2023-2024学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高二上学期期中数学试题(含解析 )

这是一份2023-2024学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高二上学期期中数学试题(含解析 )，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若AB=a,AD=b,AA1=c，则BM=( )
A. 12a-12b+cB. 12a+12b+cC. -12a-12b+cD. -12a+12b+c
2.平面内到两定点A(-6,0)、B(0,8)的距离之差等于10的点的轨迹为
( )
A. 椭圆B. 双曲线C. 双曲线的一支D. 以上选项都不对
3.“k>4”是“方程x2+y2+kx+(k-2)y+5=0表示圆的方程”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知椭圆C:x24+y2k+1=1的离心率为12，则实数k的值为
( )
A. 2B. 2或7C. 2或133D. 7或133
5.如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆的一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BF1⊥F1F2，F1B=53，F1F2=4.若透明窗DE所在的直线与截口BAC所在的椭圆交于一点P，且∠F1PF2=90∘，则△PF1F2的面积为
( )
A. 2B. 2 2C. 5 3D. 5
6.已知圆C1:(x-a)2+(y+3)2=9与圆C2:(x+b)2+(y+1)2=1外切，则ab的最大值为
( )
A. 2B. 2 2C. 52D. 3
7.如图所示，三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD,∠BCD=π2，BC=2AB=2CD=2，点P为棱AC的中点，E,F分别为直线DP,AB上的动点，则线段EF的最小值为
( )
A. 24B. 22C. 104D. 52
8.已知F1,F2分别为椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，椭圆E上存在两点A,B使得梯形AF1F2B的高为c(c为该椭圆的半焦距)，且AF1=4BF2，则椭圆E的离心率为
( )
A. 2 23B. 45C. 2 35D. 56
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.直线l:x-y+1=0与圆C:(x+a)2+y2=2(-1≤a≤3)的公共点的个数可能为
( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
10.下列四个命题中正确的是( )
A. 过点(3,1)，且在x轴和y轴上的截距互为相反数的直线方程为x-y-2=0
B. 过点(1,0)且与圆(x+1)2+(y-3)2=4相切的直线方程为5x+12y-5=0或x=1
C. 若直线kx-y-k-1=0和以M(-3,1),N(3,2)为端点的线段相交，则实数k的取值范围为k≤-12或k≥32
D. 若三条直线x+y=0,x-y=0,x+ay=3-a不能构成三角形，则实数a所有可能的取值组成的集合为{-1,1}
11.已知椭圆C:x29+y2k2=10( )
A. k= 5B. PF1⋅PF2的最大值为5
C. 存在点P使得∠F1PF2=π3D. |PQ|-PF2的最小值为4 2-6
12.在棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD,A1B1C1D1分别是边长为4和2的正方形，侧面CDD1C1和侧面BCC1B1均为直角梯形，且CC1=3,CC1⊥平面ABCD，点P为棱台表面上的一动点，且满足PD1=2PC1，则下列说法正确的是
( )
A. 二面角D1-AD-B的余弦值为2 1313
B. 棱台的体积为26
C. 若点P在侧面DCC1D1内运动，则四棱锥P-A1BCD1体积的最小值为4(6- 13)3
D. 点P的轨迹长度为8+3 39π
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知P(-2,m),Q(m,4)，且直线PQ与直线l:x+y-2=0垂直，则实数m的值为______．
14.以椭圆x216+y225=1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为______．
15.椭圆E:x2+4y2=4上的点到直线x+2y-4 2=0的最远距离为______．
16.已知点A的坐标为(0,3)，点B,C是圆O:x2+y2=25上的两个动点，且满足∠BAC=90∘，则▵ABC面积的最大值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
已知▵ABC的顶点A(4,1)，边AB上的高线CH所在的直线方程为x+y-1=0，边AC上的中线BM所在的直线方程为3x-y-1=0．
(1)求点B的坐标；
(2)求直线BC的方程．
18.(本小题12.0分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中底面为正三角形，AA1=4,AB=2,∠A1AB=∠A1AC=120∘．
(1)证明：AA1⊥BC；
(2)求异面直线BC1与A1C所成角的余弦值．
19.(本小题12.0分)
已知圆C的圆心在x轴上，其半径为1，直线l:8x-6y-3=0被圆C所截的弦长为 3，且点C在直线l的下方．
(1)求圆C的方程；
(2)若P为直线l1:x+y-3=0上的动点，过P作圆C的切线PA,PB，切点分别为A,B，当|PC|⋅|AB|的值最小时，求直线AB的方程．
20.(本小题12.0分)
已知F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，离心率e= 22，点B为椭圆上的一动点，且△BF1F2面积的最大值为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点A为椭圆C的左顶点，点P(m,n)在椭圆C上，线段AP的垂直平分线与y轴交于点Q，且△PAQ为等边三角形，求点P的横坐标．
21.(本小题12.0分)
如图，在多面体ABCDEF中，侧面BCDF为菱形，侧面ACDE为直角梯形，AC//DE,AC⊥CD,N为AB的中点，点M为线段DF上一动点，且BC=2 3,AC=2DE,∠DCB=120∘．
(1)若点M为线段DF的中点，证明：MN//平面ACDE；
(2)若平面BCDF⊥平面ACDE，且DE=2，问：线段DF上是否存在点M，使得直线MN与平面ABF所成角的正弦值为310?若存在，求出DMDF的值；若不存在，请说明理由．
22.(本小题12.0分)
已知椭圆C:x24+y23=1的左、右顶点分别为A,B，右焦点为F，过点A且斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于点P．
(1)若|AP|=12 27，求k的值；
(2)若圆F是以F为圆心，1为半径的圆，连接PF，线段PF交圆F于点T，射线AP上存在一点Q，使得QT⋅BT为定值，证明：点Q在定直线上．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】利用空间向量的线性运算进行求解．
解： BM=BB1+B1M=BB1+12(A1D1-A1B1)=AA1+12(AD-AB)=c+12(b-a)=-12a+12b+c ．
故选：D
2.【答案】D
【解析】【分析】根据动点满足的几何性质判断即可．
解：因为 A(-6,0) 、 B(0,8) ，所以 AB= 62+82=10 ，
而平面内到两定点 A(-6,0) 、 B(0,8) 的距离之差等于 10 的点的轨迹为一条射线．
故选：D
3.【答案】A
【解析】【分析】根据 x2+y2+kx+k-2y+5=0 表示圆得到 k<-2 或 k>4 ，然后判断充分性和必要性即可．
解：若 x2+y2+kx+k-2y+5=0 表示圆，则 k2+k-22-4×5>0 ，解得 k<-2 或 k>4 ，
k>4 可以推出 x2+y2+kx+k-2y+5=0 表示圆，满足充分性，
x2+y2+kx+k-2y+5=0 表示圆不能推出 k>4 ，不满足必要性，
所以 k>4 是 x2+y2+kx+k-2y+5=0 表示圆的充分不必要条件．
故选：A．
4.【答案】C
【解析】【分析】利用椭圆的标准方程、椭圆的离心率公式分析运算即可得解．
解：由题意，椭圆 C:x24+y2k+1=1 ，则 k+1>0 ，且 k+1≠4 ，
由离心率 e=ca= 1-b2a2=12 ，解得： b2a2=34 ，
若椭圆的焦点在 x 轴上，则 b2a2=k+14=34 ，解得： k=2 ；
若椭圆的焦点在 y 轴上，则 b2a2=4k+1=34 ，解得： k=133 ；
综上知， k=2 或 133 ．
故选：C．
5.【答案】D
【解析】【分析】由椭圆定义 |PF1|+|PF2|=6 ，根据 ∠F1PF2=90∘ ，结合勾股定理可得可得 |PF1|⋅|PF2| 的值，则即可求 △F1PF2 的面积．
解：由 BF1⊥F1F2 ， |F1B|=53 ， |F1F2|=4 ，得 |BF2|= |BF1|2+|F1F2|2=133 ，
则椭圆长轴长 2a=|F1B|+|F2B|=6 ，由点 P 在椭圆上，得 |PF1|+|PF2|=2a=6 ，又 ∠F1PF2=90∘ ，
则 16=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=36-2|PF1||PF2| ，
因此 |PF1|⋅|PF2|=10 ，所以 △F1PF2 的面积为 12|PF1|⋅|PF2|=5 ．
故选：D
6.【答案】D
【解析】【分析】利用两圆外切求出 a,b 的关系，再利用基本不等式求解即得．
解：圆 C1:(x-a)2+(y+3)2=9 的圆心 C1(a,-3) ，半径 r1=3 ，
圆 C2:(x+b)2+(y+1)2=1 的圆心 C2(-b,-1) ，半径 r2=1 ，依题意， |C1C2|=r1+r2=4 ，
于是 (a+b)2+22=42 ，即 12=a2+b2+2ab≥2ab+2ab=4ab ，因此 ab≤3 ，当且仅当 a=b 时取等号，
所以 ab 的最大值为3．
故选：D
7.【答案】B
【解析】【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量建立 EF 的函数关系求解即可．
解：三棱锥 A-BCD 中，过 C 作 Cz⊥ 平面 BCD ，由 ∠BCD=π2 ，知 BC⊥CD ，
以 C 为原点，直线 CD,CB,Cz 分别为 x,y,z 建立空间直角坐标系，如图，

由 AB⊥ 平面 BCD ，得 AB//Cz ，则 C(0,0,0),D(1,0,0),B(0,2,0),A(0,2,1),P(0,1,12) ，
令 DE=tDP=t(-1,1,12)=(-t,t,t2) ，则 E(1-t,t,t2) ，设 F(0,2,m) ，
于是 |EF|= (1-t)2+(2-t)2+(m-t2)2= 2(t-32)2+12+(m-t2)2≥ 22 ，
当且仅当 t=32,m=t2=34 时取等号，所以线段 EF 的最小值为 22 ．
故选：B
8.【答案】C
【解析】【分析】根据 AF1=4BF2 ，可得 AF1//BF2 ，则 AF1 ， BF2 为梯形 AF1F2B 的两条底边，作 F2P⊥AF1 于点P，所以 PF2=c ，则可求得 ∠PF1F2=30∘ ，再结合 AF1=4BF2 ，建立 a,b,c 的关系即可得出答案．
解：如图，由 AF1=4BF2 ，得 AF1//BF2 ，则 AF1 ， BF2 为梯形 AF1F2B 的两条底边，
作 F2P⊥AF1 于点P，则 F2P⊥AF1 ，由梯形 AF1F2B 的高为c，得 PF2=c ，
在 Rt▵F1PF2 中， F1F2=2c ，则有 ∠PF1F2=30∘ ， ∠AF1F2=30∘ ，
在 △AF1F2 中，设 AF1=x ，则 AF2=2a-x ， AF22=AF12+F1F22-2AF1F1F2cs30∘ ，
即 2a-x2=x2+4c2-2 3cx ，解得 AF1=x=b2a- 32c ，
在 △BF1F2 中， ∠BF2F1=150∘ ，同理 BF2=b2a+ 32c ，
又 AF1=4BF2 ，所以 a+ 32ca- 32c=4 ，即 3a=5 32c ，所以离心率 e=ca=2 35 ．
故选：C
9.【答案】BC
【解析】【分析】根据给定条件，求出圆心到直线l距离的取值范围，即可判断得解．
解：圆C:(x+a)2+y2=2的圆心C(-a,0)，半径r= 2，
当-1≤a≤3时，点C(-a,0)到直线l的距离d=|-a+1| 2=|a-1| 2∈[0, 2]，
因此直线l与圆相切或相交，所以直线l与圆C的公共点个数为1或2．
故选：BC
10.【答案】BC
【解析】【分析】利用直线截距式方程判断A；求出圆的切线方程判断B；求出直线斜率范围判断C；利用三条直线不能构成三角形的条件求出a值判断D．
解：对于A，过点(3,1)在x轴和y轴上的截距互为相反数的直线还有过原点的直线，其方程为y=13x， A错误；
对于B，圆C:(x+1)2+(y-3)2=4的圆心C(-1,3)，半径r=2，过点(1,0)斜率不存在的直线x=1与圆C相切，
当切线斜率存在时，设切线方程为y=k(x-1)，则|-2k-3| k2+(-1)2=2，解得k=-512，此切线方程为5x+12y-5=0，
所以过点(1,0)且与圆(x+1)2+(y-3)2=4相切的直线方程为5x+12y-5=0或x=1， B正确；
对于C，直线kx-y-k-1=0恒过定点P(1,-1)，直线PM,PN的斜率分别为
kPN=2--13-1=32,kPM=1--1-3-1=-12，依题意，k≤kPM或k≥kPN，即为k≤-12或k≥32， C正确；
对于D，当直线x+y=0,x+ay=3-a平行时，a=1，当直线x-y=0,x+ay=3-a平行时，a=-1，
显然直线x+y=0,x-y=0交于点(0,0)，当点(0,0)在直线x+ay=3-a时，a=3，
所以三条直线x+y=0,x-y=0,x+ay=3-a不能构成三角形，实数a的取值集合为{-1,1,3}， D错误．
故选：BC
11.【答案】ABC
【解析】【分析】首先得到圆心坐标与半径，即可判断E在椭圆外部，在|PQ|+PF2≥|PE|+PF2- 2≥EF2- 2求出EF2，即可求出k，再根据数量积的运算律及椭圆的性质判断B、C，根据椭圆的定义判断D．
解：椭圆C:x29+y2k2=10圆E:(x-2)2+(y-4)2=2的圆心为E2,4，半径r= 2，
所以229+42k2>1，所以点E在椭圆外部，
又|PQ|+PF2≥|PE|+PF2- 2≥EF2- 2，当且仅当E、P、F2三点共线(P在EF2之间)时等号成立，
所以EF2= 2-c2+16=4，解得c=2，
所以9-k2=4，解得k= 5(负值舍去)，故A正确；
PF1⋅PF2=PO+OF1⋅PO+OF2
=PO2+PO⋅OF1+PO⋅OF2+OF1⋅OF2
=PO2+PO⋅OF1+OF2-OF1⋅OF1
=PO2-OF12=PO2-4，
又PO∈ 5,3，所以PO2∈5,9，所以PF1⋅PF2∈1,5，
即PF1⋅PF2的最大值为5，当且仅当P在上、下顶点时取最大值，故 B正确；
设B为椭圆的上顶点，则OB= 5，OF2=2，所以tan∠OBF2=2 5> 33，
所以∠OBF2>π6，所以∠F1BF2>π3，则存在点P使得∠F1PF2=π3，故 C正确；
因为|PQ|-PF2=|PQ|-6-PF1=|PQ|+PF1-6
≥|PE|+PF1-6- 2≥EF1-6- 2=3 2-6，
当且仅当E、Q、P、F1四点共线(且Q、P在EF1之间)时取等号，故D错误．
故选：ABC
12.【答案】ACD
【解析】【分析】A选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量相关公式求出二面角的余弦值；B选项，利用棱台体积公式求出答案；C选项，设出Pu,0,v，求出轨迹方程，得到P点的轨迹，从而得到点P到平面A1BCD1的最短距离为PF=EF-EP=8 1313-43，利用体积公式求出答案；D选项，考虑点P在各个面上运算，求出相应的轨迹，求出轨迹长度，相加后得到答案．
立体几何中体积最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，即建立所求体积的目标函数，转化为函数的最值问题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量(两个变量之间有等量关系)，往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值．
解：A选项，因为CC1⊥平面ABCD，BC,CD⊂平面ABCD，
所以CC1⊥BC,CC1⊥CD，
又底面ABCD,A1B1C1D1分别是边长为4和2的正方形，
故BC⊥CD，
故CC1,BC,CD两两垂直，
以C为坐标原点，CD,CB,CC1所在直线分别为x,y,z建立空间直角坐标系，
则D12,0,3,A4,4,0,D4,0,0,C10,0,3，
平面ADB的法向量为n=0,0,1，
设平面D1AD的法向量为n1=x,y,z，
则n1⋅AD=x,y,z⋅0,-4,0=-4y=0n1⋅AD1=x,y,z⋅-2,-4,3=-2x-4y+3z=0,
解得y=0，令x=3得，z=2，故n1=3,0,2，
则csn,n1=n⋅n1n⋅n1=0,0,1⋅3,0,2 9+4=2 1313，
又从图形可看出二面角D1-AD-B为锐角，
故二面角D1-AD-B余弦值为2 1313， A正确；
B选项，棱台的体积为V=1322+42+ 4×16×3=28， B错误；
C选项，若点P在侧面DCC1D1内运动，PD1=2PC1，
设Pu,0,v，则 u-22+v-32=2 u2+v-32，
整理得u+232+v-32=169，
故P点的轨迹为以E-23,0,3为圆心，43为半径的圆在侧面DCC1D1内部(含边界)部分，
如图所示，圆弧QW即为所求，
过点E作EF⊥CD1于点F，与圆弧QW交于点P，
此时点P到平面A1BCD1的距离最短，
由勾股定理得CD1= 22+32= 13，
因为ED1=EC1+CD1=23+2=83，sin∠CD1C1=C1CCD1=3 13，
EF=D1Esin∠CD1C1=83×3 13=8 1313，
故点P到平面A1BCD1的最短距离为PF=EF-EP=8 1313-43，
因为A1D1与BC平行，且BC⊥平面CDD1C1，
又CD1⊂平面CDD1C1，所以BC⊥CD1，
故四边形A1BCD1为直角梯形，故面积为A1D1+BC⋅CD12=2+4× 132=3 13，
则四棱锥P-A1BCD1体积的最小值为13×8 1313-43×3 13=4(6- 13)3， C正确；
D选项，由C选项可知，当点P在侧面DCC1D1内运动时，轨迹为圆弧QW，
设其圆心角为α，则csα=C1EEW=2343=12，故α=π3，
所以圆弧QW的长度为π3⋅43=4π9，
当点P在面A1B1C1D1内运动时，PD1=2PC1，
设Ps,t,3，则 s-22+t2=2 s2+t2，
整理得s+232+t2=169，
点P的轨迹为以E-23,0,3为圆心，43为半径的圆在侧面A1B1C1D1内部(含边界)部分，
如图所示，圆弧QR即为所求轨迹，其中cs∠QER=C1EER=2343=12，故∠QER=π3，
则圆弧QR长度为π3⋅43=4π9，
若点P在 面BCC1B1内运动时，PD1=2PC1，
设P0,k,l，则 4+k2+l-32=2 k2+l-32，
整理得k2+l-32=43，
点P的轨迹为以C10,0,3为圆心，2 33为半径的圆在侧面BCC1B1内部(含边界)部分，
如图所示，圆弧GH即为所求，此时圆心角GC1H=π2，
故圆弧GH长度为π2⋅2 33= 3π3，
经检验，当点P在其他面上运动时，均不合要求，
综上，点P的轨迹长度为4π9×2+ 3π3=8+3 39π， D正确．
故选：ACD
13.【答案】1
【解析】【分析】首先求出直线l的斜率，由两直线垂直得到斜率之积为-1，即可求出kPQ，再由斜率公式计算可得．
解：因为直线l:x+y-2=0的斜率k=-1，
又直线PQ与直线l:x+y-2=0垂直，所以kPQ=1，即m-4-2-m=1，解得m=1．
故答案为：1
14.【答案】y29-x216=1
【解析】【分析】根据给定的椭圆方程求出双曲线的顶点及焦点坐标，即可求出双曲线方程．
解：椭圆x216+y225=1的长轴端点为(0,-5),(0,5)，焦点为(0,-3),(0,3)，
因此以(0,-3),(0,3)为顶点，(0,-5),(0,5)为焦点的双曲线虚半轴长为 52-32=4，方程为y29-x216=1．
故答案为：y29-x216=1
15.【答案】6 105
【解析】【分析】设出椭圆上任意一点的坐标，再利用点到直线距离公式，结合三角函数性质求解即得．
解：设椭圆E:x24+y2=1上的点P(2csθ,sinθ)(0≤θ<2π)，则点P到直线x+2y-4 2=0的距离：
d=2csθ+2sinθ-4 2 12+22=2 2sinθ+π4-4 2 5=2 1052-sinθ+π4，
显然当θ=5π4时，dmax=6 105，
所以椭圆E:x2+4y2=4上的点到直线x+2y-4 2=0的最远距离为6 105．
故答案为：6 105
16.【答案】25+3 412
【解析】【分析】设Bx1,y1，Cx2,y2，BC的中点P(x,y)，由题意求解P的轨迹方程，得到AP的最大值，写出三角形ABC的面积，结合基本不等式求解．
解：设Bx1,y1，Cx2,y2，BC的中点P(x,y)，
∵点B，C为圆O:x2+y2=25上的两动点，且∠BAC=90∘，
∴x12+y12=25，x22+y22=25①，
x1+x2=2x，y1+y2=2y②，
x1x2+(y1-3)(y2-3)=0③
由③得x1x2+y1y2-3(y1+y2)+9=0，即x1x2+y1y2=6y-9④，
把②中两个等式两边平方得：x12+x22+2x1x2=4x2，y12+y22+2y1y2=4y2，
即50+2(x1x2+y1y2)=4x2+4y2⑤，
把④代入⑤，可得x2+y-322=414，即P在以0,32为圆心，以 412为半径的圆上．
则AP的最大值为3+ 412．
所以S▵ABC=12ABAC≤14AB2+AC2=14BC2=AP2≤3+ 4122=25+3 412．
当且仅当AB=AC，P的坐标为0,3- 412时取等号．
故答案为：25+3 412
17.【答案】解：(1)由边AB上的高线CH所在的直线方程为x+y-1=0，得直线AB的斜率为1，
直线AB方程为y-1=x-4，即y=x-3，
由y=x-33x-y-1=0，解得x=-1,y=-4，
所以点B的坐标是(-1,-4)．
(2)由点C在直线x+y-1=0上，设点C(a,1-a)，于是边AC的中点M2+a2,1-a2在直线3x-y-1=0上，
因此6+3a2-1+a2-1=0，解得a=-2，即得点C(-2,3)，直线BC的斜率k=-4-3-1-(-2)=-7，
所以直线BC的方程为y-3=-7(x+2)，即7x+y+11=0

【解析】【分析】(1)由垂直关系求出直线AB的方程，再求出两直线的交点坐标即得．
(2)设出点C的坐标，利用中点坐标公式求出点C坐标，再利用两点式求出直线方程．
18.【答案】解：(1)因为BC=AC-AB，
所以AA1⋅BC=AA1⋅AC-AB=AA1⋅AC-AA1⋅AB
=AA1⋅ACcsAA1,AC-AA1⋅ABcsAA1,AB=0，
所以AA1⊥BC，即AA1⊥BC．
(2)取AB的中点M，连接AC1交A1C于点O，连接CM、OM，
则O为AC1的中点，所以OM//BC1，所以∠COM为异面直线BC1与A1C所成角或其补角，
在等边三角形ABC中CM= 22-12= 3，
在平行四边形ACC1A1中A1C2=AC-AA12=AC2-2AC⋅AA1+AA12
=22-2×2×4×-12+42=28，
所以A1C=2 7，所以OC= 7，
因为AA1⊥BC，AA1//BB1，所以BB1⊥BC，
在矩形BCC1B1中BC1= 22+42=2 5，所以OM= 5，
在▵OCM中由余弦定理cs∠COM=5+7-32× 5× 7=9 3570，
所以异面直线BC1与A1C所成角的余弦值为9 3570．

【解析】【分析】(1)根据数量积的运算律及定义得到AA1⋅BC=0，即可得证；
(2)取AB的 中点M，连接AC1交A1C于点O，连接CM、OM，即可得到∠COM为异面直线BC1与A1C所成角或其补角，再由余弦定理计算可得．
19.【答案】解：(1)设圆心Ca,0到直线l的距离为d，则d= 1- 322=12=8a-3 82+62，解得a=1或-14，
因为点C在直线l的下方，所以a=1，C1,0，
所以圆C的方程为x-12+y2=1．
(2)
因为SPACB=12PC⋅AB=PAAC= PC2-1，所以PCAB最小即PC最小，
当PC⊥l1时，PC最小，所以此时kPC=1，PC的直线方程为：y=x-1，
联立y=x-1x+y-3=0得x=2y=1，所以P2,1，PC中点32,12，PC= 2-12+1= 2，
所以以PC为直径的圆的方程为：x-322+y-122=12，
直线AB为以PC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线，
联立x-322+y-122=12x-12+y2=1得x+y=2，
所以直线AB的方程为x+y=2．

【解析】【分析】(1)设圆心Ca,0，根据直线l被圆C所截的弦长为 3列方程得到a，然后写圆的方程即可；
(2)根据等面积的思路得到当PC⊥l1时，PCAB最小，然后根据直线AB为以PC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线求直线方程．
20.【答案】解：(1)依题意当B为椭圆的上、下顶点时△BF1F2面积的取得最大值，
则ca= 2212b×2c=2a2=b2+c2，解得a=2b= 2,
所以椭圆C的 方程为：x24+y22=1．
(2)依题意P(m,n)，则m 24+n 22=1，且A-2,0，
若点P为右顶点，则点Q为上(或下)顶点，则AP=4，AQ= 6，
此时△PAQ不是等边三角形，不合题意，所以m≠±2，n≠0．
设线段PA中点为M，所以Mm-22,n2，
因为PA⊥MQ，所以kPA⋅kMQ=-1，
因为直线PA的斜率kAP=nm+2，所以直线MQ的斜率kMQ=-m+2n，
又直线MQ的方程为y-n2=-m+2nx-m-22，
令x=0，得到yQ=n2+m+2m-22n，
因为m 24+n 22=1，所以yQ=-n2，
因为△PAQ为正三角形，
所以AP=AQ，即 m+22+n 2= 22+n 24，
化简，得到5m 2+32m+12=0，
解得m=-25，m=-6(舍)
故点P的横坐标为-25．

【解析】【分析】(1)根据三角形BF1F2的面积、离心率以及a2=b2+c2列出关于a,b,c的方程组，由此求解出a,b的值，则椭圆C的方程可求；
(2)表示出AP的垂直平分线方程，由此确定出Q点坐标，再根据△PAQ为等边三角形可得AP=AQ，由此列出关于m,n的等式并结合椭圆方程求解出P点坐标．
解答本题第二问的 关键在于AP垂直平分线方程的求解以及将△PAQ的结构特点转化为等量关系去求解坐标，在计算的过程中要注意利用P点坐标符合椭圆方程去简化运算．
21.【答案】
解：(1)取AC中点G，连接NG，GD，
因为N,G分别为AB,AC中点，
所以NG//BC，NG=12BC，
因为四边形BCDF为菱形，M为DF中点，
所以DM/​/BC，DM=12BC，
所以NG//DM，NG=DM，则四边形NGDM为平行四边形，
所以MN//DG，
因为MN⊄平面ACDE，DG⊂平面ACDE，
所以MN//平面ACDE．
(2)取DF中点H，连接CH，CF
因为平面BCDF⊥平面ACDE，平面BCDF∩平面ACDE=CD，AC⊥CD，AC⊂平面ACDE，
所以AC⊥平面BCDF，
因为CH⊂平面BCDF，CB⊂平面BCDF，
所以AC⊥CH，AC⊥CB，
因为∠DCB=120∘，四边形BCDF为菱形，
所以三角形DCF为等边三角形，
因为H为DF中点，
所以CH⊥DF，CH⊥CB，
所以CH,CB,AC两两垂直，
以C为原点，分别以CA,CB,CH为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
N2, 3,0，A4,0,0，B0,2 3,0，F0, 3,3，D0,- 3,3，DF=0,2 3,0，AB=-4,2 3,0，AF=-4, 3,3，ND=-2,-2 3,3
设DMDF=λ，则DM=λDF=0,2 3λ,0，NM=ND+DM=-2,2 3λ-2 3,3，
设平面ABF的法向量为m=x,y,z，
则m⋅AB=-4x+2 3y=0m⋅AF=-4x+ 3y+3z=0，令x= 3，则y=2，z=2 33，
所以m= 3,2,2 33，
csNM,m=NM⋅mNMm=-2 3+4 3λ-4 3+2 3 4+2 3λ-2 32+9× 3+4+43=310，
解得λ=1- 3926或1+ 3926(舍去)，
所以线段DF上存在点M，使得直线MN与平面ABF所成角的正弦值为310，
此时DMDF=1- 3926．

【解析】【分析】(1)根据中位线和平行四边形的性质得到MN//DG，然后根据线面平行的判定定理证明；
(2)建系，然后利用空间向量的方法列方程，解方程即可．
22.【答案】解：(1)依题意可得A-2,0，可设l:y=kx+2，PxP,yP，
由y=kx+2x24+y23=1，消去y整理得3+4k2x2+16k2x+16k2-12=0，
∴Δ=483+4k2-4k2=144>0，∴-2xP=16k2-123+4k2，
∴xP=6-8k23+4k2，yP=k6-8k23+4k2+2=12k3+4k2，
∴P6-8k23+4k2,12k3+4k2，
所以AP= 6-8k23+4k2+22+12k3+4k22=12 27，解得k2=1或k2=-3132(舍去)，
所以k=±1．
(2)由(1)知P6-8k23+4k2,12k3+4k2，F1,0，
若直线PF斜率存在，则kPF=4k1-4k2，∴直线PF:x=1-4k24ky+1，
由x=1-4k24ky+1x-12+y2=1得y2=4k4k2+12，又点T在 线段PF上，
所以x=24k2+1y=4k4k2+1，即T24k2+1,4k4k2+1，又B2,0，
∴BT=-8k24k2+1,4k4k2+1，
设Qm,km+2，则QT=-4mk2+2-m4k2+1,-4m+2k3+2-mk4k2+1，
∴QT⋅BT=8k24mk2-2+m-16m+2k4+8-4mk24k2+12=k24m-84k2+14k2+12=k24m-84k2+1；
当4m-8=0时，QT⋅BT=0为定值，此时m=2，则Q2,4k，此时Q在定直线x=2上；
当4m-8≠0时，QT⋅BT不为定值，不合题意；
若直线PF斜率不存在，由椭圆和圆的对称性，不妨设P1,32，从而有T1,1，B2,0，
此时kAP=12，则直线AP:y=12x+2，
设Qm,12m+2，则QT=1-m,1-12m+2，BT=-1,1，∴QT⋅BT=12m-1，
则m=2时，QT⋅BT=0，满足题意；
综上所述：当QT⋅BT=0为定值，点Q在定直线x=2上.

【解析】【分析】(1)设l:y=kx+2，PxP,yP，联立直线与椭圆方程，求出P点坐标，再由两点间的距离公式求出k；
(2)由P点坐标可求得PF斜率，进而得到PF方程，与圆的方程联立可得T点坐标；设Qm,km+2，利用向量数量积坐标运算表示出QT⋅BT=k24m-84k2+1，可知若QT⋅BT为定值，则m=2，知Q2,4k；当直线PF斜率不存在时，验证可知m=2满足题意，由此可得定直线方程．
本题考查椭圆与向量的综合应用问题，涉及到椭圆中的向量数量积问题的求解；本题求解点Q所在定直线的关键是能够根据Q点横纵坐标之间的关系，结合向量数量积坐标运算化简QT⋅BT，将QT⋅BT化为关于Q点横坐标和直线斜率的关系式，从而分析确定定值后，再得到Q点坐标的特征.