人教版九年级数学上册 24.30 弧长及扇形的面积（知识讲解）

这是一份人教版九年级数学上册 24.30 弧长及扇形的面积（知识讲解），共24页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。
1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；
2. 能准确计算组合图形的面积.
【要点梳理】
要点一、弧长公式
半径为R的圆中
（1）：360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
（2）：n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)
特别说明：
(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即 ；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
要点二、扇形面积公式
1.扇形的定义
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式
半径为R的圆中
n°的圆心角所对的扇形面积公式：
特别说明：
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式 有点类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：.
【典型例题】
类型一、求弧长和扇形面积
1.如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，其圆心角，半径为6m，求该扇形的弧长与面积．（结果保留）

【答案】扇形的弧长为：；扇形的面积为：
【分析】直接利用扇形的弧长公式和扇形的面积求解即可．
解：由题意得，扇形的弧长为：．
扇形的面积为：．
【点拨】本题考查了扇形的弧长公式和扇形的面积的计算，解答本题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式和扇形的面积公式．
举一反三：
【变式1】如图，直线PA与相切于点A，弦于点C，OP与相交于点D．，．
求弦AB的长；
求阴影部分的周长．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据切线的性质得到，之后在中利用勾股定理即可求出答案；
（2）利用勾股定理求得长度，之后求、、弧长即可．
（1）解：∵PA与相切于点A，
∴，
∵，
∴
，∵，
∴，
∵弦于点C，
∴，
∴，
∴，
在中，
∴；
解：在中
，


，
，，
∴阴影部分的周长．
【点拨】本题主要考查圆的切线的性质，勾股定理，弧长的公式，灵活地运用公式以及定理是解题的关键．
【变式2】如图，是以为直径的半圆上的两点，，连结．
(1)求证：．
(2)若，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)答案见分析(2)
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到∠ACD＝∠DBA，根据 ∠CAB＝∠DBA得到∠CAB＝∠ACD，进而得到结论；
（2）连结OC，OD，证明所求的阴影部分面积与扇形的面积相等，继而得到结论．
（1）证明：∵=，
∴∠ACD＝∠DBA，
又∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴；
（2）解：如图，连结OC，OD．

∵∠ACD＝30°，
∴∠ACD＝∠CAB＝30°，
∴∠AOD＝∠COB＝60°,
∴∠COD＝180°-∠AOD-∠COB＝60°．
∵，
∴S△DOC=S△DBC，
∴S阴影=S弓形COD+S△DOC=S弓形COD+S△DBC=S扇形COD，
∵AB＝4，
∴OA＝2，
∴S扇形COD=．
∴S阴影=．
【点拨】本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定，掌握定理以及公式是解题的关键．
类型二、求半径
2.如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是．弧所对的圆心角是，这段圆弧所在圆的半径R是多少米（结果保留小数点后一位）？
【答案】8.5m
【分析】由弧长公式l＝得到关于R的方程，解方程即可
解：由l＝，可知R＝＝≈8.5（m）．
∴这段圆弧所在圆的半径R是8.5米．
【点拨】本题考查了弧长的计算公式：l＝，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．
举一反三：
【变式1】已知圆上一段弧长为，它所对的圆心角为，求该圆的半径．
【答案】半径为
【分析】设该圆的半径为R，根据弧长公式列出方程，解方程可得．
解：设该圆的半径为Rcm，
根据题意，得：，
解得：R＝7.2，
答：该圆的半径为7.2cm．
【点拨】本题考查了弧长公式：（n为弧所对的圆心角的度数，R为弧所在圆的半径）．
【变式2】如图，已知．
（1）试用尺规作图确定所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若的度数为120°，的长是8π，求所在圆的半径的长．
【答案】（1）作图见分析；（2）12
【分析】（1）在弧上任取一点C，连接AC，BC，作弦AC、弦BC的垂直平分线即可
（2）根据弧长公式计算即可；
解：（1）在弧上任取一点C，连接AC，BC，作弦AC、弦BC的垂直平分线即可，点O即为所求；
（2）如图，连接AO，BO，
∵弧AB的度数为，
∴，
又∵弧AB的长是，
∴，
解得：，
∴所在圆的半径的长是12．
【点拨】本题主要考查了弧长公式的应用，结合垂直平分线作图求解是解题的关键．
类型三、求圆心角
3.已知圆弧的半径为15厘米，圆弧的长度为，求圆心角的度数．
【答案】
【分析】根据弧长的计算公式计算即可．
解：圆心角的度数．
【点拨】本题考查弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=4.以AB为直径画⊙O，交边AC于点D．AD的长为，求证：BC是⊙O的切线.
【分析】连接OD，根据弧长公式求出AOD的度数，再证明AB⊥BC即可；
解：证明：如图，连接,
是直径且 ，
.

设，
的长为，
解得.
即
在☉O中，
.
．
，
，
即
又为直径，
是☉O的切线.
【点拨】本题考查切线的判定，圆周角定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式2】若一条圆弧所在圆半径为9，弧长为，求这条弧所对的圆心角．
【答案】
【分析】根据弧长公式计算即可.
解：∵， ，
∴，
∴
【点拨】此题考查弧长公式，熟记公式并掌握各字母的意义即可正确解答.
类型四、求点的运动路径长
4.如图，AB是⊙O的直径，M是半圆弧的中点，点C是上的动点（不与端点M，B重合），点D在弦AC上，．
求证：；
填空：若，则点D移动的路径长等于________．
【答案】(1)见分析(2)π
【分析】（1）连接MA、MB，证明△AMD≌△BMC（SAS），即可解决问题；
（2）由∠MDC=45°，推出∠ADM=180°-45°=135°，推出点D的运动轨迹是弧ADM，设圆心为T，连接AT，MT，则∠T=90°，利用弧长公式求解即可．
(1)证明：连接MA，MB
∵M是半圆弧的中点，
∴，，
∴∠MAB=∠MBA=45°，
∴．
∵，
∴△DCM是等腰直角三角形．
∴．
∵，，
∴．
∴△AMD≌△BMC（SAS）．
∴．
(2)∵∠MDC=45°，
∴∠ADM=180°-45°=135°，
∴点D的运动轨迹是弧ADM，设圆心为T，连接AT，MT，则∠T=90°，
∵AB=4，
∴AM=，
∴AT=TM=2，
∴的长=．
【点拨】本题考查动点的轨迹，弧长公式，圆周角定理、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
举一反三：
【变式1】在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．
画出先向下平移个单位，再向右平移个单位后的图形，并写出的坐标；
画出绕点顺时针旋转后的，并写出的坐标；
(3)写出（2）中点到点所经过的路径长．
【答案】(1)见分析，(2)见分析，(3)
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（3）利用弧长公式求解．
(1)解：如图，△即为所求，的坐标；
(2)解：画出绕点顺时针旋转后的△，的坐标；
(3)解：，
点到点所经过的路径长．
【点拨】本题考查作图平移变换，旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
【变式2】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
请画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△；
写出点，的坐标；
求出（1）中C点旋转到点所经过的路径长（结果保留π）．
【答案】(1)见分析(2)（4，2）；（3，4）(3)点C走过路线长=2.5π
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，即可画出图形；
（2）由（1）可知，写出点，的坐标即可；
（3）先计算出OC的长，然后根据弧长公式计算C点旋转到C1点所经过的路径长．
(1)解：如图所示：
(2)解：由（1）可知，（4，2）；（3，4）；
(3)解：根据题意，
，
∴C点旋转到C1点所经过的路径长=；
【点拨】本题考查了作图：旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
类型五、求旋转扫过的面积
5.如图，在7×7的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．将绕点顺时针旋转，得到．
(1)画出；
(2)边在旋转过程中扫过的图形面积为______．
【答案】(1)图见分析(2)
【分析】（1）利用旋转的性质找出点和点的对应点即可画出图形；
（2）根据扇形的面积公式计算即可．
(1)解：如图，∵小正方形的边长为1个单位长度，
∴，，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴点和点是一组对应点，
∵，，
∴点和点是一组对应点，
连接，，，
则即为所作．

(2)由（1）知：边在旋转过程中扫过的图形面积就是以的长为半径，圆心角为的扇形的面积，
∵，
∴边在旋转过程中扫过的图形面积为：．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了作图—旋转变换，扇形的面积计算，旋转的性质，勾股定理及勾股定理逆定理等知识，旋转的性质：旋转后的图形与原图形全等；对应线段与旋转中心形成的角叫做旋转角，各旋转角都相等；对应点到旋转中心距离相等．准确画出旋转后的图形是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．

(1)点关于坐标原点对称的点的坐标为______；
(2)将绕着点顺时针旋转，画出旋转后得到的；
(3)在（2）中，求边所扫过区域的面积是多少？（结果保留）．
【答案】(1)（1，-1）；(2)见分析；(3)
【分析】（1）根据两个点关于原点对称时，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得出答案；
（2）分别找到点A、B绕着点C顺时针旋转90°以后的对应点A1、B1，然后顺次连接即可得出旋转后的图形△A1B1C；
（3）边CA旋转到CA1所扫过的图形为扇形，且圆心角为90度，半径CA利用勾股定理求得，然后利用扇形的面积公式计算即可；
(1)解：∵B（-1，1），
∴点B关于坐标原点O对称的点的坐标为（1，-1）．
故答案为（1，-1）；
(2)如图所示，△A1B1C即为所求作的图形；
(3)∵，
∴．
【点拨】此题考查了旋转作图，关于原点对称的点的坐标特征，扇形的面积公式，坐标与图形变化-平移的问题，解答本题的关键是熟练掌握各个知识点，注意规范作图，难度一般．
【变式2】如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是、，△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到．
画出，直接写出点，的坐标；
求在旋转过程中，线段OB所扫过的面积．

【答案】(1)见分析，（-3，3），（-2，1）(2)
【分析】（1）根据网格结构找出点A，B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1，B1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标；
（2）利用勾股定理列式求出OB的长，再利用弧长公式列式计算即可得解．
（1）解：如图：
∴A1点坐标为（-3，3），B1点坐标（-2，1）；
（2）解：∵B1点的坐标为(-2，1)，
∴ ，
∴线段OB所扫过的面积= ．
【点拨】本题考查了利用旋转变换作图，扇形的面积，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置和熟记扇形面积公式是解题的关键．
类型六、求弓形的面积
6.如图，AB、AC分别是半的直径和弦，于点D，过点A作半的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC并延长与AB的延长线交于点F．
求证：PC是半的切线；
若，，求由劣弧AC、线段AC所围成图形的面积S．

【答案】(1)见分析(2)
【分析】（1）连接OC，由题意可证△OCP≌△OAP（SSS），利用全等三角形的对应角相等以及切线的性质定理可得，即可证得结论；
（2）根据AB＝6，∠ADO＝90°，∠CAB＝30°，可求得OD、AC，然后根据S＝S扇形AOC－S△AOC即可求得结果．
（1）证明：如图，连接OC，
∵PA是半⊙O的切线，
∴PA⊥OA，
∴∠OAP＝90°，
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴CD＝AD，
∴PC＝PA，
∵OC＝OA，OP＝OP，
∴△OCP≌△OAP（SSS），
∴∠OCP＝∠OAP＝90°，
∵PC经过⊙O的半径OC的外端，且PC⊥OC，
∴PC是⊙O的切线．
（2）解：∵AB是⊙O的直径，且AB＝6，
∴OA＝OB＝3，
∵∠ADO＝90°，∠CAB＝30°，
∴OD＝OA＝，
∴，
∴AC＝2AD＝，
∴，
∵∠COB＝2∠CAB＝60°，
∴∠AOC＝180°－60°＝120°，
∴S扇形AOC＝，
∴S＝S扇形AOC－S△AOC＝．
【点拨】本题主要考查了切线的性质和判定、扇形的面积公式、勾股定理、全等三角形的判定与性质、垂径定理和直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半．熟练掌握切线的性质和判定、扇形的面积公式和做辅助线的方法是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P为CA的延长线上一点，∠CAD＝45°．
若AB＝8，求图中阴影部分的面积；
若BC＝AD，AD＝AP，求证：PD是⊙O的切线．
【答案】(1)图中阴影部分的面积为4π﹣8(2)见分析
【分析】(1)连接OC，OD，由圆周角定理得到∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，于是得到∠COD=90°，根据扇形面积和三角形面积公式即可得到结论；
(2)由已知条件得到∠BOC=∠AOD，由圆周角定理得到∠AOD=45°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA=∠OAD，求得∠ADP=∠CAD=22.5°，得到∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，由切线的判定定理可得到结论．
(1)解：如图，连接OC，OD，

∵∠COD＝2∠CAD，∠CAD＝45°，
∴∠COD＝90°，
∵AB＝8，
∴OC＝AB＝4，
∴S扇形COD＝＝4π，
S△OCD＝×OC×OD＝×4×4＝8，
∴S阴影= S扇形COD- S△OCD =4π﹣8．
(2)证明：∵BC＝AD，
∴，
∴∠BOC＝∠AOD，
∵∠COD＝90°，
∴∠AOD＝45°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵∠AOD+∠ODA+∠OAD＝180°，
∴∠ODA＝67.5°，
∵AD＝AP，
∴∠ADP＝∠APD，
∵∠CAD＝∠ADP+∠APD，∠CAD＝45°，
∴∠ADP＝∠CAD＝22.5°，
∴∠ODP＝∠ODA+∠ADP＝90°，
∴PD是⊙O的切线．
【点拨】本题考查了切线的判定，圆内接四边形的性质，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．
判断直线MN与的位置关系，并说明理由；
若OA=6，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)MN与⊙O相切，理由见分析(2)
【分析】（1）MN是⊙O切线，只要证明∠OCM=90°即可．
（2）求出∠AOC以及BC，根据S阴=S扇形OAC-S△OAC计算即可．
(1)解： MN是⊙O切线．
理由：连接OC．

∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，∠BCM=2∠A，
∴∠BCM=∠BOC，
∵∠B=90°，
∴∠BOC+∠BCO=90°，
∴∠BCM+∠BCO=90°，
∴OC⊥MN，
∴MN是⊙O切线．
(2)解：由（1）可知∠BOC=∠BCM=60°，
∴∠AOC=120°，
在Rt△BCO中，OC=OA=6，∠BCO=30°，
∴BO=OC=3，BC=3，
∴S阴=S扇形OAC-S△OAC==．
【点拨】本题考查切线的判定、扇形面积、三角形面积等知识，解题的关键是记住切线的判定定理，扇形的面积公式．
类型七、求不规则图形面积
7.如图，在⊙O中，直径AB＝2，ABC中，∠BAC＝90°，BC交⊙O于点D，若∠C＝45°，求：
（1）BD的长为多少？
（2）求阴影部分的面积．
【答案】(1)(2)1
【分析】（1）连接AD，可得AD⊥BC．再根据△ABC是等腰直角三角形，可得BD＝CD，，即可求解；
（2）根据AD=BD，可得弧BD=弧AD，从而得到弓形BD的面积＝弓形AD的面积，进而得到阴影部分的面积＝Rt△ADC的面积，即可求解．
（1）解：如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC．
又∵∠BAC＝90°，∠C＝45°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BD＝CD，，
∴AD＝BD＝CD＝；
（2）解：∵AD=BD，
∴BD⏜=AD⏜，
∴弓形BD的面积＝弓形AD的面积，
∴阴影部分的面积＝Rt△ADC的面积＝．
【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理，求扇形面积，勾股定理，根据题意，作适当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，点都在上，过点C作AC//BD交延长线于点A，连接，且．
求证：是的切线．
求的半径长．
求由弦与弧所围成的阴影部分的面积（结果保留）．
【答案】(1)证明见分析(2)⊙O的半径长为6cm(3)阴影部分的面积为6πcm2
【分析】（1）由圆周角定理解得∠BOC＝60°，再根据AC//BD得到∠A＝∠OBD＝30°，继而解得∠ACO＝90°，据此解答；
（2）设OC 、BD相交于点E，由垂径定理解得，再根据含30°角直角三角形的性质解得OB＝6；
（3）由ASA证明△CDE≌△OBE，再利用扇形的面积公式解答即可．
（1）证明：∵∠CDB＝∠OBD＝30°，
∴∠BOC＝60°∵AC∥BD，
∴∠A＝∠OBD＝30°
∴∠ACO＝90°
∴AC为⊙O切线．
解：设OC 、BD相交于点E
∵∠ACO＝90°，AC//BD，
∴∠BEO＝∠ACO＝90°
在Rt△BEO中，∠OBD＝30°
∴OE=3
∴OB＝6
即⊙O的半径长为6cm．
解：∵∠CDB＝∠OBD＝30°，
又∵∠CED＝∠BEO，BE＝ED，
∴△CDE≌△OBE（ASA）
答：阴影部分的面积为6πcm2．
【点拨】本题考查圆周角定理、垂径定理、圆切线的判定、含30°角直角三角形的性质、扇形面积公式、平行线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．
求证：直线AB是⊙O的切线；
若，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见分析(2)
【分析】（1）连接OD，CD，根据含30度角的直角三角形的性质得出AC=AB，求出∠A=90°-∠B=60°，根据直角三角形的性质得出BD=AD=AB，求出AD=AC，根据等边三角形的判定得出△ADC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠ADC=∠ACD=60°，求出∠ODC=∠DCO=30°，求出OD⊥AB，再根据切线的判定得出即可；
（2）求出BD=AC=，BO=2DO，根据勾股定理得出BO2=OD2+BD2，求出OD，再分别求出△BDO和扇形DOE的面积即可．
（1）证明：连接OD，CD
，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AC=AB，∠A=90°-∠B=60°，
∵D为AB的中点，
∴BD=AD=AB，
∴AD=AC，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ADC=∠ACD=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCO=90°-60°=30°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠DCO=30°，
∴∠ADO=∠ADC+∠ODC=60°+30°=90°，
即OD⊥AB，
∵OD过圆心O，
∴直线AB是⊙O的切线；
解：由（1）可知：AC=AD=BD=AB，
又∵AC=，
∴BD=AC=，
∵∠B=30°，∠BDO=∠ADO=90°，
∴∠BOD=60°，BO=2DO，
由勾股定理得：BO2=OD2+BD2，
即（2OD）2=OD2+（）2，
解得：OD=1（负数舍去），
所以阴影部分的面积S=S△BDO-S扇形DOE=．
【点拨】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积计算等知识点，能熟记直角三角形的性质、切线的判定和扇形的面积公式是解此题的关键．