山西省临汾市两县一市2024届九年级上学期9月月考数学试卷(含解析)

这是一份山西省临汾市两县一市2024届九年级上学期9月月考数学试卷(含解析)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和常数项分别为( )
A. ，B. ，C. ，D. ，
3.下列计算中正确的是( )
A. B. C. D.
4.要使二次根式有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.用配方法解一元二次方程，则配方后所得的方程为( )
A. B. C. D.
6.一元二次方程的解为( )
A. B. C. 或D. 或
7.某校九年级各班进行拔河比赛，每两个班之间都要赛一场，共赛场设共有个班参赛，根据题意可列方程为( )
A. B. C. D.
8.已知，则化简的结果为( )
A. B. C. D.
9.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为( )
A. 且B.
C. 且D.
10.有人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11.若关于的方程的一个根是，则常数的值为______ ．
12.计算的结果是______ ．
13.已知是正整数，是整数，则的最小值为______ ．
14.写出一个两个根分别为和的一元二次方程______ ．
15.用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使场地的面积为，并且在垂直于墙的一边开一个长的小门该门用其他材料，若墙长，则该长方形场地的长为______
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.本小题分
解下列一元二次方程：
；
因式分解法
17.本小题分
计算：
；
．
18.本小题分
已知关于的方程．
求证：无论为何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
若该方程有一个根为，求该方程的另一个实数根．
19.本小题分
一个两位数，个位数字比十位数字大，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原两位数与其十位数字的乘积加上正好等于新的两位数，求原来的两位数．
20.本小题分
观察下列各式：
；
；
；
根据你发现的规律填空： ______ ；
请用为正整数来表示含有上述规律的等式，并证明该等式成立．
21.本小题分
“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展某品牌头盔的销量逐月攀升，某超市以每个元的进价购进一批该品牌头盔，当该头盔售价为元个时，七月销售个，八九月该品牌头盔销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到个．
求八，九两月销量的月平均增长率；
十月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该品牌头盔售价每降低元，月销量在九月销量的基础上增加个，当该品牌头盔售价为多少元时，超市十月能获利元？
22.本小题分
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“方正方程”．
判断一元二次方程是否为“方正方程”，请说明理由；
已知关于的一元二次方程是“方正方程”，求的最小值．
23.本小题分
如图，在直角中，，，，现有动点从点出发，沿射线运动，速度为，动点从点出发，沿线段运动，速度为，到点时停止运动，它们同时出发，设运动时间为秒．
当时，求的面积；
多少秒时，的面积为？
答案和解析
1.【答案】
解析：解：、，它们都含有分母，都不是最简二次根式，
故选项A、不符合题意；
，被开方数中含有能开得尽方的因式，它不是最简二次根式，
故选项D不符合题意；
符合最简二次根式的定义，故选项C符合题意．
故选：．
利用二次根式的定义逐个判断得结论．
本题考查了二次根式，掌握最简二次根式的定义是解决本题的关键．
2.【答案】
解析：解：将一元二次方程化为一般形式为，
二次项系数和常数项分别为，，
故选：．
根据一元二次方程的一般形式：形如为常数且，即可解答．
本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
3.【答案】
解析：解：．，所以选项符合题意；
B.，所以选项不符合题意；
C.，所以选项不符合题意；
D.与不能合并，所以选项不符合题意．
故选：．
根据二次根式的除法法则对选项进行判断；根据二次根式的减法运算对选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对选项进行判断；根据二次根式的加法运算对选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
4.【答案】
解析：解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
5.【答案】
解析：解：，
，
则，即，
故选D．
6.【答案】
解析：解：，
移项，得，
．
．
或．
或．
故选：．
先移项，利用提公因式法得一元一次方程，求解即可．
，．
7.【答案】
解析：解：根据题意得：．
故选：．
利用比赛的总场数参赛班级数参赛班级数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】
解析：解：
，
，
原式
．
故选：．
利用二次根式的性质先化简，再利用绝对值的定义化简得结论．
本题主要考查了二次根式，掌握二次根式的性质““及绝对值的定义是解决本题的关键．
9.【答案】
解析：解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
解得且．
故选：．
根据方程根的情况，利用根的判别式及一元二次方程的定义列出关于的不等式，解之可得．
本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程无实数根．
10.【答案】
解析：解：设每轮传染中平均一个人传染人，
则：，
解得：，不合题意，舍去，
故选：．
根据“经过两轮传染后共有人患了流行性感冒”列方程求解．
本题考查了一元二次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．
11.【答案】
解析：解：关于的方程的一个根是，
，
解得：．
故答案为：．
将代入的方程之中即可求出的值．
此题主要考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是解答此题的关键．
12.【答案】
解析：解：
．
故答案为：．
利用二次根式的乘除法法则，按从左往右的顺序计算即可．
本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的乘除法法则是解决本题的关键．
13.【答案】
解析：解：，
是正整数，是整数，
的最小值为．
故答案为：．
因为是整数，且，则是完全平方数，满足条件的最小正整数为．
本题主要考查了二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．二次根式的运算法则：乘法法则解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．
14.【答案】答案不唯一
解析：解：，，
以和为根的一元二次方程可为．
故答案为：答案不唯一．
先计算出与的和、积，然后根据根与系数的关系写出一个满足条件的一元二次方程．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
15.【答案】
解析：解：设该长方形场地的长为，
则：，
解得：，不合题意，舍去，
故答案为：．
根据“场地的面积为”列方程求解．
本题考查了一元二次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．
16.【答案】解：，
方程整理为，
，
，
，
，
所以，；
，
，
，
或，
所以，．
解析：先把方程化为一般式，再利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
17.【答案】解：

；


．
解析：利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答；
先计算二次根式的除法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：，
，

，
，
，
无论为何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
把代入原方程得：，
解得，
，
两根之和为，
，
该方程的另一个实数根为．
解析：先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；
把代入原方程，通过解新方程可以求得的值，根据两根之和求解可得方程的另一根．
本题考查了一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
19.【答案】解：设原来的两位数的十位数字为，
，
整理得：
解得：，不符合题意，舍去
，故原来的两位数为．
答：原来的两位数为．
解析：先设原来的两位数的十位数字为，再根据题意列出等式，最后进行计算即可．
本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
20.【答案】
解析：解：根据上面的规律，可得：．
故答案为：．
为正整数；
证明：为正整数，
．
．
通过观察先发现规律，利用规律得结论；
先猜想规律，再利用二次根式的性质和二次根式的乘法法则证明．
本题主要考查了二次根式，掌握二次根式的性质、二次根式的运算法则等知识点是解决本题的关键．
21.【答案】解：设八，九两月销量的月平均增长率为，
由题意可得：，
解得：，，不符合题意，舍去，
答：八，九两月销量的月平均增长率为；
设该品牌头盔售价降低元，
，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
元，
答：该品牌头盔售价为元时，超市十月能获利元．
解析：设八，九两月销量的月平均增长率为，由题意列出方程可求解；
设该品牌头盔售价降低元，由题意列出方程，即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
22.【答案】解：该方程是“方正方程”，理由如下：
，
，
，，
，
方程是“方正方程”；
由题意得：，，
，


，

的最小值为．
解析：先解方程，求出方程的两根，然后根据已知条件中的定义进行判断即可；
根据定义，把代入，从而得出，然后等式两边同时平方，把的平方用含有的式子表示出来，求出其最小值即可．
本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是理解已知条件中的新定义，并能利用解决问题．
23.【答案】解：当时，，
，
的面积为：；
当时，
有：，
解得：不合题意，舍去，，
当时，
有：，
解得：，，
综上所述：当时间为或或秒时，的面积为．
解析：根据三角形的面积公式求解；
根据“的面积为”列方程求解．
本题考查了一元二次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．