辽宁省大连市名校2024届九年级上学期10月联考数学试卷(含解析)

这是一份辽宁省大连市名校2024届九年级上学期10月联考数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.二次函数的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
3.是关于的一元二次方程的一个根，则此方程的另一个根是( )
A. B. C. D.
4.用配方法解方程，下列配方结果正确的是( )
A. B. C. D.
5.把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是( )
A. B.
C. D.
6.关于抛物线的判断，下列说法正确的是( )
A. 抛物线的开口方向向上B. 抛物线的对称轴是直线
C. 当时，随的增大而减小D. 抛物线与轴的交点坐标为
7.若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个近似解的范围是( )
A. B. C. D.
9.某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是若设主干长出个支干，则可列方程( )
A. B. C. D.
10.在一次足球比赛中，小明将在地面上的足球对着球门踢出，足球的飞行高度与飞行时间满足二次函数关系，其函数图象如图所示若不考虑空气阻力，足球飞出时，足球的飞行高度是，足球从飞出到落地共用，则足球最大的飞行高度是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.已知二次函数有最大值，则的取值范围是______ ．
12.关于的一元二次方程的两个根分别是与，则 ______ ．
13.若是关于的一元二次方程的解，则的值是______ ．
14.某座石拱桥的桥拱近似抛物线形，以拱顶为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则其解析式为，当水面宽度是米时，水面到拱顶的高度是 米
15.为增强学生身体素质，某校开展篮球比赛，赛制为单循环形式每两队之间赛一场现计划安排场比赛，应安排多少个球队参赛？设安排个球队参赛，根据题意，可列方程为______．
16.如图，抛物线经过正方形的三个顶点，，，点在轴上，则的值为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
解方程．
18.本小题分
二次函数的图象经过点，．
求此二次函数的解析式；
判断点是否在此函数的图象上．
19.本小题分
某种音乐播放器原来每只售价元，经过连续两次降价后，现在每只售价为元求平均每次降价的百分率．
20.本小题分
已知二次函数．
将其配方成顶点式，并写出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴；
求出抛物线与轴的交点坐标．
21.本小题分
已知关于的一元二次方程为常数．
求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
若方程的两个实数根之和比两个实数根之积小，求的值．
22.本小题分
某超市以每件元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于元经过市场调查发现，该文具的每天销售数量件与销售单价元之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
直接写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
若该超市每天销售这种文具获利元，则销售单价为多少元？
设销售这种文具每天获利元，当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
23.本小题分
如图，抛物线：过点，点．
求抛物线的解析式；
将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位；得到抛物线，平移后点的对应点为，点的对应点为，若四边形为正方形，求抛物线的解析式．
24.本小题分
为了有效预防和控制疫情，及时监测疫情发展态势，实施定期核酸检测．某社区准备搭建一个动态核酸检测点，现有米可移动的隔离带，搭围成如图的临时检测点，这是一个一面靠墙墙面为的矩形，内部分成两个区，区为登记区，区为检测区，入口通道在边上，两区通道在边上，出口通道在边上，通道宽均为米．
若设，则可表示为______；
问所围成矩形的面积能否达到平方米？如果能，求出的长；如果不能，说明理由；
检测点使用一天后，发现检测点面积需要扩大，问现有的米隔离带，能否围出平方米的面积？如果能，请说明理由；如果不能，在搭围方法不变的情况下，则至少需要增加多少米隔离带，恰好能围成平方米？
25.本小题分
抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，点在抛物线上．
求抛物线的解析式；
如图，点在上方的抛物线上，当的面积最大时，求点的坐标；
是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
解析：解：方程是一元一次方程，选项A不符合题意；
B.是一元一次不等式，选项B不符合题意；
C.方程是分式方程，选项C不符合题意；
D.方程是一元二次方程，选项D符合题意．
故选：．
利用一元二次方程的定义，即可找出是一元二次方程的选项．
本题考查了一元二次方程的定义，牢记一元二次方程的定义是解题的关键．
2.【答案】
解析：解：二次函数的顶点坐标是．
故选：．
已知解析式为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为直线，顶点坐标为．
3.【答案】
解析：解：设方程的另一根为，
由根据根与系数的关系可得：，
．
故选：．
由于该方程的一次项系数是未知数，所以求方程的另一解可以根据根与系数的关系进行计算．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，．
4.【答案】
解析：解：把方程的常数项移到等号的右边，得到
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到
配方得．
故选A．
5.【答案】
解析：解：将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位得到函数解析式是：．
故选：．
按照“左加右减，上加下减”的规律进行解题．
此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
6.【答案】
解析：解：抛物线，
该抛物线的开口向下，抛物线的对称轴是直线，当时，随的增大而增大，故选项A、、不符合题意；
当时，，
抛物线与轴的交点坐标为，故选项D符合题意．
故选：．
根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
7.【答案】
解析：解：关于的一元二次方程没有实数根，
，即，
解得，
的取值范围是．
故选：．
由关于的一元二次方程没有实数根，根据的意义得到，即，然后解不等式即可得到的取值范围．
本题考查了一元二次方的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
8.【答案】
解析：解：时，，时，，对称轴为，又当时，，时，，函数在上随的增大而增大，得
一元二次方程的一个近似解在
，
故选：．
根据函数的增减性：函数在上随的增大而增大，可得答案．
本题考查了图象求一元二次方程的近似根，两个函数值的积小于零时，方程的解在这两个函数值对应的自变量的中间．
9.【答案】
解析：解：设主干长出个支干，则长出个小分支，
根据题意得：．
故选：．
设主干长出个支干，则长出个小分支，根据主干、支干和小分支总数是，即可列出关于的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10.【答案】
解析：解：设关于的函数解析式为．
依题可知：当时，，当时，．
，，
解得，，
．
该函数的顶点坐标为，
足球最大的飞行高度是．
故选：．
该函数图象过坐标原点，所以对应解析式中的常数项为函数的顶点坐标为，题中，，．
本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意列出函数关系式．
11.【答案】
解析：解：二次函数有最大值，
，即．
故答案为：．
本题考查二次函数的性质及最小大值的求法．
求二次函数的最大小值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
12.【答案】
解析：解：根据题意得，
解得，
故答案为：．
利用直接开平方法解方程得到方程的两根互为相反数，则，则可计算出即可．
本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
13.【答案】
解析：解：将代入原方程得：，
，
．
故答案为：．
将代入原方程，可得出，再将其代入中，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的解，将方程的解代入原方程，求出是解题的关键．
14.【答案】
解析：解：水面的宽度为米，
的横坐标为，
把代入，
得，
，
故答案为：．
根据题意，把直接代入解析式即可解答．
本题考查了二次函数的实际应用，利用二次函数的解析式求值是解题关键．
15.【答案】
解析：解：依题意得：．
故答案为：．
利用比赛的总场次数参赛队伍数参赛队伍数，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16.【答案】
解析：解：过作轴于，
四边形是正方形，
，
，
，
设，则，
，
解得，，
的值为，
故答案为：．
过作轴于，根据正方形的性质得到，得到，利用待定系数法求得、的值，即可求得结论．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据图象得出抛物线经过的点的坐标是解题的关键．
17.【答案】解：，
，
，．
解析：根据公式法求解即可．
考查了解一元二次方程公式法，公式法解一元二次方程的一般步骤为：把方程化成一般形式，进而确定，，的值注意符号；求出的值若，方程无实数根；在的前提下，把、、的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：；．
18.【答案】解：二次函数的图象经过点，，
，
解得，
此二次函数的解析式为；
当时，，
点在此函数的图象上．
解析：利用待定系数法即可求出此函数的解析式；
将点的横坐标代入函数解析式，求出函数值，如果等于其纵坐标则在此函数图象上，否则不在．
本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法是解题的关键．
19.【答案】解：设平均每次降价的百分率为，
依题意，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：平均每次降价的百分率为．
解析：设平均每次降价的百分率为，根据该种音乐播放器的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20.【答案】解：，
抛物线开口向上；
，
顶点坐标，对称轴为：直线；
令，即，
解得或，
抛物线与轴的交点坐标为，．
解析：利用配方法将该二次函数解析式化简成顶点式，可得到顶点坐标，对称轴等，根据可得出抛物线开口方向；
令，解得的值，即可得出与轴的交点坐标．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下；的值越大，开口越小，反之，则越大；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．
21.【答案】证明：

，
无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
解：由根与系数的关系得出：，，
由，
得：，
解得：或，
的值为或．
解析：根据根的判别式得出，据此可得答案；
根据根与系数的关系得出，，代入得出关于的方程，解之可得答案．
本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，．
22.【答案】解：设与之间的函数关系式为，由所给函数图象可知：
，
解得：，
故与的函数关系式为；
根据题意得：
，
解得：，，
又，
，
答：销售单价应为元．

，
抛物线开口向下，
对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
当时，有最大值，．
答：当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元．
解析：设与之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式；
依据利润单件利润销售量列出方程，解答即可；
根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值．
本题考查二次函数的应用，关键是根据利润单件利润销售量列出函数解析式．
23.【答案】解：抛物线：过点，点，
，解得，
抛物线的解析式为．
将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位则，，
四边形为正方形，
，，
，
解得，
，
抛物线的解析式为，即．
解析：利用待定系数法即可求得函数的解析式；
由四边形为正方形，可知，，即可得出，解得，根据“左加右减，上加下减”的原则求出平移后的抛物线．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，正方形的性质，求得、的值是解题的关键．
24.【答案】
解析：解：根据题意得：，
，
米，
则可表示为：，
故答案为：；
根据题意得：，
，
，
或，
长为米或米；
根据题意得：矩形的面积，
当时，矩形的面积有最大值，最大值，
不可能围出的面积；
当米，米时，矩形的面积平方米，
只需隔离带米，
需增加隔离带米．
答：不可能围出的面积；至少需增加隔离带米，恰好能围成平方米．
根据各边之间的关系，即可用含的代数式表示出的长；
利用矩形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值；
根据二次函数的性质求出面积的最大值，进而可以解决问题．
本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，矩形的性质，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25.【答案】解：抛物线的对称轴为直线，，
，
把，代入得；
，
解得，
抛物线的解析式为；
过作轴交于，如图：

在中，令得，
，
由，得直线的解析式为，
设，则，
，
，
，
当时，取最大值，
此时的坐标为；
存在点，使得，理由如下：
当在上方时，如图：

，
，
在中，令得：，
解得或，
；
当在下方时，设交轴于，如图：

，
，
设，
，，
，
解得，
，
由，得直线解析式为，
联立，
解得或，
；
综上所述，的坐标为或
解析：由抛物线的对称轴为直线，，知，再用待定系数法可得抛物线的解析式为；
过作轴交于，求出，直线的解析式为，设，可得，由二次函数性质可得答案；
当在上方时，，令得：，可得；当在下方时，设交轴于，可得，设，有，，即可求出直线解析式为，联立，可解得答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰三角形性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．










销售单价元
每天销售数量件