2023-2024学年江苏省南通市启东市百杏中学八年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南通市启东市百杏中学八年级（上）10月月考数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列各图中，正确画出AC 边上的高的图形是
( )
A. B.
C. D.
3.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是( )
A. ∠B=∠C B. AD=AE
C. BD=CE D. BE=CD
4.已知三条线段的长分别是3，8，a若它们能构成三角形，则整数a的最大值是( )
A. 11B. 10C. 9D. 7
5.如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是( )
A. SASB. ASAC. AASD. SSS
6.如图，已知∠1+∠2+∠3=240∘，那么∠4的度数为
( )
A. 60∘B. 120∘C. 130∘D. 150∘
7.如图，AB//CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若点P到BC的距离是4，则AD的长为( )
A. 8B. 6C. 4D. 2
8.如图，在3×3的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中ΔABC是一个格点三角形.则图中与ΔABC成轴对称的格点三角形有
( )
A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个
9.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=15cm，点M从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点，点N从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点，点M和N分别以2cm/s和3cm/s的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M和N作ME⊥l于E，NF⊥l于F.设运动时间为t秒，要使以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为( )
A. 4.6或7B. 7或8C. 4.6或8D. 4.6或7或8
10.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：(1)PM=PN恒成立；(2)OM+ON的值不变；(3)四边形PMON的面积不变；(4)MN的长不变，其中正确的个数为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.人字梯中间一般会设计一”拉杆”，这样做的数学道理是 ．
12.一个多边形的外角和比内角和小180°，则这个多边形是 边形．
13.在平面直角坐标系中，已知点Pa,1与点Q2,b关于x轴对称，则a+b= ．
14.如图，在▵ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于12BC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD.若AB=7，AC=12，BC=6，则▵ABD的周长为 ．
15.如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA=OB，再分别以点A、B为圆心，以大于12AB的长度为半径画弧，两弧交于点C.若C的坐标为(3a,−a+8)，则a= ．
16.如图，已知△ABC的周长是18，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD=3，则△ABC的面积是 ．
17.在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是 ．
18.如图，四边形ABCD中，AC=BC，∠ACB=∠ADC=90∘，CD=10，则ΔBCD的面积为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.(本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，▵ABC的三个顶点的坐标分别为A−3,4，B−4,1，C−1,2．
(1)在图中作出▵ABC关于x轴的对称图形▵A1B1C1；
(2)请直接写出点A、B、C关于y轴的对称点A′、B′、C′的坐标：A′___________；B′___________；C′___________；
(3)求▵ABC的面积．
20.(本小题8.0分)
如图，AB=AE，AC=DE，AB/​/DE．
(1)求证：AD=BC；
(2)若∠DAB=70∘，AE平分∠DAB，求∠B的度数．
21.(本小题8.0分)
如图，点B、F、C、E在直线l上(F、C之间不能直接测量)，点A、D在l异侧，测得AB=DE，AB/​/DE，∠A=∠D．

(1)求证：▵ABC≌▵DEF；
(2)若BE=10m，BF=3m，求FC的长度．
22.(本小题8.0分)
如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC=∠AEB=90∘，BE，CD相交于点O，OB=OC．
求证：∠1=∠2．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵∠ADC=∠AEB=90∘，
∴∠DOB+∠B=∠EOC+∠C=90∘．
∵∠DOB=∠EOC，
∴∠B=∠C.第一步
又OA=OA，OB=OC，
∴▵ABO≌▵ACO第二步
∴∠1=∠2第三步

(1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程．
23.(本小题8.0分)
△ABC中，AD平分∠BAC，
(1)求证S△ABD：S△ADC=AB：AC
(2)在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=6，求DC的长．
24.(本小题8.0分)
已知在平面直角坐标系中A(0,2)，P(3,3)，且PA⊥PB．
(1)如图1，求点B的坐标；
(2)如图2，若A点运动到A1位置，B点运动到B1位置，仍保持PA1⊥PB1，求OB1−OA1的值．
25.(本小题8.0分)
在▵ABC中，AB=AC，点D是直线BC上的一点(不与点B、C重合)，以AD为腰右侧作等腰三角形▵ADE，且AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接CE．

(1)如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90∘，则∠BCE=________度．
(2)设∠BAC=α，∠BCE=β．
①点D是在线段BC上移动时，如图2，则α、β之间有怎样的数量为关系，试说明理由．
②点D是在线段CB延长线上移动时，则①中α、β之间数量关系是否成立，如不成立，又有怎样的数量关系，试说明理由．
26.(本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，经过点M(0,m)，且平行于x轴的直线记作直线y=m.我们给出如下定义：点P(x，y)先关于x轴对称得到点P1，再将点P1关于直线y=m对称得到点P′，则称点P′称为点P关于x轴和直线y=m的二次反射点．
(1)点A(5,3)关于x轴和直线y=1的二次反射点A′的坐标是__；
(2)点B(2,−1)关于x轴和直线y=m的二次反射点B′的坐标是(2,−5)，m=_ _；
(3)若点C的坐标是(0,12m)，其中m>0，点C关于x轴和直线y=m的二次反射点是C′，求线段CC′的长(用含m的式子表示)；
(4)如图，正方形的四个顶点坐标分别为(0,0)、(2,0)、(2,2)、(0,2)，若点P(1,4)，Q(1,5)关于x轴和直线y=m的二次反射点分别为P′，Q′，且线段P′Q′与正方形的边没有公共点，直接写出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】【分析】三角形一边上的高是从该边所对的顶点向该边引的垂线段的长度，由此即可求解．
【详解】解：根据三角形高的定义，及画法可得，
A、AD是BC边上的高，不符合题意；
B、AD不是AC边上的高，不符合题意；
C、BD不是AC边上的高，不符合题意；
D、BD是AC边上的高，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形高的概念及作法，理解三角形高的概念，掌握三角形高的作法是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．
【详解】解：∵AB=AC，∠A为公共角，
A、如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；
B、如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；
C、如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；
D、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理．
4.【答案】B
【解析】【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可．
【详解】解：∵三条线段的长分别是3，8，a，它们能构成三角形，
∴5−3∴5∴整数m的最大值是10．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】根据全等三角形的判定可作出选择．
【详解】解：在△ADC和△ABC中，
AD=ABDC=BCAC=AC,
∴△ADC≌△ABC(SSS)，
∴∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．
∴AE是∠PRQ的平分线
故选D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．
6.【答案】B
【解析】【分析】根据四边形的外角和等于360°即可求解．
【详解】解：∵∠1+∠2+∠3+∠4=360∘，
∠1+∠2+∠3=240∘
∴∠4=120°
故选B．
【点睛】本题考查了多边形的外角和公式，熟练掌握多边形是外角和公式是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA=PE，PD=PE，那么PE=PA=PD，又点P到BC的距离是4，进而求出AD=8．
【详解】解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB//CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，
∵PA+PD=AD，
∵PE=4，
∴AD=2PE=8．
故选：A．

【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案．
【详解】符合题意的三角形如图所示：

满足要求的图形有6个
故选：C
【点睛】本题主要考查利用轴对称来设计轴对称图形，关键是要掌握轴对称的性质和轴对称图形的含义．
9.【答案】D
【解析】【分析】根据点M和点N不同位置进行分类讨论，根据题意，容易得到∠MEC=∠CFN，∠MCE=∠CNF.只需MC=NC，就可得到△MEC与△CFN全等，即可解决问题．
【详解】解：①当0≤t<4时，点M在AC上，点N在BC上，如图①，
此时有AM=2t，BN=3t，AC=8，BC=15．
当MC=NC，即8−2t=15−3t，
解得t=7，不合题意舍去；
②当4≤t<5时，点M在BC上，点N也在BC上，如图②，
若MC=NC，则点M与点N重合，即2t−8=15−3t，
解得t=4.6；
③当5≤t<233时，点M在BC上，点N在AC上，如图③，
当MC=NC即2t−8=3t−15，
解得t=7；
④当233≤t<11.5时，点N停在点A处，点M在BC上，如图④，
当MC=NC即2t−8=8，
解得t=8；
综上所述：当t等于4.6或7或8秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等．
故选D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是分情况讨论时间t的取值范围．
10.【答案】B
【解析】【详解】
如图，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△POE和△POF中，
OP=OPPE=PF
∴△POE≌△POF，
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
∠MPE=∠NPFPE=PF∠PEM=∠PFN
∴△PEM≌△PFN，
∴EM=NF，PM=PN，故(1)正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故(3)正确，
∵OM+ON=OE+ME+OF−NF=2OE=定值，故(2)正确，
MN的长度是变化的，故(4)错误，
故选：B．
11.【答案】三角形具有稳定性
【解析】【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，
故答案为三角形具有稳定性．
【点睛】此题考查三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答．
12.【答案】五
【解析】【分析】根据多边形的外角和是360°先求出其内角和，然后根据多边形的内角和公式列方程计算即可．
【详解】解：∵多边形的外角和是360°，
∴这个多边形的内角和是360°+180°=540°，
设这个多边形的边数为n，
则n−2×180∘=540∘，
解得：n=5，
即这个多边形是五边形，
故答案为：五．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟知多边形的外角和是360°是解题的关键．
13.【答案】1
【解析】【分析】根据题意可知点Pa,1与点Q2,b的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此回答问题即可．
【详解】解：∵点Pa,1与点Q2,b关于x轴对称，
∴点Pa,1与点Q2,b的横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴a=2，1+b=0，
解得b=−1，
∴a+b=1，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查关于x轴对称的两点，属于基础题，明白关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题关键．
14.【答案】19
【解析】【分析】由题意可得：MN垂直平分BC，则BD=CD，即可求解．
【详解】解：由题意可得：MN垂直平分BC，则BD=CD，
▵ABD的周长=AD+BD+AB=AD+DC+AB=AC+AB=19
故答案为：19
【点睛】此题考查了垂直平分线的尺规作图以及性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．
15.【答案】2
【解析】【分析】根据尺规作图可知，点C在∠AOB角平分线上，所以C点的横坐标和纵坐标相等，即可以求出a的值．
【详解】解：根据题目尺规作图可知，交点C是∠AOB角平分线上的一点，
∵点C在第一象限，
∴点C的横坐标和纵坐标都是正数且横坐标等于纵坐标，即3a=−a+8，
得a=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了角平分线尺规作图，角平分线的性质，以及平面直角坐标系的知识，结合直角坐标系的知识列方程求解是解答本题的关键．
16.【答案】27
【解析】【分析】过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，根据角平分线的性质得OE=OD=3，OF=OD=3，由于SΔABC=SΔOAB+SΔOBC+SΔOAC，所以根据三角形的面积公式可计算出ΔABC的面积．
【详解】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE=OD=3，
同理可得OF=OD=3，
∴SΔABC=SΔOAB+SΔOBC+SΔOAC
=12×OE×AB+12×OD×BC+12×OF×AC
=32(AB+BC+AC)，
∵ΔABC的周长是18，
∴SΔABC=32×18=27．
故答案为：27．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
17.【答案】9【解析】【分析】延长AD到E，使DE=AD，连接BE.先证明△ADC≌△EDB(SAS)，得到AC=BE=5，DE=AD=7，在△ABE中，根据三角形三条边的关系即可求出AB的取值范围．
【详解】解：延长AD到E，使DE=AD，连接BE
在△ADC和△EDB中，
∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，CD=BD，
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
∴AC=BE(全等三角形的对应边相等)．
∵AC=5，AD=7，
∴BE=5，AE=14
在△ABE中，AE−BE∴AB边的取值范围是：9故答案为9【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三条边的关系，正确做出辅助线证明△ADC≌△EDB是解答本题的关键．
18.【答案】50
【解析】【分析】过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E，先证明∠CBE=∠ACD，从而证明Δ ACD≅Δ CBE，进而即可求解．
【详解】过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC=∠CDA=90°，
∴∠CBE+∠BCE=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠CBE=∠ACD，
在Δ ACD与Δ CBE中，
∵∠CBE=∠ACD∠CEB=∠ADCBC=AC,
∴Δ ACD≅Δ CBE(AAS)，
∴BE=CD=10，
∴ΔBCD的面积=12CD⋅BE=12×10×10=50，
故答案是50．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加辅助线，构造“一线三垂直”模型，是解题的关键．

19.【答案】(1)解：根据题意作出图如图所示：
(2)解：∵A−3,4，B−4,1，C−1,2，
∴A′3,4，B′4,1，C′1,2，
故答案为：3,4，4,1，1,2；
(3)解：由图可得，
S▵ABC=3×3−12×3×1−12×2×2−12×1×3=4，
∴▵ABC的面积为4．

【解析】【分析】(1)根据轴对称的性质作图即可；
(2)关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，由此可得出答案；
(3)利用割补法求三角形的面积即可．
【点睛】本题考查了作图—轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵AB//DE，
∴∠DEA=∠CAB，
在▵DEA与△CAB中，
AB=AE∠CAB=∠DEAAC=DE
∴▵DEA≌▵CABSAS，
∴AD=BC；
(2)解：∵∠DAB=70∘，AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠CAB=35∘
∵▵DEA≌▵CAB，
∴∠B=∠DAE=35∘

【解析】【分析】(1)根据AB/​/DE，可得∠DEA=∠CAB，进而证明▵DEA≌▵CAB，即可得证；
(2)根据角平分线的定义可得∠DAE=∠CAB=35∘，根据(1)的结论可得∠B=∠DAE，即可求解．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的意义，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
21.【答案】(1)∵AB//DE，

∴∠ABC=∠DEF，
在▵ABC与▵DEF中，
∠ABC=∠DEFAB=DE∠A=∠D,
∴▵ABC≌▵DEFASA；
(2)∵▵ABC≌▵DEF，
∴BC=EF，
∴BF+CF=CE+CF，
∴BF=EC，
∵BE=10m，BF=3m，
∴FC=10−3−3=4m．

【解析】【分析】(1)由AB/​/DE，得∠ABC=∠DEF，根据“ASA”即可证明▵ABC≌▵DEF；
(2)根据全等三角形的性质得BC=EF，则BF=CE=3m，然后根据FC=BE−BF−CE即可求解．
【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】(1)解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，
故答案为：二．
(2)证明：∵∠ADC=∠AEB=90∘，
∴∠BDC=∠CEB=90∘，
在▵DOB和△EOC中，
∠BDO=∠CEO∠DOB=∠EOCOB=OC,
∴▵DOB≅▵EOCAAS，
∴OD=OE，
在Rt▵ADO和Rt▵AEO中，
OA=OAOD=OE,
∴Rt▵ADO≅Rt▵AEOHL，
∴∠1=∠2．

【解析】【分析】(1)根据证明过程即可求解．
(2)利用全等三角形的判定及性质即可求证结论．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：如图，过D作DM⊥ABDN⊥AC，
∵AD平分∠BAC，
∴DM=DN，
∴S▵ABD=12DM⋅AB，S▵ADC=12AC⋅DN，
∴S▵ABD:S▵ADC=12DM⋅AB:12AC⋅DN=AB:AC；
(2)如图，过点A作AE⊥BC于点E，
∴S▵ABD=12AE⋅BD,S▵ACD=12AE⋅CD，
∴S▵ABD:S▵ADC=BD:CD，
∵S▵ABD:S▵ADC=AB:AC，
∴AB:AC=BD:CD，
∴AB=5，AC=4，
∴BD:CD=5:4，
∵BC=6
∴6−CD:CD=5:4
∴CD=83．

【解析】【分析】(1)过D作DM⊥ABDN⊥AC，根据角平分线的性质定理，可得DM=DN，然后根据三角形的面积公式，即可求证；
(2)过点A作AE⊥BC于点E，可得到S▵ABD:S▵ADC=BD:CD，从而得到AB:AC=BD:CD，即可求解．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
24.【答案】(1)解：如下图，过点P(3,3)作PC⊥x轴于点C，作PD⊥y轴于点D，
则四边形OCPD为正方形，PC=PD=3，∠PDA=∠PCB=90∘，
∵PA⊥PB，
∴∠CPD=∠BPA=90∘，
∴∠DPA+∠APC=∠APC+∠CPB，
∴∠DPA=∠CPB，
在▵PAD和▵PBC中，
∠DPA=∠CPBPD=PC∠PDA=∠PCB，
∴▵PAD≌▵PBC(ASA)，
∴AD=BC，PA=PB，
∵点A(0,2)，P(3,3)，
∴OA=2，OD=PC=3，
∴AD=OD−OA=3−2=1，
∴AD=BC=1，
∵四边形OCPD为正方形，
∴OC=PD=3，
∴OB=OC+BC=3+1=4，
∴点B(4,0)；
(2)由(1)可知，PA=PB，
∵∠APB=∠A1PB1=90∘，即∠APA1+∠A1PB=∠A1PB+∠BPB1，
∴∠APA1=∠BPB1，
∵∠PAO+∠PBO=360∘−∠AOB−∠APB=360∘−90∘−90∘=180∘，
又∵∠PBB1+∠PBO=180∘，
∴∠PAO=∠PBB1，
在▵PAA1和▵PBB1中，
∠PAA1=∠PBB1PA=PB∠APA1=∠BPB1,
∴▵PAA1≌▵PBB1(ASA)，
∴AA1=BB1，
∴OB1−OA1=OB+BB1−(AA1−OA)=OB+OA=4+2=6．

【解析】【分析】(1)过点作PC⊥x轴于点C，作PD⊥y轴于点D，由ASA证明▵PAD≌▵PBC，可得出PA=PB、AD=BC=1，求出OB的值，即可确定B点坐标；
(2)由ASA证明▵PAA1≌▵PBB1，得出AA1=BB1，然后由OB1−OA1=OB+OA即可获得结果．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、四边形内角和等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．
25.【答案】【详解】(1)解：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=90∘，
∴△BAD≌△CAESAS，∠B=∠ACB=45∘，
∴∠B=∠ACE=45∘，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90∘，
故答案为：90；
(2)①α+β=180∘，理由如下：
由题(1)知▵BAD≌▵CAE，
∴∠ACB=∠B=∠ACE=180∘−α2=90∘−α2，
∵∠BCE=∠ACB+∠ACE，
∴β=290∘−α2=180∘−α，
∴α+β=180∘；
②α=β，理由如下：
类比题(1)，可得▵BAD≌▵CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC=α，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=180∘−α2=90∘−α2，
∴∠ABD=180∘−∠ABC=180∘−90∘−α2=90∘+α2，
∵∠ABD=∠ACE=∠BCE+∠ACB，
∴90∘+α2=90∘−α2+β，
∴α=β．


【解析】【分析】(1)证明▵BAD≌▵CAE，得∠B=∠ACE=45∘，即可证明；
(2)②与(1)同理▵BAD≌▵CAE，得∠ACB=∠B=∠ACE，则根据∠BCE=∠ACB+∠ACE即可证明；②与(1)同理▵BAD≌▵CAE，得∠ABD=∠ACE，再根据∠ACE=∠BCE+∠ACB即可证明．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，证明▵BAD≌▵CAE是解题的关键．
26.【答案】【小题1】解：∵点A(5,3)，
∴点A关于x轴对称得到点A1(5,−3)，
∴点A1关于直线y=m对称得到点A′(5,5)．
故答案为：(5,5)．
【小题2】∵点B(2,−1)，
∴点B关于x轴对称得到点B1(2,1)，
∴点B1关于直线y=m对称得到点B′(2,2m−1)，
∴2m−1=−5，解得m=−2，
故答案为：−2．
【小题3】∵点C的坐标是(0,12m)，
∴点C关于x轴对称得到点C1(0,−12m)，
∴点C1关于直线y=m对称得到点C′(0,2m+12m)，即C′(0,52m)，
∴CC′=52m−12m=2m．
【小题4】由题意可知，点P(1,4)，Q(1,5)关于x轴和直线y=m的二次反射点分别为P′(1,2m+4)，Q′(1,2m+5)，
且P′Q′//y轴，P′Q′=1，
∴线段P′Q′与正方形的边没有公共点，有三种情况：
①2m+4>2，解得m>−1；
②2m+5<22m+4>0，解得−2③2m+5<0，解得m<−52．
综上，若线段P′Q′与正方形的边没有公共点，则m的取值范围m>−1或−2
【解析】(1)根据二次反射点的定义直接得出答案；
(2)根据二次反射点的定义得出B′(2,2m−1)，则2m−1=−5，由此可得m的值；
(3)根据二次反射点的定义得出C′(0,52m)，则可得出答案；
(4)根据二次反射点的定义得出P′(1,2m+4)，Q′(1,2m+5)，由题意分两种情况列出不等式组，解不等式组可得出答案．