人教版九年级数学上册 24.34 圆锥的侧面积（知识讲解）

这是一份人教版九年级数学上册 24.34 圆锥的侧面积（知识讲解），共9页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。

1.理解圆锥的有关概念.
2.掌握圆锥的侧面展开图.
3.理解并掌握圆锥的侧面积计算方法.
【要点梳理】
要点一：圆锥的概念
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。该直角边叫圆锥的轴 。
要点二:圆锥的侧面积和全面积
连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则
圆锥的侧面积，
圆锥的全面积.
特别说明：
扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
【典型例题】
类型一、求圆锥的侧面积
1、如图，圆锥的底面半径，高，求该圆锥的侧面积．
【答案】
【分析】先求出母线的长，再根据圆锥的侧面积公式解题．
解：由题意得，
在中，
答：该圆锥的侧面积为．
【点拨】本题考查圆锥的侧面积，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
举一反三：
【变式】如图是一圆锥，底面圆的半径为AO＝1，高PO．求侧面展开图面积．

【答案】圆锥的侧面展开图面积为2π
【分析】先利用勾股定理求出母线AP的长，然后根据圆锥侧面积公式求解即可．
解：∵圆锥，底面圆的半径为AO＝1，高，
∴，
∴，
∴圆锥的侧面展开图面积为．
【点拨】本题主要考查了勾股定理和圆锥侧面展开图面积，解题的关键在于能够熟练掌握圆锥侧面展开图的面积公式．
类型二、求圆锥的底面半径
2、如图，正方形的边长为4，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，求圆锥的底面圆的半径．

【答案】
【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可．
解：∵正方形的边长为4
∴
∵是正方形的对角线
∴
∴
∴圆锥底面周长为，解得
∴该圆锥的底面圆的半径是
【点拨】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
举一反三：
【变式】如图，有一直径是的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC．
(1)求AB的长；
(2)用该扇形铁皮围成一个圆锥，求所得圆锥的底面圆的半径．

【答案】(1)1； (2)
【分析】（1）连接BC，根据90°圆周角所对的弦是直径，可得，进而勾股定理求得的长，
（2）根据（1）可得，进而根据弧长公式求解即可
解：（1）连接BC，如图

∵，
∴BC为⊙O的直径，其，
∴；
（2）设所得圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得，
解得：．
【点拨】本题考查了90°圆周角所对的弦是直径，弧长公式，掌握以上知识是解题的关键．
类型三、求圆锥的高
3、用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示 ．
（1）求圆锥的高；（2）求所需铁皮的面积（结果保留）．

【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据圆锥的母线、高和底面圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理即可求解；
（2）根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长，圆锥的母线长是扇形的半径进行计算即可．
解：（1）如图，设为圆锥的高，为圆锥的母线，为底面圆的半径，

∴，，，
∴有中，
∴圆锥的高为．
（2）圆锥的底面周长为：，
∵圆锥的底面周长是侧面展开得到的扇形的弧长，
∴扇形的弧长为，
∴扇形的面积为，
∴所需铁皮的面积为．
【点拨】本题考查圆锥的计算．正确理解圆锥的高、母线与底面圆的半径构成直角三角形，圆锥的侧面与它的侧面展开图扇形之间的关系是解决本题的关键，要正确理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
举一反三：
【变式】如图，从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为多少？

【答案】cm
【分析】设圆锥的底面圆的半径为r cm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，根据扇形的面积公式得到2πr＝，解得r＝6，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高．
解：设圆锥的底面圆的半径为r cm，
根据题意得2πr＝，
解得r＝6，
所以这个圆锥的高＝（cm）．
【点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，解题关键是掌握圆锥相关知识．
类型四、求圆锥侧面展形图的圆心角
4、如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据（单位：cm），计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数

【答案】120°
【分析】根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据勾股定理得到圆锥的母线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角．
解：∵圆锥的底面半径为1，
∴圆锥的底面周长为2π，
∵圆锥的高是，
∴圆锥的母线长为，
设扇形的圆心角为n°，
∴，
解得：．
即圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°．
【点拨】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，且扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．理解题意，将扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解是解题关键．
举一反三：
【变式】如图，已知圆锥的底面半径为，母线长为．求它的侧面展开扇形的圆心角的度数和它的全面积．

【答案】90°，
【分析】根据由圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长可求．
解：由圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长可知：
，，
∴侧面展开扇形的圆心角的度数是90°．
全面积＝底面积＋展开侧面积，
全面积为：．
【点拨】本题考查了圆锥全面积和展开图圆心角的度数，解题关键是明确圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，根据题意列方程求解．
类型五、圆锥的实际问题
5、一个圆锥形小麦堆.底面直径是米，高分米.把这些小麦装在底面半径为米的圆柱形粮仓里，能装多高？
【答案】高米.
【分析】先根据圆锥的体积公式求出谷堆的体积．因为这些谷子的体积是不变的，利用谷堆的体积除以圆柱的底面积就是堆成的圆柱形谷堆的高度．
解：分米=米
（米）
答：高米.
【点拨】解答此题的关键是求圆锥形谷堆的体积和粮囤的底面面积．
举一反三：
【变式】把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长10cm.求：圆锥的母长．
【答案】圆锥的母线长为cm.
【分析】根据题目信息，作出图形，设大圆锥的母线长为l，圆台的上下底面半径分别为r，R，接下来结合已知中线段之间的关系，据此即可表示出小圆锥的母线长；然后利用平行线分线段成比例定理可得，据此即可求出l的长，问题便可解答.
解：设圆锥的母线长为，圆台上、下底半径为.


答：圆锥的母线长为cm.
【点拨】本题是一道关于圆锥的相关计算的题目，解答本题的关键是熟练掌握圆锥与圆台的相关知识；
类型六、圆锥侧面的最短路径
6、如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是4．
（1）求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数．
（2）如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这只蚂蚁爬过的最短距离．

【答案】（1）90°；（2）4
【分析】（1）利用侧面展开图是以4为半径，2π为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角，进而即可求解；
（2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得蚂蚁爬行的最短距离为AC的距离，进而即可求解．
解：（1）设∠ABC的度数为n，底面圆的周长等于2π×1＝，解得n＝90°；
（2）连接AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD＝45°．

∴是等腰直角三角形，
∵AB＝4，
∴AD＝BD＝4÷=2，
∴AC＝2AD＝4，
即这只蚂蚁爬过的最短距离4．
【点拨】此题考查了圆锥的侧面展开图弧长的计算；得到圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解决本题的关键．
举一反三：
【变式】如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？

【答案】
【分析】结合题意进行曲面展开，通过在平面扇形图中计算最短路路径问题．
解：如图，沿过母线AB的轴截面展开得扇形，
此时弧的长为底面圆周长的一半，故，
由，，则，
作，此时即为蚂蚁爬行的最短路径，
在中，．
【点拨】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，来解决．