![2023-2024学年广西防城港市高一上学期期中测试卷数学试题(含解析 )01](http://www.enxinlong.com/img-preview/3/3/15041891/0-1701300974466/0.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
![2023-2024学年广西防城港市高一上学期期中测试卷数学试题(含解析 )02](http://www.enxinlong.com/img-preview/3/3/15041891/0-1701300974571/1.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
![2023-2024学年广西防城港市高一上学期期中测试卷数学试题(含解析 )03](http://www.enxinlong.com/img-preview/3/3/15041891/0-1701300974595/2.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
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2023-2024学年广西防城港市高一上学期期中测试卷数学试题(含解析 )
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这是一份2023-2024学年广西防城港市高一上学期期中测试卷数学试题(含解析 ),共16页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1.设集合A={x|(x+1)(x-4)≥0},B={x|lgx>0},则A∪B=( )
A. [-1,4]B. [4,+∞)
C. (-∞,-1]∪(1,+∞)D. (1,+∞)
2.命题“∃x∈R,x2+2x+3<0”的否定是( )
A. ∃x∈R,x2+2x+3≥0B. ∃x∈R,x2+2x+3>0
C. ∀x∈R,x2+2x+3≥0D. ∀x∉R,x2+2x+3>0
3.下列各组函数是同一函数的是( )
A. y=|x|x与y=1B. y= (x-1)2与y=x-1
C. y=x2x与y=xD. y=x3+xx2+1与y=x
4.已知函数f(x)的定义域为(0,1),则函数f(3x-2)的定义域为( )
A. (0,1)B. (23,1)C. (-1,23)D. (-1,1)
5.设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2 2),f(π),f(-3)的大小关系是( )
A. f(π)>f(-3)>f(-2 2)B. f(π)>f(-2 2)>f(-3)
C. f(π)6.“关于x的不等式x2-2ax+2a>0恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A. {a|0C. {a|-12}
7.碳14是碳元素的一种同位素,具有放射性.活体生物其体内的碳14含量大致不变,当生物死亡后,其组织内的碳14开始衰变并逐渐消失.已知碳14的半衰期为5730年,即生物死亡t年后,碳14所剩质量C(t)=C0(12)t5730,其中C0为活体组织中碳14的质量.科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代.2023年科学家发现某生物遗体中碳14含量约为原始质量的0.8倍,依据计算结果并结合下图中我国历史朝代的时间轴可推断该生物死亡的朝代为(参考数据:lg2≈0.3010)( )
A. 西汉B. 东汉C. 三国D. 晋朝
8.已知函数f(x)=ex-2-e2-x+4,若方程f(x)=kx+4-2k(k>0)有三个不同的根x1,x2,x3,则x1+x2+x3=( )
A. 6B. 4C. 2D. 0
9.下列不等式中成立的是
( )
A. 若a>b,则ac2>bc2B. 若a>b,则a2>b2
C. 若ab,则a3>b3
二、多选题(本大题共3小题,共15.0分。在每小题有多项符合题目要求)
10.函数fx=x1+xx∈R,以下四个结论正确的是( )
A. fx的值域是-1,1
B. 对任意x∈R,都有fx1-fx2x1-x2>0
C. 若规定f1x=fx,fn+1x=ffnx,则对任意的n∈N*,fnx=x1+nx
D. 对任意的x∈-1,1,若函数fx≤t2-2at+12恒成立,则当a∈-1,1时,t≤-2或t≥2
11.已知不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-2或x≥2},则下列结论正确的是( )
A. a>0
B. a-b+c>0
C. b=0
D. cx2-bx+a<0的解集为{x|x<-12或x>12}
12.已知函数f(x)的定义域为R,且f(2x-1)是奇函数,f(x+1)是偶函数,则下列命题正确的是
( )
A. f(x)=f(x-16)B. f(11)=0
C. f(2022)=-f(0)D. f(2024)=f(-1)
三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13.已知幂函数f(x)的图象过点(12,8),则f(4)= .
14.若x>0,y>0,且1x+1y=1,则4x+y的最小值为 .
15.函数f(x)=-x2+4(1-m)x+3在区间(-∞,6]上单调递增,则实数m的取值范围是 .
16.已知函数f(x)=|x+4|-1,x⩽04(12)x-1,x>0,关于x的方程f2(x)-2tf(x)-1-2t=0有4个不等实数根,则实数t的取值范围是 .
四、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题10.0分)
已知非空集合P={x|a+1≤x≤2a+1},Q={x|-2≤x≤5}.
(1)若a=3,求(∁RP)∩Q;
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
18.(本小题12.0分)
柳州市某社区为鼓励大家节约用电,与供电公司约定两种电费收取方案供用户选择:
方案一:每户每月收取管理费5元,月用电量不超过80度时,每度0.5元;超过80度时,超过部分按每度0.75元收取:
方案二:不收取管理费,每度0.6元.
(1)赵英明家上月比较节约,只用了120度电,分别按照这两种方案,计算应缴多少电费?并比较那种方案更合适.
(2)求方案一的收费L(x)(元)与用电量x(度)间的函数关系.若赵英明家九月份按方案一缴费90元,问赵英明家该月用电多少度?
(3)该月用电量在什么范围内,选择方案一比选择方案二好?
19.(本小题12.0分)
函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,当x>0时,f(x)=lnx+3x.
(1)函数f(x)的解析式;
(2)解不等式f(lg2(3x-4))>3.
20.(本小题12.0分)
若存在实数m,n使得h(x)=mf(x)+ng(x),则称函数h(x)为f(x),g(x)的“T(m,n)函数”.
(1)若h(x)=ex为f(x),g(x)的“T(1,2)函数”,其中f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,求f(x),g(x)的解析式;
(2)设函数f(x)=ln(ex+1),g(x)=x,是否存在实数m,n使得h(x)为f(x),g(x)的“T(m,n)函数”,且同时满足:(ⅰ)h(x)是偶函数;(ⅱ)h(x)的值域为[2ln2,+∞)?
若存在,请求出m,n的值;若不存在,请说明理由.
21.(本小题12.0分)
已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2,且当x>0时,f(x)>-2.
(1)求f(0)的值,并用定义证明f(x)在R上是增函数;
(2)若f(x)是一次函数,f(1)=2,且g(x)=xf(x)+t在区间[a,b](12≤a22.(本小题12.0分)
已知函数f(x)=3x.
(1)若对任意的x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)<1f(x2)+m成立,求实数m的取值范围;
(2)已知k∈[13,34],若方程|f(x)-1|-k=0的解分别为x1、x2(x1答案和解析
1.【答案】C
【解析】解:∵A={x|x≤-1或x≥4},B={x|x>1},
A∪B=(-∞,-1]∪(1,+∞).
故选:C.
根据一元二次不等式的解法和对数函数的单调求出集合A,B,然后进行并集的运算即可.
本题考查了一元二次不等式的解法,对数函数的单调性,对数的运算性质,考查了计算能力,属于基础题.
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查存在量词命题的否定,属于基础题.
根据存在量词命题的否定是全称量词命题,即可求解.
【解答】
解:由题意得,存在量词命题的否定是全称量词命题,
则命题“∃x∈R,x2+2x+3<0”的否定是∀x∈R,x2+2x+3≥0.
3.【答案】D
【解析】【分析】
直接利用同一函数的定义判断即可求出结果.
本题考查的知识要点:函数的概念,主要考查学生对同一函数的定理的理解和应用,属于基础题.
【解答】
解:对于选项A:y=|x|x的定义域为{x|x≠0},函数y=1的定义域为R,故错误.
对于选项B:y= (x-1)2=|x-1|和函数y=x-1对应法则不同,故错误.
对于选项C:y=x2x的定义域为{x|x≠0},函数y=x的定义域为R,故错误.
对于选项D:y=x3+xx2+1=x的定义域为R,函数y=x的定义域为R,故正确.
故选:D.
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了抽象函数的定义域及其求法,属于基础题.
直接由3x-2在函数f(x)的定义域内求解x的取值集合得答案.
【解答】
解:∵函数f(x)的定义域为(0,1),
由0<3x-2<1,得23∴函数f(3x-2)的定义域为(23,1).
故选B.
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了利用函数的单调性及奇偶性比较函数值的大小,属于基础题.
根据函数的奇偶性及单调性即可比较大小.
【解答】
解:∵偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,
则f(-2 2)=f(2 2),f(-3)=f(3),
因为π>3>2 2,
所以f(π)>f(3)>f(2 2),
则f(π)> f(-3)> f(-2 2).
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断,不等式的恒成立问题,属于基础题.
求出不等式恒成立的等价条件,即可得出结果.
【解答】
解:关于x的不等式x2-2ax+2a>0恒成立,
则△<0,解得0因为{a|0所以它的一个必要不充分条件应该是C选项.
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用指数函数模型解决实际问题,考查对数运算,属于中档题.
由题意可得,C0(12)t5730=0.8C0,再结合对数公式,即可求解.
【解答】
解:由题意可得,C0(12)t5730=0.8C0,
两边取对数可得,t5730lg12=lg810,
则t=5730×1-3lg 2lg2≈5730×1-≈1847,
则该生物大约于1847年前死亡,
2023-1847=176,
结合已知时间轴,可推断该生物死亡的朝代为东汉(公元176年),
故选B.
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查函数零点与方程的解的关系,属于中档题.
可令x-2=t,则h(t)=et-e-t+4,且h(t)的图象关于(0,4)对称,则f(x)的图象关于(2,4)对称,又直线y=kx+4-2k恒过定点(2,4),可得三个根中一个为2,另两个和为4,即可得到所求和.
【解答】
解:函数f(x)=ex-2-e2-x+4,
可令x-1=t,则h(t)=et-e-t+4,
且h(t)的图象关于(0,4)对称,
则f(x)的图象关于(2,4)对称,
又直线y=kx+4-2k恒过定点(2,4),
由题意可得方程f(x)=kx+4-2k(k>0)有三个不同的根x1,x2,x3,
可得其中一个为2,另两个关于x=2对称,
则x1+x2+x3=6.
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了由已知条件判断所给不等式是否成立,属于基础题.
根据题意依次判断即可。
【解答】
解:A中,c2=0时,ac2=bc2,故A不一定成立;
B中,0>a>b,可得a2C中,令a=-2,b=-1,则a2=4,ab=2,b2=1,显然a2>ab>b2,故C不一定成立;
D中,由于a>b,所以a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)= (a-b) [(a+b2)2+34b2]>0,故正确.
故选:D.
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查带绝对值的函数,函数的定义域,单调性,奇偶性,值域,考查全面,方法灵活,这四个问题在研究时往往是同时考虑的.
A:由绝对值不等式的性质可得函数f(x)的值域为(-1,1);B:判定函数f(x)为奇函数且在[0,+∞)上单调递增,即可判断;C:求出n=1,2时的情况,即可找到规律得答案;D:将恒成立转化函数最值问题,转化为t2-2at≥0对a∈[-1,1]恒成立,利用变量转化构造一次函数h(a)=-2ta+t2进行分析就可确定D错误.
【解答】
解:A:因为0≤|x|<1+|x|,0≤x1+|x|<1,
故x1+|x|∈(-1,1),函数f(x)的值域为(-1,1),A正确;
B:函数f(x)=x1+|x|的定义域为R,
且f(-x)=-x1+|-x|=-x1+|x|=-f(x),
故函数f(x)=x1+|x|是一个奇函数,
当x≥0时,f(x)= x1+x=1- 11+x,且f(0)=0,
判断知函数在[0,+∞)上单调递增,
由奇函数的性质知,函数f(x)=x1+|x|(x∈R)是一个增函数,
故对任意x∈R,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0,故B正确;
C:当n=1,f1(x)=f(x)= x1+|x|,f2(x)= x1+|x|1+ |x|1+|x| = x1+2|x|,
f3x=x1+2x1+x1+2x=x1+3x,
以此类推,可知fnx=x1+nx,C正确.
D:对于任意的x∈[-1,1],f(x)为增函数,
∴函数的最大值为f(1)=12,要使函数f(x)≤t2-2at+12恒成立,
即t2-2at+12≥12,即t2-2at≥0.
设h(a)=-2ta+t2,
若a∈[-1,1]时,则h(1)=-2t+t2≥0h(-1)=2t+t2≥0,即t≥2或t≤0t≥0或t≤-2
得t≤-2或t=0或t≥2,故D错误;
故答案为ABC.
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式的解法,理解一元二次不等式与一元二次方程之间的联系是解题的关键,考查学生的逻辑推理能力和运算能力,属于基础题.
由题意知,-2和2是方程ax2+bx+c=0的两根,且a<0,再利用韦达定理,得出b=0,c=-4a,从而判断选项A和C;由-1∉{x|x≤-2或x≥2},可判断选项B;将b=0,c=-4a代入不等式cx2-bx+a<0,解之,可判断选项D.
【解答】解:由题意知,-2和2是方程ax2+bx+c=0的两根,且a<0,
∴-2+2=-ba,(-2)×2=ca,
∴b=0,c=-4a,A错误,C正确;
∵-1∉{x|x≤-2或x≥2},
∴a-b+c>0,即选项B正确;
不等式cx2-bx+a<0可化为a(2x+1)(2x-1)>0,
∵a<0,∴-12故选:BC.
12.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性,对称性和周期性,考查推理论证能力以及化归转化思想,属于中档题.
由f2x-1是奇函数,fx+1是偶函数,得到函数是周期为8的周期函数,然后逐一核对四个命题得答案.
【解答】解:因为 f2x-1 是奇函数,
所以 f-2x-1=-f2x-1 ,故 f-1-x=-fx-1 , fx=-f-x-2 ,
又因为 fx+1 是偶函数,则 fx+1=f-x+1 , fx=f-x+2 ,
所以 f-x+2=-f-x-2 , fx+4=-fx ,
所以 fx+8=-fx+4=fx ,即函数的周期为8,
由 f-1-x=-fx-1 可得 f-1=0 ,
由 fx+4=-fx 可得 f3=-f-1=0 ,
对于A, fx=fx+-2×8=fx-16 ,正确;
对于B, f11=f8+3=f3=0 ,正确;
对于C, f2022=f8×253-2=f-2=-f2 ,错误;
对于D, f(2024)=f(8×253)=f(0) ,错误.
故选:AB.
13.【答案】164
【解析】【分析】
本题考查了用待定系数法求幂函数的解析式以及利用函数的解析式求函数值的问题,是基础题目.
设出幂函数y=f(x)的解析式,根据图象过点(12,8),求出解析式,计算函数值即可.
【解答】
解:设幂函数f(x)=xα,
其图象过点(12,8),
∴12α=8,解得α=-3,
∴fx=x-3,
∴f(4)=(4)-3=164.
故答案为164.
14.【答案】9
【解析】【分析】
本题考查基本不等式求最值,属于中档题.
由题意可得4x+y=(4x+y)(1x+1y)=5+yx+4xy ,由基本不等式可得.
【解答】
解:∵x>0,y>0,且1x+1y=1,
∴4x+y=(4x+y)(1x+1y)=5+yx+4xy≥5+2 yx⋅4xy=9,当且仅当yx=4xy,即x=32,y=3时取等号,
∴4x+y的最小值是9.
15.【答案】(-∞,-2]
【解析】【分析】
本题考查二次函数的单调性,属于基础题.
利用二次函数的单调性即可得出答案.
【解答】
解:函数f(x)的图象的对称轴为x=-4(1-m)-2=2-2m,
因为函数f(x)在区间(-∞,6]上单调递增,
所以2-2m≥6,解得m≤-2,
所以m的取值范围为(-∞,-2].
16.【答案】-1【解析】【分析】
本题主要考查了分段函数的应用,零点与方程根的关系,属于中档题.
化简函数f(x)的解析式,画出函数f(x)的大致图像,结合图象分析可得-1<2t+1<3,求t的取值范围.
【解答】
解:由已知当x≤-4时,f(x)=-x-5,
当-4当x>0时,f(x)=4(12)x-1,
画出函数f(x)的图象如图所示:
而f2(x)-2tf(x)-1-2t=[f(x)+1][f(x)-(1+2t)]=0,
所以f(x)=-1或f(x)=2t+1
因为f(x)=-1时有1个实根,
所以f(x)=2t+1有3个不等实根,
所以-1<2t+1<3,
解得-117.【答案】解因为P是非空集合,所以2a+1 ≥a+1,即a≥0.
(1)当a=3时,P={x|4≤x≤7}, ∁RP={x|x<4,或x>7},
又Q={x|-2≤x≤5},
所以(∁RP)∩Q={x|-2≤x<4}.
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,则P⫋Q,
即a+1⩾-2,2a+1⩽5,a⩾0,且a+1≥-2和2a+ 1≤5的等号不能同时取得,
解得0≤a≤2,
即实数a的取值范围为{a|0≤a≤2}.
【解析】本题考查了解二次不等式、充分必要条件与集合的包含关系,属简单题.
(1)当a=3时,可得P={x|4≤x≤7},由集合运算可得解;
(2)由充分必要条件与集合的包含关系可得:若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,即P⫋Q,即a+1⩾-2,2a+1⩽5,a⩾0,,得解.
18.【答案】解:(1)第一种方案:5+80×0.5+(120-80)×0.75=75元,
第二种方案:120×0.6=72元,由75>72,故应选择第二种方案.
(2)L(x)=0.5x+5,0⩽x⩽805+80×0.5+0.75(x-80),x>80=0.5x+5,0⩽x⩽800.75x-15,x>80,
①当0⩽x⩽80时,令0.5x+5=90,解得x=170(舍去).
②当x>80时,令0.75x-15=90,解得x=140.
∴该月用电140度.
(3)令g(x)=0.6x-L(x)=0.1x-5,0≤x≤80-0.15x+15,x>80,
①当0≤x≤80时,令g(x)>0,即0.1x-5>0,解得x>50,∴50 ②当x>80时,令g(x)>0,即-0.15x+15>0,解得x<100,∴80综上可得:50即该月用电量在50度到100度(不含50度、100度)范围内,选择方案一比选择方案二好.
【解析】本题考查函数模型的选择与应用,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于基础题.
(1)第一种方案:75元,第二种方案:72元,即得结论;
(2)通过当0≤x≤80、x>80时,计算即得结论.
(3)令g(x)=0.6x-L(x),分当0≤x≤80、x>80时,计算即得结论.
19.【答案】(1)当x<0时,-x>0,则f(x)=f(-x)=ln(-x)+3(-x),
所以当x<0时,f(x)=ln(-x)+(13)x,
所以f(x)的解析式为f(x)=ln (-x)+(13)x,x<0lnx+3x,x>0
(2)因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)=f(|x|),因为f(1)=ln1+31=3.
所以可将f(lg2(3x-4))>3等价于f(|lg2(3x-4)|)>f(1),
因为x>0时,f(x)=lnx+3x.此函数在(0,+∞)上是单调递增,
所以|lg2(3x-4)|>1,
得lg2(3x-4)>1或lg2(3x-4)<-1,
即3x-4>2或0<3x-4<12,
解得x>2或43综上所述,
不等式f(lg2(3x-4))>3的解集为{x|x>2,或43【解析】本题考查函数的奇偶性,以及不等式的解法,属于中档题.
(1)根据偶函数的定义直接求解即可;
(2)利用偶函数及函数的单调性解不等式即可.
20.【答案】解:(1)因为h(x)=ex为f(x),g(x)的“T(1,2)函数”,
所以f(x)+2g(x)=ex ①,所以f(-x)+2g(-x)=e-x,
因为f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,
所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),
所以-f(x)+2g(x)=e-x ②,联立 ① ②,
解得f(x)=12(ex-e-x),g(x)=14(ex+e-x);
(2)存在,且m=2,n=-1,理由如下,
假设存在实数m,n,使得h(x)为f(x),g(x)的“T(m,n)函数”,
则h(x)=mf(x)+ng(x)=mln(ex+1)+nx,
(i)因为h(x)是偶函数,所以h(-x)=h(x),
即mln(e-x+1)-nx=mln(ex+1)+nx,
即mlnex+1e-x+1+2nx=0,
又lnex+1e-x+1=lnex(ex+1)ex+1=lnex=x,
可得(2n+m)x=0,
因为(2n+m)x=0需对任意x∈R成立,所以m=-2n;
(ii)h(x)=mln(ex+1)+nx=-2nln(ex+1)+nx=-nln(ex+1)2ex=-nln(ex+1ex+2),
因为ex+1ex+2≥2 ex⋅1ex+2=4,
当且仅当ex=1ex即x=0时取等号,
所以ln(ex+1ex+2)≥ln4=2ln2,
由于h(x)的值域为[2ln2,+∞),
所以-2nln2=2ln2,所以n=-1,又因为m=-2n,所以m=2.
综上所述,存在m=2,n=-1满足要求.
【解析】本题主要考查函数解析式的求解,利用函数奇偶性的定义和性质建立方程是解决本题的关键,是中档题.
(1)利用函数的奇偶性建立方程组进行求解即可;
(2)根据h(x)是偶函数得m=-2n,根据基本不等式以及h(x)的值域为[2ln2,+∞),进行转化求解即可.
21.【答案】解:(1)∵f(x+y)=f(x)+f(y)+2,
∴令x=y=0得:f(0)=f(0)+f(0)+2
∴f(0)=-2,
证明:在R上任取x1>x2,则x1-x2>0,
∵当x>0时,f(x)>-2,
∴f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)+f(x2)+2>f(x2),
∴f(x)在R上是增函数.
(2)设f(x)=kx+b,f(0)=-2,f(1)=2,
∴b=-2k+b=2⇒b=-2k=4,
∴f(x)=4x-2,g(x)=4x2-2x+t,
∵g(x)在[12,+∞)上单调递增,在区间[a,b](12≤a∴g(a)=6ag(b)=6b,即g(x)=6x在[12,+∞)上有两个不同的根,
即t=-4x2+8x在[12+∞)上有两个不同的根,
令h(x)=-4x2+8x,
又h(x)在[12,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,h(12)=3,h(1)=4,
∴实数t的取值范围为[3,4).
【解析】本题考查的知识点是抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明,属于中档题.
(1)根据已知条件,令x=y=0,即可求出f(0)的值,
在R上任取x1>x2,则x1-x2>0,根据f(x1)=f[(x1-x2)+x2],结合已知条件,即可判断函数的单调性;
(2)由题意得:t=-4x2+8x在[12+∞)上有两个不同的根,由二次函数的性质得t的取值范围.
22.【答案】解:(1)对任意的x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)<1f(x2)+m成立,∴f(x)max<[1f(x)+m]max
因为函数f(x)=3x单调递增,y=1f(x)+m单调递减,
所以f(x)max=3,[1f(x)+m]max=1+m,
所以1+m>3,解得m>2
(2)由|f(x)-1|-k=0,得3x=1+k或3x=1-k,
因为方程|f(x)-1|-k=0的解分别为x1、x2(x1所以3x1=1-k,3x2=1+k,所以3x1-x2=1-k1+k,
由|f(x)-1|-k2k+1=0,得3x=1+k2k+1=3k+12k+1或3x=1-k2k+1=k+12k+1,
因为方程|f(x)-1|-k2k+1=0的解分别为x3,x4(x3所以3x4=3k+12k+1或3x3=k+12k+1,则3x3-x4=k+13k+1,
所以3(x1-x2)+(x3-x4)=3x1-x2⋅3x3-x4=1-k1+k×k+13k+1=1-k3k+1=13+433k+1,
因为函数y=-13+433k+1在k∈[13,34]上单调递减,当k=13时,y=-13+433k+1有最大值13.
所以3(x-x2)+(x3-x4)≤13,则x1-x2+x3-x4≤lg313=-1,所以x1-x2+x3-x4的最大值为-1.
【解析】本题考查恒成立、存在性问题,考查最值问题,属于较难题.
(1)利用f(x)max<[1f(x)+m]max即可求解;
(2)由题意求得3(x1-x2)+(x3-x4)=13+433k+1,利用函数的单调性求得3(x-x2)+(x3-x4)≤13,进而可求x1-x2+x3-x4的最大值
1.设集合A={x|(x+1)(x-4)≥0},B={x|lgx>0},则A∪B=( )
A. [-1,4]B. [4,+∞)
C. (-∞,-1]∪(1,+∞)D. (1,+∞)
2.命题“∃x∈R,x2+2x+3<0”的否定是( )
A. ∃x∈R,x2+2x+3≥0B. ∃x∈R,x2+2x+3>0
C. ∀x∈R,x2+2x+3≥0D. ∀x∉R,x2+2x+3>0
3.下列各组函数是同一函数的是( )
A. y=|x|x与y=1B. y= (x-1)2与y=x-1
C. y=x2x与y=xD. y=x3+xx2+1与y=x
4.已知函数f(x)的定义域为(0,1),则函数f(3x-2)的定义域为( )
A. (0,1)B. (23,1)C. (-1,23)D. (-1,1)
5.设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2 2),f(π),f(-3)的大小关系是( )
A. f(π)>f(-3)>f(-2 2)B. f(π)>f(-2 2)>f(-3)
C. f(π)
A. {a|0C. {a|-12}
7.碳14是碳元素的一种同位素,具有放射性.活体生物其体内的碳14含量大致不变,当生物死亡后,其组织内的碳14开始衰变并逐渐消失.已知碳14的半衰期为5730年,即生物死亡t年后,碳14所剩质量C(t)=C0(12)t5730,其中C0为活体组织中碳14的质量.科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代.2023年科学家发现某生物遗体中碳14含量约为原始质量的0.8倍,依据计算结果并结合下图中我国历史朝代的时间轴可推断该生物死亡的朝代为(参考数据:lg2≈0.3010)( )
A. 西汉B. 东汉C. 三国D. 晋朝
8.已知函数f(x)=ex-2-e2-x+4,若方程f(x)=kx+4-2k(k>0)有三个不同的根x1,x2,x3,则x1+x2+x3=( )
A. 6B. 4C. 2D. 0
9.下列不等式中成立的是
( )
A. 若a>b,则ac2>bc2B. 若a>b,则a2>b2
C. 若ab,则a3>b3
二、多选题(本大题共3小题,共15.0分。在每小题有多项符合题目要求)
10.函数fx=x1+xx∈R,以下四个结论正确的是( )
A. fx的值域是-1,1
B. 对任意x∈R,都有fx1-fx2x1-x2>0
C. 若规定f1x=fx,fn+1x=ffnx,则对任意的n∈N*,fnx=x1+nx
D. 对任意的x∈-1,1,若函数fx≤t2-2at+12恒成立,则当a∈-1,1时,t≤-2或t≥2
11.已知不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-2或x≥2},则下列结论正确的是( )
A. a>0
B. a-b+c>0
C. b=0
D. cx2-bx+a<0的解集为{x|x<-12或x>12}
12.已知函数f(x)的定义域为R,且f(2x-1)是奇函数,f(x+1)是偶函数,则下列命题正确的是
( )
A. f(x)=f(x-16)B. f(11)=0
C. f(2022)=-f(0)D. f(2024)=f(-1)
三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13.已知幂函数f(x)的图象过点(12,8),则f(4)= .
14.若x>0,y>0,且1x+1y=1,则4x+y的最小值为 .
15.函数f(x)=-x2+4(1-m)x+3在区间(-∞,6]上单调递增,则实数m的取值范围是 .
16.已知函数f(x)=|x+4|-1,x⩽04(12)x-1,x>0,关于x的方程f2(x)-2tf(x)-1-2t=0有4个不等实数根,则实数t的取值范围是 .
四、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题10.0分)
已知非空集合P={x|a+1≤x≤2a+1},Q={x|-2≤x≤5}.
(1)若a=3,求(∁RP)∩Q;
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
18.(本小题12.0分)
柳州市某社区为鼓励大家节约用电,与供电公司约定两种电费收取方案供用户选择:
方案一:每户每月收取管理费5元,月用电量不超过80度时,每度0.5元;超过80度时,超过部分按每度0.75元收取:
方案二:不收取管理费,每度0.6元.
(1)赵英明家上月比较节约,只用了120度电,分别按照这两种方案,计算应缴多少电费?并比较那种方案更合适.
(2)求方案一的收费L(x)(元)与用电量x(度)间的函数关系.若赵英明家九月份按方案一缴费90元,问赵英明家该月用电多少度?
(3)该月用电量在什么范围内,选择方案一比选择方案二好?
19.(本小题12.0分)
函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,当x>0时,f(x)=lnx+3x.
(1)函数f(x)的解析式;
(2)解不等式f(lg2(3x-4))>3.
20.(本小题12.0分)
若存在实数m,n使得h(x)=mf(x)+ng(x),则称函数h(x)为f(x),g(x)的“T(m,n)函数”.
(1)若h(x)=ex为f(x),g(x)的“T(1,2)函数”,其中f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,求f(x),g(x)的解析式;
(2)设函数f(x)=ln(ex+1),g(x)=x,是否存在实数m,n使得h(x)为f(x),g(x)的“T(m,n)函数”,且同时满足:(ⅰ)h(x)是偶函数;(ⅱ)h(x)的值域为[2ln2,+∞)?
若存在,请求出m,n的值;若不存在,请说明理由.
21.(本小题12.0分)
已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2,且当x>0时,f(x)>-2.
(1)求f(0)的值,并用定义证明f(x)在R上是增函数;
(2)若f(x)是一次函数,f(1)=2,且g(x)=xf(x)+t在区间[a,b](12≤a22.(本小题12.0分)
已知函数f(x)=3x.
(1)若对任意的x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)<1f(x2)+m成立,求实数m的取值范围;
(2)已知k∈[13,34],若方程|f(x)-1|-k=0的解分别为x1、x2(x1
1.【答案】C
【解析】解:∵A={x|x≤-1或x≥4},B={x|x>1},
A∪B=(-∞,-1]∪(1,+∞).
故选:C.
根据一元二次不等式的解法和对数函数的单调求出集合A,B,然后进行并集的运算即可.
本题考查了一元二次不等式的解法,对数函数的单调性,对数的运算性质,考查了计算能力,属于基础题.
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查存在量词命题的否定,属于基础题.
根据存在量词命题的否定是全称量词命题,即可求解.
【解答】
解:由题意得,存在量词命题的否定是全称量词命题,
则命题“∃x∈R,x2+2x+3<0”的否定是∀x∈R,x2+2x+3≥0.
3.【答案】D
【解析】【分析】
直接利用同一函数的定义判断即可求出结果.
本题考查的知识要点:函数的概念,主要考查学生对同一函数的定理的理解和应用,属于基础题.
【解答】
解:对于选项A:y=|x|x的定义域为{x|x≠0},函数y=1的定义域为R,故错误.
对于选项B:y= (x-1)2=|x-1|和函数y=x-1对应法则不同,故错误.
对于选项C:y=x2x的定义域为{x|x≠0},函数y=x的定义域为R,故错误.
对于选项D:y=x3+xx2+1=x的定义域为R,函数y=x的定义域为R,故正确.
故选:D.
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了抽象函数的定义域及其求法,属于基础题.
直接由3x-2在函数f(x)的定义域内求解x的取值集合得答案.
【解答】
解:∵函数f(x)的定义域为(0,1),
由0<3x-2<1,得23
故选B.
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了利用函数的单调性及奇偶性比较函数值的大小,属于基础题.
根据函数的奇偶性及单调性即可比较大小.
【解答】
解:∵偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,
则f(-2 2)=f(2 2),f(-3)=f(3),
因为π>3>2 2,
所以f(π)>f(3)>f(2 2),
则f(π)> f(-3)> f(-2 2).
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断,不等式的恒成立问题,属于基础题.
求出不等式恒成立的等价条件,即可得出结果.
【解答】
解:关于x的不等式x2-2ax+2a>0恒成立,
则△<0,解得0因为{a|0所以它的一个必要不充分条件应该是C选项.
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用指数函数模型解决实际问题,考查对数运算,属于中档题.
由题意可得,C0(12)t5730=0.8C0,再结合对数公式,即可求解.
【解答】
解:由题意可得,C0(12)t5730=0.8C0,
两边取对数可得,t5730lg12=lg810,
则t=5730×1-3lg 2lg2≈5730×1-≈1847,
则该生物大约于1847年前死亡,
2023-1847=176,
结合已知时间轴,可推断该生物死亡的朝代为东汉(公元176年),
故选B.
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查函数零点与方程的解的关系,属于中档题.
可令x-2=t,则h(t)=et-e-t+4,且h(t)的图象关于(0,4)对称,则f(x)的图象关于(2,4)对称,又直线y=kx+4-2k恒过定点(2,4),可得三个根中一个为2,另两个和为4,即可得到所求和.
【解答】
解:函数f(x)=ex-2-e2-x+4,
可令x-1=t,则h(t)=et-e-t+4,
且h(t)的图象关于(0,4)对称,
则f(x)的图象关于(2,4)对称,
又直线y=kx+4-2k恒过定点(2,4),
由题意可得方程f(x)=kx+4-2k(k>0)有三个不同的根x1,x2,x3,
可得其中一个为2,另两个关于x=2对称,
则x1+x2+x3=6.
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了由已知条件判断所给不等式是否成立,属于基础题.
根据题意依次判断即可。
【解答】
解:A中,c2=0时,ac2=bc2,故A不一定成立;
B中,0>a>b,可得a2
D中,由于a>b,所以a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)= (a-b) [(a+b2)2+34b2]>0,故正确.
故选:D.
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查带绝对值的函数,函数的定义域,单调性,奇偶性,值域,考查全面,方法灵活,这四个问题在研究时往往是同时考虑的.
A:由绝对值不等式的性质可得函数f(x)的值域为(-1,1);B:判定函数f(x)为奇函数且在[0,+∞)上单调递增,即可判断;C:求出n=1,2时的情况,即可找到规律得答案;D:将恒成立转化函数最值问题,转化为t2-2at≥0对a∈[-1,1]恒成立,利用变量转化构造一次函数h(a)=-2ta+t2进行分析就可确定D错误.
【解答】
解:A:因为0≤|x|<1+|x|,0≤x1+|x|<1,
故x1+|x|∈(-1,1),函数f(x)的值域为(-1,1),A正确;
B:函数f(x)=x1+|x|的定义域为R,
且f(-x)=-x1+|-x|=-x1+|x|=-f(x),
故函数f(x)=x1+|x|是一个奇函数,
当x≥0时,f(x)= x1+x=1- 11+x,且f(0)=0,
判断知函数在[0,+∞)上单调递增,
由奇函数的性质知,函数f(x)=x1+|x|(x∈R)是一个增函数,
故对任意x∈R,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0,故B正确;
C:当n=1,f1(x)=f(x)= x1+|x|,f2(x)= x1+|x|1+ |x|1+|x| = x1+2|x|,
f3x=x1+2x1+x1+2x=x1+3x,
以此类推,可知fnx=x1+nx,C正确.
D:对于任意的x∈[-1,1],f(x)为增函数,
∴函数的最大值为f(1)=12,要使函数f(x)≤t2-2at+12恒成立,
即t2-2at+12≥12,即t2-2at≥0.
设h(a)=-2ta+t2,
若a∈[-1,1]时,则h(1)=-2t+t2≥0h(-1)=2t+t2≥0,即t≥2或t≤0t≥0或t≤-2
得t≤-2或t=0或t≥2,故D错误;
故答案为ABC.
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式的解法,理解一元二次不等式与一元二次方程之间的联系是解题的关键,考查学生的逻辑推理能力和运算能力,属于基础题.
由题意知,-2和2是方程ax2+bx+c=0的两根,且a<0,再利用韦达定理,得出b=0,c=-4a,从而判断选项A和C;由-1∉{x|x≤-2或x≥2},可判断选项B;将b=0,c=-4a代入不等式cx2-bx+a<0,解之,可判断选项D.
【解答】解:由题意知,-2和2是方程ax2+bx+c=0的两根,且a<0,
∴-2+2=-ba,(-2)×2=ca,
∴b=0,c=-4a,A错误,C正确;
∵-1∉{x|x≤-2或x≥2},
∴a-b+c>0,即选项B正确;
不等式cx2-bx+a<0可化为a(2x+1)(2x-1)>0,
∵a<0,∴-12
12.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性,对称性和周期性,考查推理论证能力以及化归转化思想,属于中档题.
由f2x-1是奇函数,fx+1是偶函数,得到函数是周期为8的周期函数,然后逐一核对四个命题得答案.
【解答】解:因为 f2x-1 是奇函数,
所以 f-2x-1=-f2x-1 ,故 f-1-x=-fx-1 , fx=-f-x-2 ,
又因为 fx+1 是偶函数,则 fx+1=f-x+1 , fx=f-x+2 ,
所以 f-x+2=-f-x-2 , fx+4=-fx ,
所以 fx+8=-fx+4=fx ,即函数的周期为8,
由 f-1-x=-fx-1 可得 f-1=0 ,
由 fx+4=-fx 可得 f3=-f-1=0 ,
对于A, fx=fx+-2×8=fx-16 ,正确;
对于B, f11=f8+3=f3=0 ,正确;
对于C, f2022=f8×253-2=f-2=-f2 ,错误;
对于D, f(2024)=f(8×253)=f(0) ,错误.
故选:AB.
13.【答案】164
【解析】【分析】
本题考查了用待定系数法求幂函数的解析式以及利用函数的解析式求函数值的问题,是基础题目.
设出幂函数y=f(x)的解析式,根据图象过点(12,8),求出解析式,计算函数值即可.
【解答】
解:设幂函数f(x)=xα,
其图象过点(12,8),
∴12α=8,解得α=-3,
∴fx=x-3,
∴f(4)=(4)-3=164.
故答案为164.
14.【答案】9
【解析】【分析】
本题考查基本不等式求最值,属于中档题.
由题意可得4x+y=(4x+y)(1x+1y)=5+yx+4xy ,由基本不等式可得.
【解答】
解:∵x>0,y>0,且1x+1y=1,
∴4x+y=(4x+y)(1x+1y)=5+yx+4xy≥5+2 yx⋅4xy=9,当且仅当yx=4xy,即x=32,y=3时取等号,
∴4x+y的最小值是9.
15.【答案】(-∞,-2]
【解析】【分析】
本题考查二次函数的单调性,属于基础题.
利用二次函数的单调性即可得出答案.
【解答】
解:函数f(x)的图象的对称轴为x=-4(1-m)-2=2-2m,
因为函数f(x)在区间(-∞,6]上单调递增,
所以2-2m≥6,解得m≤-2,
所以m的取值范围为(-∞,-2].
16.【答案】-1
本题主要考查了分段函数的应用,零点与方程根的关系,属于中档题.
化简函数f(x)的解析式,画出函数f(x)的大致图像,结合图象分析可得-1<2t+1<3,求t的取值范围.
【解答】
解:由已知当x≤-4时,f(x)=-x-5,
当-4
画出函数f(x)的图象如图所示:
而f2(x)-2tf(x)-1-2t=[f(x)+1][f(x)-(1+2t)]=0,
所以f(x)=-1或f(x)=2t+1
因为f(x)=-1时有1个实根,
所以f(x)=2t+1有3个不等实根,
所以-1<2t+1<3,
解得-1
(1)当a=3时,P={x|4≤x≤7}, ∁RP={x|x<4,或x>7},
又Q={x|-2≤x≤5},
所以(∁RP)∩Q={x|-2≤x<4}.
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,则P⫋Q,
即a+1⩾-2,2a+1⩽5,a⩾0,且a+1≥-2和2a+ 1≤5的等号不能同时取得,
解得0≤a≤2,
即实数a的取值范围为{a|0≤a≤2}.
【解析】本题考查了解二次不等式、充分必要条件与集合的包含关系,属简单题.
(1)当a=3时,可得P={x|4≤x≤7},由集合运算可得解;
(2)由充分必要条件与集合的包含关系可得:若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,即P⫋Q,即a+1⩾-2,2a+1⩽5,a⩾0,,得解.
18.【答案】解:(1)第一种方案:5+80×0.5+(120-80)×0.75=75元,
第二种方案:120×0.6=72元,由75>72,故应选择第二种方案.
(2)L(x)=0.5x+5,0⩽x⩽805+80×0.5+0.75(x-80),x>80=0.5x+5,0⩽x⩽800.75x-15,x>80,
①当0⩽x⩽80时,令0.5x+5=90,解得x=170(舍去).
②当x>80时,令0.75x-15=90,解得x=140.
∴该月用电140度.
(3)令g(x)=0.6x-L(x)=0.1x-5,0≤x≤80-0.15x+15,x>80,
①当0≤x≤80时,令g(x)>0,即0.1x-5>0,解得x>50,∴50
【解析】本题考查函数模型的选择与应用,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于基础题.
(1)第一种方案:75元,第二种方案:72元,即得结论;
(2)通过当0≤x≤80、x>80时,计算即得结论.
(3)令g(x)=0.6x-L(x),分当0≤x≤80、x>80时,计算即得结论.
19.【答案】(1)当x<0时,-x>0,则f(x)=f(-x)=ln(-x)+3(-x),
所以当x<0时,f(x)=ln(-x)+(13)x,
所以f(x)的解析式为f(x)=ln (-x)+(13)x,x<0lnx+3x,x>0
(2)因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)=f(|x|),因为f(1)=ln1+31=3.
所以可将f(lg2(3x-4))>3等价于f(|lg2(3x-4)|)>f(1),
因为x>0时,f(x)=lnx+3x.此函数在(0,+∞)上是单调递增,
所以|lg2(3x-4)|>1,
得lg2(3x-4)>1或lg2(3x-4)<-1,
即3x-4>2或0<3x-4<12,
解得x>2或43
不等式f(lg2(3x-4))>3的解集为{x|x>2,或43
(1)根据偶函数的定义直接求解即可;
(2)利用偶函数及函数的单调性解不等式即可.
20.【答案】解:(1)因为h(x)=ex为f(x),g(x)的“T(1,2)函数”,
所以f(x)+2g(x)=ex ①,所以f(-x)+2g(-x)=e-x,
因为f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,
所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),
所以-f(x)+2g(x)=e-x ②,联立 ① ②,
解得f(x)=12(ex-e-x),g(x)=14(ex+e-x);
(2)存在,且m=2,n=-1,理由如下,
假设存在实数m,n,使得h(x)为f(x),g(x)的“T(m,n)函数”,
则h(x)=mf(x)+ng(x)=mln(ex+1)+nx,
(i)因为h(x)是偶函数,所以h(-x)=h(x),
即mln(e-x+1)-nx=mln(ex+1)+nx,
即mlnex+1e-x+1+2nx=0,
又lnex+1e-x+1=lnex(ex+1)ex+1=lnex=x,
可得(2n+m)x=0,
因为(2n+m)x=0需对任意x∈R成立,所以m=-2n;
(ii)h(x)=mln(ex+1)+nx=-2nln(ex+1)+nx=-nln(ex+1)2ex=-nln(ex+1ex+2),
因为ex+1ex+2≥2 ex⋅1ex+2=4,
当且仅当ex=1ex即x=0时取等号,
所以ln(ex+1ex+2)≥ln4=2ln2,
由于h(x)的值域为[2ln2,+∞),
所以-2nln2=2ln2,所以n=-1,又因为m=-2n,所以m=2.
综上所述,存在m=2,n=-1满足要求.
【解析】本题主要考查函数解析式的求解,利用函数奇偶性的定义和性质建立方程是解决本题的关键,是中档题.
(1)利用函数的奇偶性建立方程组进行求解即可;
(2)根据h(x)是偶函数得m=-2n,根据基本不等式以及h(x)的值域为[2ln2,+∞),进行转化求解即可.
21.【答案】解:(1)∵f(x+y)=f(x)+f(y)+2,
∴令x=y=0得:f(0)=f(0)+f(0)+2
∴f(0)=-2,
证明:在R上任取x1>x2,则x1-x2>0,
∵当x>0时,f(x)>-2,
∴f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)+f(x2)+2>f(x2),
∴f(x)在R上是增函数.
(2)设f(x)=kx+b,f(0)=-2,f(1)=2,
∴b=-2k+b=2⇒b=-2k=4,
∴f(x)=4x-2,g(x)=4x2-2x+t,
∵g(x)在[12,+∞)上单调递增,在区间[a,b](12≤a∴g(a)=6ag(b)=6b,即g(x)=6x在[12,+∞)上有两个不同的根,
即t=-4x2+8x在[12+∞)上有两个不同的根,
令h(x)=-4x2+8x,
又h(x)在[12,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,h(12)=3,h(1)=4,
∴实数t的取值范围为[3,4).
【解析】本题考查的知识点是抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明,属于中档题.
(1)根据已知条件,令x=y=0,即可求出f(0)的值,
在R上任取x1>x2,则x1-x2>0,根据f(x1)=f[(x1-x2)+x2],结合已知条件,即可判断函数的单调性;
(2)由题意得:t=-4x2+8x在[12+∞)上有两个不同的根,由二次函数的性质得t的取值范围.
22.【答案】解:(1)对任意的x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)<1f(x2)+m成立,∴f(x)max<[1f(x)+m]max
因为函数f(x)=3x单调递增,y=1f(x)+m单调递减,
所以f(x)max=3,[1f(x)+m]max=1+m,
所以1+m>3,解得m>2
(2)由|f(x)-1|-k=0,得3x=1+k或3x=1-k,
因为方程|f(x)-1|-k=0的解分别为x1、x2(x1
由|f(x)-1|-k2k+1=0,得3x=1+k2k+1=3k+12k+1或3x=1-k2k+1=k+12k+1,
因为方程|f(x)-1|-k2k+1=0的解分别为x3,x4(x3
所以3(x1-x2)+(x3-x4)=3x1-x2⋅3x3-x4=1-k1+k×k+13k+1=1-k3k+1=13+433k+1,
因为函数y=-13+433k+1在k∈[13,34]上单调递减,当k=13时,y=-13+433k+1有最大值13.
所以3(x-x2)+(x3-x4)≤13,则x1-x2+x3-x4≤lg313=-1,所以x1-x2+x3-x4的最大值为-1.
【解析】本题考查恒成立、存在性问题,考查最值问题,属于较难题.
(1)利用f(x)max<[1f(x)+m]max即可求解;
(2)由题意求得3(x1-x2)+(x3-x4)=13+433k+1,利用函数的单调性求得3(x-x2)+(x3-x4)≤13,进而可求x1-x2+x3-x4的最大值