．

【解析】【分析】(1)根据题意可得出关于a的不等式，结合a>0可得出a的取值范围；
(2)设AB=xcm，则BC=800xcm，设宣传单的面积为S，根据题意可得出S关于x的函数关系式，利用基本不等式可求得S的最小值及其对应的x值，即可得解．
21.【答案】解：(1)
因为函数fx=2x2+axx2+b是定义在R上的偶函数，
∴f-x=fx恒成立，
即2-x2+a-x-x2+b=2x2+axx2+b，
∴a=0，f1=21+b=1，
∴b=1．
综上，a=0，b=1．
证明：因为fx=2x2x2+1，x∈0,+∞，
任取x1，x2，使得0所以fx1-fx2=2x12x12+1-2x22x22+1=2x12x22+1-2x22x12+1x12+1⋅x22+1，
=2x12-x22x12+1⋅x22+1=2x1-x2x1+x2x12+1⋅x22+1．
又00，x12+1>0，x22+1>0，
∴2x1-x2x1+x2x12+1⋅x22+1<0，
∴fx1-fx2<0，即fx1∴fx在0,+∞上为增函数．
(2)
∵ft-1-ft<0，∴ft-1∵fx是定义在R上的偶函数，∴ft-1∵当x>0时，fx>f0=0，
结合(1)可得fx在0,+∞上单调递增，．
∴t>t-1，即t2>t-12，
∴t>12．
故不等式的解集为12,+∞．

【解析】【分析】(1)根据函数为偶函数求出a，再由f1=1求出b，利用定义法证明单调性即可；
(2)根据偶函数性质可得f|t-1|22.【答案】解：(1)
当x∈-2,1时，恒有hx=fx，则fx≤gx，
即x2-mx+2m≤2-2x，即x2-m-2x+2m-2≤0在-2,1上恒成立．
令Mx=x2-m-2x+2m-2，则M-2=4m-2≤0M1=m+1≤0，解得m≤-1．
(2)
先求fx在0,6上的最小值：
因为fx=x2-mx+2m，所以fx的对称轴为直线x=m2，
当m2≤0时，即m≤0时，函数fx在0,6上单调递增，则fxmin=f0=2m；
当0当m2≥6，即m≥12时，函数fx在0,6上单调递减，则fxmin=f6=36-4m．
所以，fxmin=2m,m≤0-m24+2m,0因为gx=2x-1在0,6上的最小值为0(当x=1时取最小值)．
因为hx=Ffx,gx，
当m≤0时，2m≤0，则hxmin=0，
当0由-m24+2m<0，即m2-8m>0，解得8此时，hxmin=0,0当m≥12时，36-4m<0，此时，hxmin=36-4m．
综上所述，hxmin=2m,m≤00,0
【解析】【分析】(1)分析可知，x2-m-2x+2m-2≤0在-2,1上恒成立，令Mx=x2-m-2x+2m-2，可得出M-2≤0M1≤0，即可求出实数m的取值范围；
(2)求出函数fx、gx在区间0,6上的最小值，然后对m的取值进行分类讨论，比较fx、gx最小值的大小，即可得出函数求hx在0,6上的最小值．

2023-2024学年江苏省连云港市东海县高一上学期期中数学试题(含解析 )

更专业

更丰富

更便捷

真低价

欢迎来到教习网