2023维吾尔自治区塔城地区高二下学期期中考试数学试题含解析

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一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 已知等差数列中，前5项和，，则（ ）
A. 16B. 17C. 18D. 19
【答案】B
【解析】
【分析】由以及等差数列的性质及求和公式可得，又可得公差d，再利用计算即可得到答案.
【详解】由等差数列的性质及求和公式，得，解得，又
，所以公差，.
故选：B
【点睛】本题考查等差数列的基本性质及求和公式的计算，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.
2. 已知公差不为0的等差数列{an}的前n项的和为Sn，a1=2，且a1，a3，a9成等比数列，则S8=（ ）
A. 56B. 72C. 88D. 40
【答案】B
【解析】
【分析】根据a1，a3，a9成等比数列，得到=a1a9，再根据a1=2，求得公差即可.
【详解】因为a1，a3，a9成等比数列，
所以=a1a9，又a1=2，
所以(a1+2d)2=a1(a1+8d)，
解得d=2或d=0(舍)，
故an=2+(n-1)×2=2n，
所以S8==4(2+2×8)=72.
故答案为：B
3. 质点运动规律，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( )
A 6.3B. 36.3C. 3.3D. 9.3
【答案】A
【解析】
【分析】根据平均速度公式计算可得.
【详解】解：因为，，
∴平均速度；
故选：A.
4. 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据排列数公式即可得答案.
【详解】根据排列数公式可得，
故选：C
5. 设等比数列的前项和为，若，，则
A. 14B. 18C. 36D. 60
【答案】A
【解析】
【分析】由已知结合等比数列的求和公式可求，，q2，然后整体代入到求和公式即可求．
【详解】∵等比数列{an}中，S2＝2，S4＝6，
∴q≠1，
则，
联立可得，2，q2＝2，
S62×（1﹣23）＝14．
故选A．
【点睛】本题主要考查了等比数列的求和公式的简单应用，考查了整体代入的运算技巧，属于基础题．
6. 函数的极大值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数求得函数的单调区间，进而求得函数极值点，由此求得函数的极大值.
【详解】依题意，故函数在上递增，在上递减，所以函数在处取得极大值为.
故选B.
【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的极大值，考查函数单调区间的求法，考查乘法的导数运算，属于基础题.
7. 已知函数的导函数为，且，则（ ）
A. 3B. 2C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】求导可得解析式，令x=1代入，即可求得答案.
【详解】因为，
所以，令x=1代入可得
解得.
故选：D
8. 冬季某服装店销售a，b，c，d，e五种不同款式的羽绒服，甲、乙、丙三人每人任意选择一款羽绒服购买，则不同的购买选择有（ ）
A. 15种B. 60种C. 125种D. 243种
【答案】C
【解析】
【分析】用分步乘法原理计算.
【详解】每人有5种不同的购买选择，总的购买选择有种.
故选：C.
二、多选题（每小题5分，共20分）
9. 下列问题属于排列问题的是（ ）
A. 从6人中选2人分别去游泳和跳绳
B. 从10人中选2人去游泳
C. 从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
D. 从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数
【答案】AD
【解析】
【分析】根据给定的条件，利用排列的定义逐项判断作答.
【详解】对于A，从6个人中选2人分别去游泳和跳绳，选出的2人有分工的不同，是排列问题；
对于B，从10个人中选2人去游泳，与顺序无关，不是排列问题；
对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题；
对于D，从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数，各数位上的数字有顺序性，是排列问题．
故选：AD
10. 已知数列为等差数列，则下列说法正确的是（ ）
A. （d为常数）B. 数列是等差数列
C. 数列是等差数列D. 是与的等差中项
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由等差数列的性质直接判断AD选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC选项.
【详解】A.因为数列是等差数列，所以，即，所以A正确；
B. 因为数列是等差数列，所以，那么，所以数列是等差数列，故B正确；
C.，不是常数，所以数列不是等差数列，故C不正确；
D.根据等差数列的性质可知，所以是与的等差中项，故D正确.
故选：ABD
【点睛】本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型.
11. 函数的导函数的图像如图所示，则（ ）
A. 为的极大值点B. 为的极小值点
C. 2为的极大值点D. 为的极小值点
【答案】AB
【解析】
【分析】利用导函数的图像得到函数的单调区间，从而判断函数的极值点．
【详解】解：由图像可得，当时，当时，
当时，当时，
所以在和上单调递减，在和上单调递增，
函数在和处取得极小值，在处取得极大值，
故选：AB
12. 已知函数f（x）=（x-a）（x-3）2，当x=3时，f（x）有极大值，则a的取值可以是（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】ABC
【解析】
【分析】求得导数函数只需即可满足题意.
【详解】
令 ，则或，
当时，即时，在单调递增，单调递减，单调递增，
此时，当x=3时，f（x）有极大值，
则a的取值可以是4,5,6.
故选：ABC.
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 曲线的一条切线经过坐标原点，则该切线方程为_______________.
【答案】
【解析】
【分析】设出切点的坐标，结合导数求得切线方程，根据切线过原点求得切点的横坐标，进而求得切线方程.
【详解】设切点为，则，即，
故切线方程为，
又切线过原点，，解得，
将代入，可得切线方程为.
故答案为：
14. 已知函数，，其图象上任意一点处的切线的斜率恒成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知得在上恒成立，然后根据二次函数性质即得.
【详解】∵函数，
∴，又其图象上任意一点处的切线的斜率恒成立，
∴，即在上恒成立，
因为，当且仅当时取等号，
∴.
故答案为：.
15. 已知等比数列前项和为，公比，且，，则______.
【答案】0
【解析】
【分析】利用等比数列的通项公式可得，再利用求和公式即可得出答案．
【详解】由，，
化为，，
解得，
又，解得，
则的前2020项和，
故答案为：.
16. 若3名学生报名参加天文、计算机、文学、美术这4个兴趣小组，每人选报1组，则不同的报名方式有__________ 种.
【答案】64
【解析】
【分析】由分步乘法计数原理即可算出答案.
【详解】由分步乘法计数原理，得不同的报名方式有（种）.
故答案：64
四、解答题（第17题10分，第18—22题每题12分）
17. 有5名同学站成一排拍照．
（1）若甲乙必须站一起，则共有多少种不同的排法？
（2）若最左端只能排甲或乙，且最右端不能排甲，则共有多少种不同的排法？
【答案】（1）48 （2）42
【解析】
【分析】（1）捆绑法进行求解；（2）分甲排左端和乙排左端两种情况进行求解，再求和即可.
【小问1详解】
将甲乙捆绑在一起，故方法数有种．
【小问2详解】
如果甲排左端，则方法数有种；
如果乙排左端，则方法数有种．
故总的方法数有种．
18. 解下列方程或不等式．
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据排列数的计算公式化简已知条件，由此求得方程的解.
（2）根据排列数的计算公式化简已知条件，由此求得不等式的解集..
【小问1详解】
由于，
所以，
整理得，
解得或（舍去）.
【小问2详解】
由于，
所以，
整理得，
由于，所以，
所以不等式的解集为.
19. 已知为等差数列的前n项和，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由已知求基本量；
（2）分组求和.
【详解】（1）由解得，；
（2），

20. 已知是数列的前项和，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列前项和.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）讨论时，求出，时，两式相减，进而得到间的关系式，从而得到数列的类型，进而求出通项公式；
（2）根据（1）先求出，进而用裂项法求和.
【小问1详解】
由题意，当时，，即，.
当时，，
，即，
.
是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，，即.
【小问2详解】
，，，
，
，
.
21. 已知函数．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在区间[－3，5]的最值．
【答案】（1）增区间为（－∞，－2）和（2，＋∞），减区间为（－2，2）
（2）最大值为65，最小值为－16
【解析】
【分析】（1）求定义域，求导，利用导函数的正负求出单调区间；
（2）在第一问的基础上求出最值.
【小问1详解】
由题意可得定义域为R，
，
令，得或．
列表如下：
所以f（x）单调递增区间为（－∞，－2）和（2，＋∞），单调递减区间为（－2，2）．
【小问2详解】
由（1）知f（x）在[－3，－2]，[2，5]单调递增，在[－2，2]单调递减，
又因为．
所以f（x）在区间[－3，5]上的最大值为65，最小值为－16.
22. 已知函数f(x)＝x3－ax－1.
（1） 当a=0时，求f(x)在点 (－1，-2)处的切线方程.
（2）若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）当时，求出函数f(x)和导函数，进而利用点斜式方程写出切线方程；
（2）在区间上为增函数，即在上恒成立，分离参数求出最值，可得a的取值范围．
【详解】（1）当时，，，
所以曲线在处切线斜率，
所以切线方程为：，即．
（2）因为，且在区间上为增函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以，即的取值范围为．
x
－2
（－2，2）
2
（2，＋∞）
＋
0
－
0
＋
f（x）
递增↗
极大值16
递减
极小值－16
递增↗