2020-2021年天津高一数学下学期期中试卷及答案

这是一份2020-2021年天津高一数学下学期期中试卷及答案，共10页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题（每小题3分，共27分）.
1．若复数z＝（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，则实数x的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．﹣1或1
2．在复平面内，复数z对应的点是Z（1，﹣2），则复数z的共轭复数＝（ ）
A．1+2iB．1﹣2iC．2+iD．2﹣i
3．若向量＝（1，0），＝（2，1），＝（x，1）满足条件3﹣与共线，则x的值（ ）
A．1B．﹣3C．﹣2D．﹣1
4．设，是非零向量，“＝||||”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．若向量、满足：||＝1，（+）⊥，（2+）⊥，则||＝（ ）
A．2B．C．1D．
6．如果在△ABC中，a＝3，，c＝2，那么B等于（ ）
A．B．C．D．
7．一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1：4，截去小圆锥的母线长为3cm，则圆台的母线长为（ ）
A．3cmB．9cmC．12cmD．6cm
8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcsC+ccsB＝asinA，则△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定
9．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝，AB＝2，AD＝1，若M、N分别是边AD、CD上的点，且满足＝＝λ，其中λ∈[0，1]，则•的取值范围是（ ）
A．[﹣3，1]B．[﹣3，﹣1]C．[﹣1，1]D．[1，3]
二、填空题（共6小题）.
10．若复数，则|z|＝ ．
11．若向量，满足（+）＝7，且||＝，||＝2，则向量与夹角为 ．
12．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，A＝45°，则b等于 ．
13．等腰直角三角形直角边长为2，以斜边所在直线为轴旋转，其余各边旋转一周形成几何体，则该几何体的体积为 ．
14．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上．则球的体积与圆柱的体积的比值为 ．
15．如图，平面内有三个向量、、，其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为 ．
三、解答题（共4题，第16、17、18题每小题12分，第19题13分，共49分.）
16．已知＝（1，2），＝（﹣3，1）．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设的夹角为θ，求csθ的值；
（Ⅲ）若向量与互相垂直，求k的值．
17．如图，在▱ABCD中，M，N分别在BC，AB上，且BM＝2MC，AN＝3NB，＝，＝．
（1）试用，表示，；
（2）若||＝4，||＝3，∠BAD＝60°，求•的值．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角C的大小；
（2）如果a+b＝6，＝4，求c的值．
19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2csC（acsB+bcsA）＝c．
（1）求C；
（2）若c＝，△4BC的面积为，求△ABC的周长．
参考答案
一、选择题（共9小题）.
1．若复数z＝（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，则实数x的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．﹣1或1
选：A．
2．在复平面内，复数z对应的点是Z（1，﹣2），则复数z的共轭复数＝（ ）
A．1+2iB．1﹣2iC．2+iD．2﹣i
选：A．
3．若向量＝（1，0），＝（2，1），＝（x，1）满足条件3﹣与共线，则x的值（ ）
A．1B．﹣3C．﹣2D．﹣1
选：D．
4．设，是非零向量，“＝||||”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
选：A．
5．若向量、满足：||＝1，（+）⊥，（2+）⊥，则||＝（ ）
A．2B．C．1D．
选：B．
6．如果在△ABC中，a＝3，，c＝2，那么B等于（ ）
A．B．C．D．
选：C．
7．一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1：4，截去小圆锥的母线长为3cm，则圆台的母线长为（ ）
A．3cmB．9cmC．12cmD．6cm
解：如图，设圆台的母线长为y，
因为圆台的上下底面半径的比是1：4，
所以可设圆台的上下底面半径分别是x、4x，
根据相似三角形的性质得＝，
解此方程得y＝9．
所以圆台的母线长为9cm．
故选：B．
8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcsC+ccsB＝asinA，则△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定
解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
∵bcsC+ccsB＝asinA，则由正弦定理可得 sinBcsC+sinCcsB＝sinAsinA，
即 sin（B+C）＝sinAsinA，可得sinA＝1，故A＝，故三角形为直角三角形，
故选：B．
9．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝，AB＝2，AD＝1，若M、N分别是边AD、CD上的点，且满足＝＝λ，其中λ∈[0，1]，则•的取值范围是（ ）
A．[﹣3，1]B．[﹣3，﹣1]C．[﹣1，1]D．[1，3]
解：建立如图所示的以A为原点，
AB，AD所在直线为x，y轴的直角坐标系，
则B（2，0），A（0，0），D（，）．
∵满足＝＝λ，λ∈[0，1]，
＝+＝+（1﹣λ）＝+（1﹣λ）
＝（，）+（1﹣λ）（2，0）
＝（﹣2λ，）；
＝+＝﹣+（1﹣λ）
＝（﹣2，0）+（1﹣λ）（，）＝（﹣﹣λ，（1﹣λ）），
则•＝（﹣2λ，）•（﹣﹣λ，（1﹣λ））
＝（﹣2λ）（﹣﹣λ）+•（1﹣λ）
＝λ2+λ﹣3＝（λ+）2﹣，
因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ＝﹣，
则[0，1]为增区间，
故当λ∈[0，1]时，λ2+λ﹣3∈[﹣3，﹣1]．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。）
10．若复数，则|z|＝ 1 ．
解：∵＝＝﹣i，
∴|z|＝1，
故答案为：1．
11．若向量，满足（+）＝7，且||＝，||＝2，则向量与夹角为 ．
解：∵||＝2，（+）＝7，
∴，即．
设向量与的夹角为θ，
则csθ＝，
则向量与夹角为．
故答案为：．
12．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，A＝45°，则b等于 ．
解：由正弦定理：，
可得＝＝．
故答案为：4．
13．等腰直角三角形直角边长为2，以斜边所在直线为轴旋转，其余各边旋转一周形成几何体，则该几何体的体积为 ．
解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．
V＝2×S•h＝πR2•h
＝2×π×（）2×＝．
故答案为：．
14．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上．则球的体积与圆柱的体积的比值为 ．
解：如图，
外接球的体积，
圆柱的底面直径，故底面半径，
故圆柱体积V2＝3π×2＝6π．故球的体积与圆柱的体积的比值为．
故答案为：．
15．如图，平面内有三个向量、、，其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为 6 ．
解：过C作与的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，
由∠BOC＝90°，∠AOC＝30°，
由＝||＝1，||＝得平行四边形的边长为2和4，
λ+μ＝2+4＝6．
故答案为6．
三、解答题（共4题，第16、17、18题每小题12分，第19题13分，共49分.）
16．已知＝（1，2），＝（﹣3，1）．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设的夹角为θ，求csθ的值；
（Ⅲ）若向量与互相垂直，求k的值．
解：（Ⅰ）＝（1，2）﹣2（﹣3，1）＝（1+6，2﹣2）＝（7，0）．
（Ⅱ）＝﹣．
（Ⅲ）因为向量与互相垂直，
所以，（）•（）＝0，即
因为＝5，，所以，5﹣10k2＝0，解得 ．
17．如图，在▱ABCD中，M，N分别在BC，AB上，且BM＝2MC，AN＝3NB，＝，＝．
（1）试用，表示，；
（2）若||＝4，||＝3，∠BAD＝60°，求•的值．
解：（1）∵BM＝2MC，AN＝3NB，＝，＝，ABCD是平行四边形，
＝﹣＝﹣＝﹣，
＝+＝+＝+．
（2）∵||＝4，||＝3，∠BAD＝60°，
∴由（1）可得•＝（+）•（﹣）
＝2﹣2﹣•
＝×16﹣×9﹣×4×3×
＝3．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角C的大小；
（2）如果a+b＝6，＝4，求c的值．
解：（1）因为＝，，
所以sinC＝csC，即tanC＝，
由C∈（0，π），得到C＝；
（2）由（1）得：csC＝cs＝
则＝||•||csC＝ab，又＝4，所以ab＝8，
又因为a+b＝﹣6，根据余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2abcsC＝（a+b）2﹣3ab＝12，
由c＞0，解得c＝2．
19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2csC（acsB+bcsA）＝c．
（1）求C；
（2）若c＝，△4BC的面积为，求△ABC的周长．
解：（1）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2csC（acsB+bcsA）＝c．
所以2csC（sinAcsB+sinBcsA）＝sinC．
整理得：2csCsin（A+B）＝2csCsinC＝sinC，
故：csC＝．
由于0＜C＜π，故
C＝．
（2）由于，解得ab＝6，
由于c2＝a2+b2﹣2abcsC，
所以7＝（b+a）2﹣2ab﹣ab，
整理得：a+b＝5．
则：．