人教版九年级数学上册 25.6 用列举法求概率及频率估计概率（巩固篇）（专项练习）

这是一份人教版九年级数学上册 25.6 用列举法求概率及频率估计概率（巩固篇）（专项练习），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．桌子上有三个不透明的盒子，小慧将一个白球放入其中一个大盒子，大鹏将一个黑球也随机放入一个盒子，则两个球不在同一个盒子里的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，描述错误的是（ ）
A．甲，乙获胜的概率均低于0.5B．甲，乙获胜的概率相同
C．甲，乙获胜的概率均高于0.5D．游戏公平
3．如图，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．某口袋中有20个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜．则当x=（ ）时，游戏对甲乙双方公平．
A．3B．4C．5D．6
5．下列说法正确的是（ ）
A．可能性很大的事件是必然发生的B．南方的冬天永远不会下雪
C．工厂生产的产品可能有不合格的D．掷一枚硬币，正面朝上的概率是
6．一只不透明的袋子中装有若干个白球和红球，共计20个，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回、再搅匀、再摸球，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.3，由此可估计袋子中红球的个数约为（ ）
A．6B．14C．5D．20
7．一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，再放回，不断重复上述过程．小明共摸了100次，其中80次摸到白球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有（ ）
A．18个B．15个C．12个D．10个
8．下列事件中必然发生的事件是（ ）
A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等
B．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式
C．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品
D．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数
9．某研究机构经过抽样调查，发现当地老年人的养老模式主要有五种，抽样调查的统计结果如图： 那么下列说法不正确的是（ ）
A．选择型养老的频率是B．选择养老模式的人数最多
C．估计当地个老年人中有人选择型养老D．样本容量是
10．正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．有4根细木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________．
12．在课后服务时间，甲乙两班进行篮球比赛，在选择比赛场地时，裁判员采用了同时掷两枚完全相同硬币的方法：如果两枚硬币朝上的面不同，则甲班优先选择场地；否则乙班优先选择场地．这种选择场地的方法对两个班级___________（填“公平”或“不公平”）．
13．小明做试验：在平整的桌面上摆放一张的正方形白纸，并画出正方形的内切圆，随机将一把大米撒到白纸上（若大米落在白纸外，则重新试验），统计落在圆内的米粒数a、落在正方纸上的米粒数b．当这样的试验次数很大时，大米落在圆内的频率会在常数________（结果保留）附近摆动．
14．某公司生产的4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．若在这4件产品中加入件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则的值是______．
15．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，摸到红球的频率是 _____，则估计盒子中大约有红球 _____个．
16．现有四张正面分别标有数字﹣1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背而面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，则点P（m，n）在第二象限的概率为__________．
17．从不等式组的所有整数解中任取一个数，它是偶数的概率是______．
18．A、B、C三人作扔石子的游戏，结果如图所示，这个游戏是以石子离散的程度(即“散度”)的最小值者为胜，你认为可用"数"_____来表示这个“散度”．
三、解答题
19．某公司有甲、乙、丙三辆车去南京，它们出发的先后顺序随机．张先生和李先生乘坐该公司的车去南京出差，但有不同的需求．
请用所学概率知识解决下列问题：
（1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果；
（2）两人中，谁乘坐到甲车的可能性大？请说明理由．
20．现有A、B两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，A袋装有2个白球，1个红球；B袋装有2个红球，1个白球．
（1）将A袋摇匀，然后从A袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率；
（2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．
21．某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘(如图，转盘被均匀分为20份)，并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元．
(1)求转动一次转盘获得购物券的概率；
(2)转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？
22．小明对,,,四个中小型超市的女工人数进行了统计，并绘制了下面的统计图表，已知超市有女工20人.所有超市女工占比统计表
（1）超市共有员工多少人？超市有女工多少人？
（2）若从这些女工中随机选出一个，求正好是超市的概率；
（3）现在超市又招进男、女员工各1人，超市女工占比还是75%吗？甲同学认为是，乙同学认为不是.你认为谁说的对，并说明理由.
23．如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形圆心角为120°．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）
(1)转动转盘一次，求转出的数字是－2的概率；
(2)转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率．
24．实验探究：
有A，B两个不透明的布袋，A布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2．B布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字－1，－2和－3．小明从A布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为x，再从B布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为y，这样就确定点的一个坐标为．
（1）用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标；
（2）求点Q落在直线上的概率．、
参考答案
1．D
【分析】用列举法表示所有可能出现的结果，进而得出两个球不在同一个盒子里结果数，从而求出相应的概率．
解：假设三个不透明的盒子分别为A，B，C，
当小慧把白球放入盒子A中，大鹏则可能把黑球放入A，B，C中；
当小慧把白球放入盒子B中，大鹏则可能把黑球放入A，B，C中；
当小慧把白球放入盒子C中，大鹏则可能把黑球放入A，B，C中；
根据概率定义可得所有等可能出现的结果数为9，其中两个球在同一盒子的事件数为3，分别为AA，BB，CC；
所以，两个球不在同一盒子的结果数为9-3=6，
所以，两个球不在同一个盒子里的概率为．
故选：D
【点拨】本题考查列举法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．
2．C
【分析】根据游戏结局共有三种情形，其中甲、乙获胜的概率都为，即可求解．
解：甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，结局有甲获胜（乙输）、平局、乙获胜（甲输），三种结局，其中，甲、乙获胜的概率都为，则A，B，D，选项正确，C选项错误．
故选C
【点拨】本题考查了概率公式求概率，游戏的公平性，求得概率是解题的关键．
3．D
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让两个小灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的有2种情况，
∴能让两个小灯泡同时发光的概率为；
故选：D．
【点拨】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
4．B
【分析】根据题意表示出摸出是绿球与黑球的概率，令两概率相等求出x的值即可．
解：根据题意得：=，即2x=20-x-2x，
解得：x=4．
故选B．
【点拨】此题考查了游戏的公平性，以及概率公式，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
5．C
【分析】根据必然事件、随机事件及概率公式逐一求解即可．
解：A．可能性很大的事件是发生可能性较大，但不是必然事件，此选项错误；
B．南方的冬天下雪的可能小，但不是永远不会下雪，此选项错误；
C．工厂生产的产品可能有不合格的，此选项正确；
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，此选项错误；
故选：C．
【点拨】本题主要考查了概率的知识应用，准确分析判断是解题的关键．
6．B
【分析】根据白球的概率可估计红球的概率，即可求解．
解：红球的个数为：（个），
故选：B．
【点拨】本题考查用频率估计概率，当进行大量重复试验时，频率稳定在概率附近．
7．C
【分析】小明共摸了100次，其中80次摸到白球，20次摸到黑球，摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：4，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为1：4；即可计算出白球数．
解：由题可得：312（个）．
故答案为：12．
【点拨】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
8．C
【分析】直接利用随机事件、必然事件、不可能事件分别分析得出答案．
解：A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误；
B、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误；
C、200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确；
D、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误；
故选C．
【点拨】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件，正确把握相关定义是解题关键．
9．C
【分析】根据统计结果逐项分析即可得到答案.
解：A、∵调查的总人数为50+350+200+400+500=1500（人），
∴选择型养老的频率是=，故A正确；
B、根据统计结果知：选择E的养老模式的人数500人最多，故B正确；
C、当地个老年人中选择型养老有=4000（人），故C错误；
D、调查的总人数是1500人，故样本容量是1500，故D正确；
故选：C.
【点拨】此题考查统计图的运用，能正确计算样本容量，部分的数量，部分的频率，能依据样本的概率计算总体的数量，正确理解统计结果进行运算是解题的关键.
10．A
【分析】求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率．
解：如图，连接PA、PB、OP，
则S半圆O=，S△ABP=×2×1=1，
由题意得：图中阴影部分的面积=4（S半圆O﹣S△ABP）
=4（﹣1）=2π﹣4，
∴米粒落在阴影部分的概率为，
故选A．
【点拨】本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积．
11．
【分析】根据题意，使用列举法可得从有4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目，根据概率的计算方法，计算可得答案．
解：根据题意，从有4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5，2、4、5，三种，得P=.
故其概率为：．
【点拨】本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12．公平
【分析】要判断这种方法是否公平，只要看所选取的方法，使这两个队优先选择比赛场地的可能性是否相等即可．
解：根据题意画树状图如下：
由上图可知，
甲班优先选择场地的概率，
乙班优先选择场地的概率，
故这两个队优先选择比赛场地的可能性相等，
这种选择场地的方法对两个班级公平．
【点拨】本题主要考查了游戏规则公平性的判断，会画树状图求等概率事件的概率是做出本题的关键．
13．##0.25π##
【分析】当这样的试验次数很大时，大米落在圆内的频率会在附近摆动．
解：如图，正方形ABCD的内切圆圆心为O，点E和点F为两个切点，
∵正方形ABCD的内切圆圆心为O，
∴ OE⊥BC，OF⊥AD
∵ADBC
∴OF⊥BC
∴点E、O、F在同一条直线上
∵∠A＝∠B＝∠BEF＝90°，
∴四边形ABEF是矩形
∴EF＝AB＝30cm
∴OE＝OF＝15cm
∴（cm2）
∴
由题意可知当这样的试验次数很大时，大米落在圆内的频率会在附近摆动．
故答案为：．
【点拨】此题考查了正方形的内切圆、正方形的性质、圆的面积、正方形的面积等知识，判断出大米落在圆内的频率会在附近摆动是解题的关键．
14．16
【分析】根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值．
解：∵通过大量重复试验后发现抽到合格品的频率稳定在0.95，
∴抽到合格品的概率等于0.95，
∴＝0.95，
解得x＝16，
经检验：x＝16是所列方程的根，
故答案为：16．
【点拨】本题考查了用频率估计概率和分式方程，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率，根据概率的意义列方程．
15． 0.7 14
【分析】根据频率之和为1，以及在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，列出方程求解，即可．
解：摸到黄球的频率是0.3，摸到红球的频率是，
设有红球x个，
根据题意得：，
解得：x＝14，
经检验，x＝14是原方程的解．
故答案是：0.7，14．
【点拨】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系．
16．
【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点P（m，n）在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解．
解：画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中点P（m，n）在第二象限的结果数为3，
所以点P（m，n）在第二象限的概率＝．
故答案为：．
【点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了点的坐标．
17．
【分析】首先求得不等式组的所有整数解，然后由概率公式求得答案．
解：∵，
由①得：x≥1，
由②得：x≤5，
∴不等式组的解集为：1≤x≤5，
∴整数解有：1，2，3，4，5；
∴它是偶数的概率是．
故答案为：．
【点拨】此题考查了不等式组的整数解，列举法求概率．解决问题的关键是熟练掌握解不等式组的一般方法，概率等于所求情况数与总情况数之比．
18．覆盖5点的圆的最小半径（答案不唯一）
【分析】依题意设计出可以确定石子离散程度大小的方案即可．
解：如图，分别作圆覆盖5点，所作圆的最小半径即可作为“数”表示这个“散度”：
故答案为：覆盖5点的圆的最小半径．
【点拨】本题考查游戏规则的设定，是开放性题目，故答案不唯一，设定满足题目条件要求即可．
19．（1）甲、乙、丙；甲、丙、乙；乙、甲、丙；乙、丙、甲；丙、甲、乙；丙、乙、甲，共6种；（2）两人坐到甲车的可能性一样，理由见分析
【分析】（1）假定甲车先出发，乙车后出发，丙车最后出发，用简单的列举法可列举出三辆车按先后顺序出发的所有等可能的结果数；
（2）分别求出两人坐到甲车的概率，然后进行比较即可得出答案．
解：（1）甲、乙、丙；甲、丙、乙；乙、甲、丙；乙、丙、甲；丙、甲、乙；丙、乙、甲；共6种；
（2）由（1）可知张先生坐到甲车有两种可能，乙、丙、甲，丙、乙、甲，
则张先生坐到甲车的概率是；
由（1）可知李先生坐到甲车有两种可能，甲、乙、丙，甲、丙、乙，
则李先生坐到甲车的概率是；
所以两人坐到甲车的可能性一样．
【点拨】此题考查的是列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．(1)P(摸出白球)＝；(2)这个游戏规则对双方不公平.
【分析】(1)根据A袋中共有3个球 ，其中2个是白球，直接利用概率公式求解即可；
(2)列表得到所有等可能的结果，然后分别求出小林获胜和小华获胜的概率进行比较即可.
解：(1)A袋中共有3个球，其中有2个白球，
∴P(摸出白球)＝；
(2)根据题意，列表如下：
由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色相同的结果有4种，颜色不同的结果有5种，
∴P(颜色相同)＝，P(颜色不同)＝，
∵＜，
∴这个游戏规则对双方不公平.
【点拨】本题考查了列表法或树状图法求概率，判断游戏的公平性，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．（1）P（转动一次转盘获得购物券）=；（2）选择转转盘对顾客更合算．
解：（1）∵转盘被均匀分为份，转动一次转盘获得购物券的有种情况，
∴转动一次转盘获得购物券概率=．
（2）因为红色概率=，黄色概率=，绿色概率=，元，
∴选择转转盘对顾客更合算．
22．（1）32（人），25（人）；（2）；（3）乙同学，见分析.
【分析】（1）用A超市有女工人数除以女工人数占比，可求A超市共有员工多少人；先求出D超市女工所占圆心角度数，进一步得到四个中小型超市的女工人数比，从而求得B超市有女工多少人；
（2）先求出C超市有女工人数，进一步得到四个中小型超市共有女工人数，再根据概率的定义即可求解；
（3）先求出D超市有女工人数、共有员工多少人，再得到D超市又招进男、女员工各1人，D超市有女工人数、共有员工多少人，再根据概率的定义即可求解．
解：（1）A超市共有员工：20÷62.5％＝32（人），
∵360°－80°－100°－120°＝60°，
∴四个超市女工人数的比为：80：100：120：60＝4：5：6：3，
∴B超市有女工：20×＝25（人）；
（2）C超市有女工：20×＝30（人）．
四个超市共有女工：20×＝90（人）．
从这些女工中随机选出一个，正好是C超市的概率为＝．
（3）乙同学.
理由：D超市有女工20×＝15（人），共有员工15÷75%＝20（人），
再招进男、女员工各1人，共有员工22人，其中女工是16人，女工占比为＝≠75％．
【点拨】本题考查了统计表与扇形统计图的综合，以及概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（1）；（2）.
解：【分析】（1）根据题意可求得2个“－2”所占的扇形圆心角的度数，再利用概率公式进行计算即可得；
（2）由题意可得转出“1”、“3”、“－2”的概率相同，然后列表得到所有可能的情况，再找出符合条件的可能性，根据概率公式进行计算即可得.
解：（1）由题意可知：“1”和“3”所占的扇形圆心角为120°，
所以2个“－2”所占的扇形圆心角为360°－2×120°＝120°，
∴转动转盘一次，求转出的数字是－2的概率为＝；
（2）由（1）可知，该转盘转出“1”、“3”、“－2”的概率相同，均为，所有可能性如下表所示：
由上表可知：所有可能的结果共9种，其中数字之积为正数的的有5种，其概率为.
【点拨】本题考查了列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24．（1）点Q的坐标有（1，-1），（1，-2），（1，-3），（2，-1），（2，-2）（2，-3）；（2）.
【分析】（1）根据题意画出树状图；（2）根据一次函数的意义，求出在直线上的点的概率.
解：（1）树状图如下：
∴P点的所有可能是（1，﹣1）；（1，﹣2）；（1，1）；（2，﹣1）；（2，﹣2）；（2，1）．
（2）∵只有P（1，﹣2），（2，﹣1）在直线y＝x﹣3上，
∴点P落在直线y＝x﹣3上的概率为＝．
【点拨】掌握用树状图求出概率的方法；理解一次函数的意义.超市
女工人数占比
62.5%
62.5%
50%
75%
红1
红2
白
白1
(白1，红1)
(白1，红2)
(白1，白)
白2
(白2，红1)
(白2，红2)
(白2，白)
红
(红，红1)
(红，红2)
(红，白)
第一次 第二次
1
－2
3
1
(1，1)
(1，－2)
(1，3)
－2
(－2，1)
(－2，－2)
(－2，3)
3
(3，1)
(3，－2)
(3，3)