2022-2023学年江苏省南通市如皋市高三上学期期中数学试题及答案

这是一份2022-2023学年江苏省南通市如皋市高三上学期期中数学试题及答案，共23页。试卷主要包含了 已知，则， 设，，，则， 已知，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（ ）
A. 3B. 4C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】先求得图中阴影部分表示的集合，再利用该集合中元素个数即可该集合的子集个数
【详解】，则或
图中阴影部分表示的集合为
或
集合的子集有（个）
则图中阴影部分表示的集合的子集个数为8
故选：D
2. 已知向量，则“”是“与夹角为锐角”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量数量积的定义及坐标表示，由题设条件间的推出关系，结合充分、必要条件即可得答案.
【详解】由题设：
当时， ， ，注意当时， ，故充分性不成立.
当与的夹角为锐角时，，解得.
故必要性成立.
故选：B.
3. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用排除法，结合函数图及性质可得出答案.
【详解】解：对于A，，
所以函数为偶函数，故排除A；
对于D，，故排除D；
对于C，，
则，
所以函数为奇函数，故排除C.
故选：B.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将化为，利用诱导公式以及二倍角的余弦公式，化简求值，可得答案.
【详解】因为，
所以,
故选：A.
5. 已知等差数列中，，且公差，则其前项和取得最大值时的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意判断出，即可得到答案.
【详解】由等差数列的公差，知，，所以，故，则数列的前项和取得最大值时的值为.
故选：B
6. 在中，a，b，c分别是角A，B，C对边，若，则的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2021D. 2022
【答案】C
【解析】
【分析】将给定三角式切化弦，再利用正弦定理角化边，借助余弦定理及已知计算作答.
【详解】在中，由余弦定理得：，
所以
.
故选：C
7. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数（），证明，令，排除选项A,B,再比较大小，即得解.
【详解】解：构造函数（），，，
所以在上，单调递增，在上，单调递减，所以，
令，则，，，考虑到，可得，等号当且仅当时取到，故时，排除选项A，B.
下面比较大小，由得，故，所以.
故选：D.
8. 已知锐角满足，且O为的外接圆圆心，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得，将平方整理得，设，则有，再设，则有==，求解即可.
【详解】解：如图所示：
由正弦定理可得：，所以，
在中，由余弦定理可得,
又因为,所以.
又因为，
所以，
即有：，即，
所以，
设，可得，
又因为为锐角三角形，所以，
所以，
设，则有，
所以==，
所以
故选：A.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为B. 的最小值为
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】A.根据，利用“1”的代换，利用基本不等式求解判断； B. 根据，转化为二次函数求解判断； C. 由，得到，再利用对数运算求解判断； D. 根据，利用基本不等式求解判断.
【详解】A.因为，所以 ，当且仅当，即时，等号成立，故正确；
B. 因为，所以，所以，当时，取得最小值，故错误；
C. 因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以的最大值为，故错误；
D. 因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故正确；
故选：AD
10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于点对称
B. 的图象向右平移个单位后得到的图象
C. 在区间上单调递増
D. 为偶函数
【答案】BD
【解析】
【分析】利用待定系数法求出，从而可求出函数的函数解析式，再根据正弦函数的对称性，单调性，奇偶性及平移变换的特征逐一判断即可.
【详解】解：因为的图象过点，所以，
因为，所以，
因为的图象过点，
所以由五点作图法可知，得，
所以，
对于A，因为，
所以为的图彖的一条对称轴，所以A错误；
对于B，的图象向右平移个单位后，得，所以B正确；
对于C，若，则，所以在区间上不单调，所以C错误；
对于，，
令，因为，
所以偶函数，所以D正确，
故选：BD.
11. 已知数列的前项和为，且，下列说法正确的有（ ）
A. 数列是等比数列B.
C. 数列是递减数列D. 数列是递增数列
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意可得，从而得出，求出，从而可求出，进而可判断各个选项.
【详解】由，则
两式相减可得，即
由题意，满足
所以,所以数列是等比数列，故选项A正确.
则，故选项B正确.
又，所以数列是递增数列
故故选项C不正确，故选项D正确.
故选：ABD
12. 已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A. 为函数的一个周期B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在上为减函数D. 函数的值域为
【答案】ABD
【解析】
【分析】计算可判断A;计算可判断B;将化简为，结合正弦函数的性质可判断C,D.
【详解】因为，
所以为函数的一个周期，故A正确；
因为，
所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
因为，
因为，所以，故，
由于，故在上为增函数，故C错误；
由C的分析可知在上为增函数，所以，
故D正确，
故选：ABD．
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在​中，，​， 且​的面积为​， 则边长​为_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理角化边和三角形面积公式可构造方程求得，利用余弦定理可求得结果.
【详解】由正弦定理得：，
，，即，解得：，，
由余弦定理得：，.
故答案为：.
14. 定义在上奇函数满足，当时，，则的值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】首先根据题意得到函数是以4为周期的周期函数，再结合奇函数的性质和对数的运算性质求解即可.
【详解】由题意，函数满足，
化简可得，所以函数是以4为周期的周期函数，
因为为奇函数，
所以，
因为，即，
所以.
故答案为：
15. 如图，在中，是的中点，若，则实数的值是__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据平面向量基本定理结合已知条件将用表示即可求出的值
【详解】因为，所以为的中点，
因为是的中点，
所以，
所以,
因为，
所以，
故答案为：
16. 已知函数，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据，可判断的奇偶性和单调性，根据单调性和奇偶性，脱去函数名的符号，转化成自变量的大小，构造函数根据求导得函数的单调性以及即可求解.
【详解】由知：，所以是奇函数，又，所以是上的增函数，，故可得
令则当时，，此时单调递增.当时，，此时单调递减.又，所以不等式的解为
故答案为：
四､解答题：本题共6小题，共70分.
17 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）函数单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求导根据导函数正负得到单调区间；
（2）由题可知，进而可得，即得.
【小问1详解】
∵，
∴，
令，解得：，
所以，函数在上单调递减，，函数在上单调递增，
即函数单调递减区间为，单调递增区间为；
【小问2详解】
由题可知，
由（1）可知，当时，函数有最小值，
∴，即，
故的取值范围为.
18. 在平面直角坐标系中，锐角的顶点为坐标原点,始边为轴的正半轴，终边与单位圆的交点分别为．已知点的横坐标为，点的纵坐标为．
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【详解】分析：（1）先求出csα＝， 再利用二倍角公式求的值.(2)先求出sinβ＝，csβ＝，再利用差角的正弦求sin(2α－β)的值，最后求的值.
详解：（1）因为点P的横坐标为，P在单位圆上，α为锐角，
所以csα＝，
所以cs2α＝2cs2α－1＝．
（2）因为点Q的纵坐标为，所以sinβ＝．
又因为β为锐角，所以csβ＝．
因为csα＝，且α为锐角，所以sinα＝，
因此sin2α＝2sinαcsα＝，
所以sin(2α－β) ＝ ．
因为α为锐角，所以0＜2α＜π．
又cs2α＞0，所以0＜2α＜，
又β为锐角，所以－＜2α－β＜，所以2α－β＝．
点睛：（1）本题主要考查三角函数的坐标定义，考查同角的三角关系，考查三角恒等变换,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理计算能力.(2)第2问易错，再求得sin(2α－β) 后，容易错误地得到2α－β＝或研究三角问题，一定要注意角的问题，所以先要求出－＜2α－β＜，再得出2α－β＝．
19. △ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．
（1）若，且，求△ABC的面积；
（2）求的最大值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由余弦定理及已知可得，再应用三角形面积公式求面积即可.
（2）由题设有，根据已知及余弦定理有，再由正弦边角关系及和差角正弦公式可得，即可得，进而求最值.
【小问1详解】
由，故，而，
所以，故.
【小问2详解】
由，故，即，
由余弦定理知：，即，
所以，即，又，
故，
由，则或（舍），
所以，则，即，
，而，
所以，当时有最大值为.
【点睛】关键点点睛：第二问，注意综合应用正余弦定理得到，再根据三角形内角的性质、三角恒等变换得到的关系及角的范围，进而求最值.
20. 从条件①，②，③，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.
已知数列的前项和为，___________.
（1）求的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，是否存在正整数使得.
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）若选择①，根据数列递推式可得到为常数列，从而求得；
若选择②，根据数列递推式可得，从而得，利用等差数列通项公式可求得；
若选择③，由变形得，，可得，从而求得，继而可求；
（2）若选择①或②，可得，利用错位相减法可求得答案;
若选择③，可得，利用错位相减法可求得答案;
【小问1详解】
若选择①，因为，所以，
两式相减得，整理得,
即，所以为常数列，而，所以；
若选择②，因为，所以，
两式相减，
得，
因为，
所以是等差数列，所以；
若选择③，由变形得，，
所以，
由题意知，所以，所以为等差数列，
又，所以，
又时，也满足上式，所以；
【小问2详解】
若选择①或②，，
所以
所以，
两式相减得
，
则，故要使得，即，整理得，，
当时，，所以不存在，使得.
若选择③，依题意，，
所以，
故，
两式相减得：
，则，令，则，
即，令，则，
当时，，
又，故，
综上，使得成立的最小正整数的值为5.
21. 已知分别为三个内角的对边，且，
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角函数的基本关系式与正弦定理可得；
（2）由推得，再由设，将转化为，再引入，得，最后利用复合函数单调性即可求解.
【小问1详解】
因为，则，
所以，则，所以为直角三角形，
所以
【小问2详解】
，所以，而，
所以设，所以，
令，
又因为，所以，
所以，
令，
因为在上单调递增，所以在上单调递减，所以，
所以的取值范围为.
22. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的定义域，求得，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；
（2）令，，利用导数分析函数的单调性，对实数的取值进行分类讨论，求出的取值范围，结合函数的图象可得出关于实数的不等式，即可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：函数的定义域为，且.
当时，因为，则，此时函数的单调递减区间为；
当时，由可得，由可得.
此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上所述，当时，函数的单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
【小问2详解】
解：，
设，其中，则，
设，则，
当时，，，且等号不同时成立，则恒成立，
当时，，，则恒成立，则在上单调递增，
又因为，，
所以，存在使得，
当时，；当时，.
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且，
作出函数的图象如下图所示：
由（1）中函数的单调性可知，
①当时，在上单调递增，
当时，，当时，，
所以，，此时，不合乎题意；
②当时，，且当时，，
此时函数的值域为，即.
（i）当时，即当时，恒成立，合乎题意；
（ii）当时，即当时，取，
结合图象可知，不合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，解题的关键在于换元，将问题转化为，通过求出的取值范围，结合函数的图象得出关于实数的不等式进行求解.