2023维吾尔自治区乌鲁木齐第101中学高二上学期期中数学试题含解析

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总分100分 考试时间120分钟
姓名：___________班级：___________
一、选择题（12题每题4分共48分）
1. 点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.
【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，
则，解得.
所以点的坐标为
故选：A.
2. 已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量的线性运算性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】设该正面体的棱长为，因为M为BC中点，N为AD中点，
所以，
因为M为BC中点，N为AD中点，
所以有，
，
根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为，
故选：B
3. 已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（ ）
A. 3B. 5C. D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】由，结合图形即得.
【详解】因为椭圆，
所以，，
则椭圆的右焦点为，
由椭圆的定义得：，
当点P点处，取等号，
所以的最大值为5，
故选：B.
4. 圆圆心和半径分别是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】先化为标准方程，再求圆心半径即可.
【详解】先化为标准方程可得，故圆心为，半径为.
故选：D.
5. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.
【详解】
如图，连接，因为∥，
所以或其补角为直线与所成的角，
因为平面，所以，又，，
所以平面，所以，
设正方体棱长2，则，
，所以.
故选：D
6. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.
7. 下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】要使空间中的、、、四点共面，只需满足，且即可.
【详解】对于A选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于B选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于C选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于D选项，，,所以点与、、三点共面.
故选：D
8. 已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可.
【详解】由题意知：直线的斜率为，则直线的方程为.
故选：C.
9. 已知点在直线上的运动，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】表示点与距离的平方，求出到直线的距离，即可得到答案.
【详解】表示点与距离的平方，
因为点到直线的距离，
所以的最小值为．
故选：A
10. 已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由图形可得，根据比例关系可得，，再根据向量减法，代入整理并代换为基底向量．
【详解】
即
故选：D．
11. 设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（ ）
A. 6B. C. 8D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用椭圆的几何性质，得到，，进而利用得出，进而可求出
【详解】解：由椭圆的方程可得，
所以，得
且，，
在中，由余弦定理可得
，
而，所以，，
又因为，，所以，
所以，
故选：B
12. 设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．
【详解】设，由，因为 ，，所以
，
因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；
当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．
二、填空题（共五题每题2分共10分）
13. 在平面内，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬到的最短路程是______．
【答案】
【解析】
【分析】求得点关于轴的对称点为，结合圆的性质，即可求解.
【详解】由圆，得圆心坐标，半径为，
求得点关于轴对称点为，
可得.
如图所示，可得爬到的最短路程为.
故答案为：
14. 若圆与圆有3条公切线，则正数a=___________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据两圆外切半径之和等于圆心距即可求解.
【详解】两圆有三条公切线，则两圆外切，∴∴
故答案为：3
15. 已知、分别是双曲线的左、右焦点，也是抛物线的焦点，点是双曲线与抛物线的一个公共点，若，则双曲线的离心率为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，求出，求出、的余弦值，由题意可知，可得出关于、的齐次等式，结合可解得的值.
【详解】过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，则，
因为，则，则，
因为，则，
由余弦定理可得，
因为，所以，，所以，，
整理可得，即，因为，解得.
故答案为：.
16. 从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为______．
【答案】2
【解析】
【分析】作图，利用圆心到定点的距离、半径、切线长满足勾股定理可得.
【详解】将圆化为标准方程：，则圆心，半径1，
如图，设，，切线长．
故答案为：2
17. 若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.
【详解】设直线的方程为，则点，
由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，
则，解得或，所以，
因为，故.
故答案为：.
三、解答题（四题共42分）
18. 已知点，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．
（1）求直线的方程；
（2）求直线：关于直线的对称直线的方程．
条件①：点关于直线的对称点的坐标为；
条件②：点的坐标为，直线过点且与直线垂直；
条件③点的坐标为，直线过点且与直线平行．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）计算直线的斜率，根据直线的平行或垂直关系得到斜率，代入点得到直线方程.
（2）计算直线的交点，在直线上取一点，求其关于对称的点，根据交点和对称点得到直线方程.
【小问1详解】
选择条件：
因为点关于直线的对称点的坐标为，所以是线段的垂直平分线．
因为，所以直线的斜率为，又线段的中点坐标为，
所以直线的方程为，即．
选择条件：
因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
又直线过点，所以直线的方程为，即．
选择条件，
因为，直线与直线平行，所以直线的斜率为，
又直线过点，所以直线的方程为，即．
【小问2详解】
，解得，故，的交点坐标为，
因为在直线：上，设关于对称的点为，
则，解得，
直线关于直线对称的直线经过点，，代入两点式方程得，即，
所以：关于直线的对称直线的方程为．
19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）要证，可证，由题意可得，，易证，从而平面，即有，从而得证；
（2）取中点，根据题意可知，两两垂直，所以以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量和平面的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出．
【详解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，
所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以．
（2）由，，而与相交，所以平面，因为，所以，取中点，连接，则两两垂直，以点为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,
则,
又为中点，所以.
由（1）得平面，所以平面的一个法向量
从而直线与平面所成角的正弦值为．
【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明，可以考虑，
题中与有垂直关系的直线较多，易证平面，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出．
20. 已知点、，设过点的直线l与的边AB交于点M（其中点M异于A、B两点），与边OB交于N（其中点N异于O、B两点），若设直线l的斜率为k．
（1）试用k来表示点M和N的坐标；
（2）求的面积S关于直线l的斜率k的函数关系式；
（3）当k为何值时，S取得最大值？并求此最大值．
【答案】（1）；.
（2）
（3）当时，，S取得最大值，最大值为.
【解析】
【分析】（1）联立直线方程组可解得结果；
（2）利用两个三角形面积相减可得结果；
（3）换元，令，，再根据基本不等式可求出结果.
【小问1详解】
由已知得直线l斜率存在，设．
由，得；又，所以.
由，得．
【小问2详解】
.
【小问3详解】
设，则．
，
当且仅当时，等号成立．
21. 已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切．
（1）求圆C的标准方程；
（2）直线与圆C交于A，B两点．
①求k的取值范围；
②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值．
【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）具体见解析.
【解析】
【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案；
（2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；
（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案.
【详解】（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径r=a，
又圆C与直线相切，所以圆心C到直线的距离（负值舍去），所以圆 C的标准方程为：.
（2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程可得：，因为有两个交点，
所以，即k的取值范围是.
（ⅱ）设，由根与系数的关系：，